天津理工大学概率论与数理统计第二章习题答案详解

·11·第2章一维随机变量习题2一.填空题：1.设离散型随机变量的分布函数是xPxF，则用F(x)表示概0xP=__________。解：000xFxF2.设随机变量的分布函数为xarctgxxF121则P{01}=____14_____。解：P{01}=)0(F)1(F143.设服从参数为的泊松分布，且已知P{=2}=P{=3}，则P{=3}=___2783e或3.375e-3____。4.设某离散型随机变量的分布律是,2,1,0,!kkCkPK，常数0，则C的值应是___e_____。解：eCCekCkCkPKKKKK11!1!10005设随机变量的分布律是4,3,2,1,21kAkPk则2521P=0.8。解：AAkPk161516181412141令15161A得A1615212521ppP8.0412115166.若定义分布函数xPxF，则函数F(x)是某一随机变量的分布函数的充要条件是F(x)单调不减，函数F(x)右连续，且F()=0，F(+)=1·12·7.随机变量),a(N~2，记aP)(g，则随着的增大，g()之值保持不变。8.设~N(1，1)，记的概率密度为(x)，分布函数为F(x)，则11PP0.5。9、分别用随机变量表示下列事件(1)观察某电话总机每分钟内收到的呼唤次数，试用随机变量表示事件.“收到呼唤3次”}{3X，“收到呼唤次数不多于6次”}{}{kXXk606(2)抽查一批产品，任取一件检查其长度，试用随机变量表示事件.“长度等于10cm”=}{10X；“长度在10cm到10.1cm之间”=}.{11010X(3)检查产品5件，设A为至少有一件次品，B为次品不少于两件，试用随机变量表示事件AB,BA,B,B,A.解:}{}{0XA没有次品}{}{2XB次品少于两件}{}{2XB次品不少于两件}{}{1XBA至少有一件次品}{}{2XAB次品数不到两件10、一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以x表示取出的3只球中的最大号码，则X的分布律为:X345kp101103106·13·二.计算题：1、将一颗骰子抛掷两次，以1X表示两次所得点数之和，以2X表示两次中得到的小的点数，试分别写出21,XX的分布律.1X23456789101112kp3613623633643653663653643633623612、设在15只同类型的零件中有2只次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数.求X的分布律；.X012kp352235123513、(1)设随机变量X的分布律为：0,,2,1,0k,!ka}kX{Pk为常数，试确定常数a.解:因0kkk0k0k1!ka!ka}kX{P1ae,故ea(2)设随机变量X的分布律为：N,,2,1k,Na}kX{P，试确定常数a.1a1N1aNN1aNa}kX{PN1kN1kN1k4、飞机上载有3枚对空导弹，若每枚导弹命中率为0.6，发射一枚导弹如果击中敌机则停止，如果未击中则再发射第二枚，再未击中再发射第三枚，求发射导弹数的分布律.X123kp0.60.240.165、汽车需要通过有4盏红绿信号灯的道路才能到达目的地。设汽车在每盏红绿灯前通过(即遇到绿灯)的概率都是0.6；停止前进(即遇到红灯)的概率为0.4，求汽车首次停止前进(即遇到红灯，或到达目的地)时，已通过的信号灯的分布律.解：汽车在停止前进时已通过的信号灯数是一个随机变量，用x表示x可取值为0,1,2,3,4，又设A的表示事件：{汽车将通过时第i盏信号灯开绿灯}，4,3,2,1n由题意4.0)(,6.0)(nnAPAP}0{x表示{已通过的信号灯数是0(即第一盏信号灯是红灯)},故4.0}(}0{1APxP·14·}1{x表示{已通过的信号灯数是1(即第一盏信号灯是绿灯，而第二盏是红灯),故4.06.0)()()(}1{2121APAPAAPxP.同理4.06.0)()()()(}2{2321321APAPAPAAAPxP4.06.0)()()()()(}3{343214321APAPAPAPAAAAPxP4432143216.0)()()()()(}4{APAPAPAPAAAAPxP于是x的分布律为4k,6.03,2,1,0k,4.06.0}kx{P4k即x01234kp0.40.240.1440.08640.12966、自动生产线调整以后出现废品的机率为p，生产过程中出现废品时立即重新进行调整，求两次调整之间生产的合格品数的分布律.x012…k…kpppp)1(pp2)1(ppk)1(7、一大楼内装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻：(1)恰有两个设备被使用的概率是多少？0729.0)9.0()1.0(}2{3225CxP(2)至少有3个设备被使用的概率是多少？00856.0)9.0()1.0(9.0)1.0()9.0()1.0(}3{05554452335CCCxP(3)至多有3个设备被使用的概率是多少？99954.0])1.0(9.0)1.0([1}3{1)3{555445CCxPxP(4)至少有1个设备被使用的概率是多少？40951.0)9.0()1.0(1}1{5005CxP8、设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，(1)进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率.(2)进行7次独立试验，求指示灯发出信号的概率.解：(1)P{5次独立试验,指示灯发出信号}=163.0)3.0(7.0)3.0()7.0()3.0(5554452335CCC(2)P{7次独立试验,指示灯发出信号}353.0)7.0()3.0()6.0(3.0)7.0()3.0(152276177007CCC·15·9、设某批电子管正品率为43，次品率为41，现对这批电子管进行测试，只要测得一个正品，管子就不再继续测试，试求测试次数的分布律.解：解：设测试次数为x，则随机变量x的可能取值为：,3,2,1，当kx时，相当于{前1k次测得的都是次品管子，而第k次测得的是正品管子}的事件，43)41(}{1kkXP，),2,1(k10、每次射击命中率为0.2，必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的命中率，(1)不小于0.9？(2)不小于0.99？解：已知n次独立射击中至少击中一次的概率为nnP)8.0(1)2.01(1；(1)要使9.0)8.0(1nP，必须3.108.0lg1.0lgn，即射击次数必须不小于11n次.(2)要使99.0)8.0(1nP，必须64.208.0lg01.0lgn，即射击次数必须不小于21n次11、电话站为300个用户服务，在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，试用泊松定理近似计算，在一小时内有4个用户使用电话的概率.解：由二项分布得knkknqpCkxP}{29644300)99.0()01.0(}4{CxP现用泊松定理近似计算，301.0,300nppn,故168.0!43}4{34exP12、某一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001，在某天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？(利用泊松定理计算)解：设x为发生事故的次数，则kkkCkxP10001000)9999.0()0001.0(}{用泊松定理计算，1.00001.01000np00468.01.01}1{}0{1}2{1.01.0eexPxPxP13设X服从泊松分布，且已知}2{}1{XPXP，求}4{XP解：!}{kekxPk，由}2{}1{xPxP，得!2!12ee，)0,0(0,2因为舍去0903.0!42}4{24exP·16·14、.求离散型随机变量的分布律为kbkP，(k=1，2，…)，的充分必要条件。解：由1kbkP0且1kP1kb1b1bbb0kk1kkbb11111b且b015设服从参数=1的指数分布，求方程4x2+4x++2=0无实根的概率。解：0)2(16162知21故220xe1dxe}21{P16.已知连续型随机变量的概率密度为xBAxx031)(且知在区间(2，3)内取值的概率是在区间(1，2)内取值的概率的二倍，试确定常数A，B。解：由条件21232pp即3221dxBAx2dxBAx知有120AB又由1dxx即311B2A4dxBAx解124021BABA得A=13，B=1617、设有函数其它,00,sin)(xxxF试说明)(xF能否是某随机变量的分布函数.解：不能因为当x32时，(x)=sinx0·17·故在23,0上，(x)=sinx不是非负。18、设某人计算一连续型随机变量x的分布函数为：1,114,40,sin0,0)(xxxxxxxF试问他的计算结果是否正确？答：不正确19、在区间],0[a上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标，这个质点落在],0[a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求x的分布函数.解：P{0x}=cx；xaaxaxxxF100020、设连续型随机变量X的分布函数为)0(0,00,)(xxBeAxFx求(1)常数A,B(2)}3{},2{XPXP(3)概率密度)(xf解:(1)1,1BA(2)32,1ee(3)0,00,)(xxexfx21、某种型号的电子管寿命X(以小时计)，具有如下概率密度：其它,01000,1000)(2xxxf现有一大批此种电子管(设各电子管损坏与否相互独立)，任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？并求)(xF.解：设使用寿命为x小时·18·1500100015001000232|)1000(110001}1500{1}1500{xdxxxPxP31}1500{xP，所求事件的概率：3225)]1500([)]1500([xPxPCP5554452335)]1500([)1500()]1500([)]1500([)]1500([xPCxPxPCxPxPC243232)32(31)32(5)31()32(10)31()32(10542332再求xxxdxxdxxfxF10002100011000)()(其它,01000,10001)(xxxF22、设随机变量X具有对称的概率密度)(xf，即)(x