天津理工大学概率论与数理统计第四章习题答案详解

·31·第4章随机变量的数字特征一、填空题1、设X为北方人的身高，Y为南方人的身高，则“北方人比南方人高”相当于)()(YEXE2、设X为今年任一时刻天津的气温，Y为今年任一时刻北京的气温，则今年天津的气温变化比北京的大，相当于)()(YDXD.3、已知随机变量X服从二项分布，且44.1)(,4.2)(XDXE，则二项分布的参数n=6,p=0.4.4、已知X服从1x2x2e1)x(，则.)(XE=1,)(XD=1/2.5、设X的分布律为X1012P81412181则)12(XE9/4.6、设YX,相互独立，则协方差),cov(YX0.这时，YX,之间的相关系数XY0.7、若XY是随机变量),(YX的相关系数，则1||XY的充要条件是1baXYP.8、XY是随机变量),(YX的相关系数，当0XY时，X与Y不相关，当1||XY时，X与Y几乎线性相关.9、若4)(,8)(YDXD，且YX,相互独立，则)2(YXD36.10、若ba,为常数，则)(baXD)(2XDa.11、若YX,相互独立，2)(,0)(YEXE，则)(XYE0.12、若随机变量X服从]2,0[上的均匀分布，则)(XEπ.·32·13、若4.0,36)(,25)(XYYDXD，则),cov(YX12，)(YXD85，)(YXD37.14、已知3)(XE，5)(XD，则2)2(XE30.15、若随机变量X的概率密度为000)(xxexx，则)2(XE2，)(2XeE1/3.二、计算题1、五个零件中有1个次品，进行不放回地检查，每次取1个，直到查到次品为止。设X表示检查次数，求平均检查多少次能查到次品？解:X的分布律为:X12345kp1/51/51/51/51/5)(XE51(1+2+3+4+5)=3.答：略2、某机携有导弹3枚，各枚命中率为p，现该机向同一目标射击、击中为止，问平均射]击几次？解:设X为射击次数，则X的分布律为:X123kpp)1(pp2)1(p33)1(3)1(2)(22ppppppXE答：略3、设X的密度函数为其它0102)(xxxf，求)(XE、)(XD·33·解:10232d2d)()(xxxxxfXE1032221d2d)()(xxxxfxXE故181)32(21))(()()(222XEXEXD4、(拉普拉斯分布)X的密度函数为)(21)(||xexfx，求.)(XE、)(XD解:0de21)(xxXEx2e2ed2de2eeddede21)(00002020222xxxxxxxxxxxxxxxxXE故2))(()()(22XEXEXD5、设连续型随机变量X的分布函数1,111,arcsin1,0)(xxxbaxXF求a、b、)(XE、)(XD.解:X为连续型随机变量，)(xF为连续函数.0),1()1(2baFF1),1()1(2baFF可解得;21a,1b.X的概率密度其它,01,11)()(2xxxFxf·34·112d1d)()(xxxxxxfXE=0102211222d12d1)()(xxxxxxXEXD令txsin，则21dsin2)(202ttXD6、一台设备由三大部件构成，运转中它们需调整的概率分别为0.1、0.2、0.3,假设它们的状态相互独立，以X表示同时需调整的部件数，求)(XE、)(XD解:设iA表示第i个部件需调整，i=1,2,3不发生，，发生iiiAAX0,1则321XXXX3,2,1)(1)()(),()(iAPAPXDAPXEiiiii故6.03.02.01.0)()()()(321XEXEXEXE46.07.03.08.02.09.01.0)()()()(321XDXDXDXD7、对圆的直径作近似测量，设其值X均匀分布在区间],[ba内，求圆面积的数学期望.解:因为X~),(baU，所以X的密度其它0,,1)(bxaabxf设Y=“圆面积”，则Y=24X，所以)(12d44)(2222babaxabxπ)XπE(XEba.8、设随机变量e(2)~X、e(4)~Y，求)(YXE、)32(2YXE.·35·解:显然161)(,41)(,21)(YDYEXE所以434121)()()(YEXEYXE.85)161161(31))(()(3)(2)32(22YEYDXEYXE9、设),(YX的分布律为求)(),(YEXE.解:0)1.01.01.0(10)01.02.0)(1()(XE2)1.03.00(3)1.001.0(2)1.01.02.0(1)(YE10、已知随机变量X的概率密度为其它020|1|1)(xxxf求)()(*XDXEXX的概率密度解:1d2dd11)(21210220xxxxxxxxXE67d2d)(21321032xxxxxXE61))(()()(22XEXEXD所以)1(6XX)16(16)1(6)(yFyXPyXPyXPyFXXYX123-10.20.1000.100.310.10.10.1·36·所以其它,06),611(61)16(61)16(dd)(yyyfyFyyfXXX11、设随机变量),(YX的密度函数为其它00,102),(xyxyxf求)(XYE.解:yxxyyxyxxyfXYEGxOydd2dd),()(G：10xy=41ddd2102100xxxyyxxx.12、设随机变量X和Y相互独立，且1)()(,0)()(YDXDYEXE，求])[(2YXE.解:2)()(2))(()())(()()(2)()()(22222YEXEYEYDXEXDXYEYEXEYXE13、设二维随机变量),(YX的均值)(XE、)(YE存在，证明：))())((()()()(YEYXEXEYEXEXYE。证：因为)()()()()(YEXEXYEYEYXEXE所以)()()()()(YEYXEXEYEXEXYE14、证明：如果随机变量X与Y相互独立，且)(XD，)(YD存在，则)()()()()()()(22YDYEXDXEYDXDXYD证：22)]([])[()(XYEXYEXYD·37·)()]([)()]([)()()]([)]([})]([)(}{)]([)({)]([)]([)()()]()([)(2222222222222XDYEYDXEYDXDYEXEYEYDXEXDYEXEYEXEYEXEYXE15、设区域G为122yx，二维随机变量),(YX服从G上的均匀分布，判断X、Y的相关性、独立性.解:显然，二维随机变量),(YX的概率密度函数为GyxGyxyxf),(,0),(,1),(所以其它,01,d1d),()(2211xxXxyyyxfxf其它,01,122xx)(yfY其它,01,122yy因此0d12d)()(112xxxxxxfXE同样可得0)(YE又0dd1dd),()(yxxyyxyxxyfXYEGxOy所以0)()()(),cov(YEXEXYEYX故X、Y不相关，但由于),()()(yxfyfxfYX所以X与Y不相互独立.·38·16、设随机变量X和Y的联合分布律为XY10118181810810811818181验证YX,不相关，但YX,不相互独立.证：因为0831083)1()(0831083)1()(YEXE08111081)1(10811)1(081)1()1()(XYE所以0)()()(),cov(YEXEXYEYX故YX,不相关.又83,8311pp，8111p所以1111ppp故YX,不相互独立.17、设随机变量),(YX具有概率密度其它020,20)(81),(yxyxyxf求XYYXYEXE),,cov(),(),(.解：67d)(d81dd),()(2020yyxxxyxyxxfXExOy由yx,的“对称性”可得·39·67)(YE.又34d)(d81dd),()(2020xOyyyxxyxyxyxxyfXYE所以361)()()(),cov(YEXEXYEYX.又35d)(d81dd),()(2020222yyxxxyxyxfxXExOy由yx,的“对称性”可得35)(2YE所以.3611)(,3611))(()()(22YDXEXEXD故.111)()(),cov(YDXDYXXY18、已知随机变量X，Y不相关，都具有零期望值及方差为1，令XU，YXV，试求UV。解：10)(),cov(),cov(),cov(),cov(XDYXXXYXXVU2)()()()(,1)()(YDXDYXDVDXDUD21)()(),cov(VDUDVUUV19、设YXNYNX,),,(~),,(~22相互独立求YXZYXZ21,的相关系数.(其中,是不为0的常数)解：·40·2222221)()(),cov(),cov()(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(YDXYYXDXYYXYYXXXYXYXZZ因为YX,相互独立，所以222222222221)()()()()()()()()()(YDXDYXDZDYDXDYXDZD所以22222121)()(),cov(21ZDZDZZZZ.