天津理工大学概率论与数理统计第三章习题答案详解

·23·第三章多维随机变量及其分布一、填空题1、随机点),(YX落在矩形域],[2121yyyxxx的概率为),(),(),(),(21111222yxFyxFyxFyxF.2、),(YX的分布函数为),(yxF，则),(yF0.3、),(YX的分布函数为),(yxF，则),0(yxF),(yxF4、),(YX的分布函数为),(yxF，则),(xF)(xFX5、设随机变量),(YX的概率密度为其它042,20)6(),(yxyxkyxf，则k81.6、随机变量),(YX的分布如下，写出其边缘分布.7、设),(yxf是YX,的联合分布密度，)(xfX是X的边缘分布密度，则)(xfX1.8、二维正态随机变量),(YX，X和Y相互独立的充要条件是参数0.XY0123jP108383086381008182iP81838381·24·9、如果随机变量),(YX的联合概率分布为YX12316191181231则,应满足的条件是βα；若X与Y相互独立，则184，182.10、设YX,相互独立，)1.0(~),1,0(~NYNX，则),(YX的联合概率密度),(yxf22221yxe，YXZ的概率密度)(ZfZ42221xe.12、设(、)的联合分布函数为yxyxyxAyxF00,0111111,222则A=__1___。二、证明和计算题1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球上标的数字为X，第二次取的球上标的数字Y，求),(YX的联合分布律.解：031}1,1{YXP31131}2,1{YXP312132}1,2{YXP312132}2,2{YXP2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设X为投入1号信箱的信数，Y为投入2号信箱的信数，求),(YX的联合分布律.解：X的可能取值为0,1,2,3Y的可能取值为0,1,2,3331}0,0{YXP333}1,0{YXP3323333}2,0{CYXPXY12103123131·25·331}3,0{YXP333}0,1{YXP3323}1,1{YXP3313}2,1{YXP0}3,1{YXP3233}0,2{CYXP333}1,2{YXP0}2,2{YXP0}3,2{YXP331}0,3{YXP0}3,3{}2,3{}1,3{YXPYXPYXPXY012302712732732711273276273022732730032710003、设函数F(x,y)=120121yxyx；问F(x,y)是不是某二维随机变量的联合分布函数？并说明理由。解：F(x,y)不可能是某二维随机变量的联合分布函数因P{02，01}=F(2,1)F(0,1)F(2,0)+F(0,0)=111+0=10故F(x,y)不可能是某二维随机变量的联合分布函数。4、设01)(,0)(dxxgxg且，有其它,0,0,][)(2),(2222yxyxyxgyxf证明：),(yxf可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。证明：易验证),(yxf0，又dxdyyxf),(dxdyyxyxg002222)(2＝02001)()(2drrgrdrrrgd符合概率密度函数的性质，可以是二维连续型随机变量的概率密度函数。·26·5、在[0,]上均匀地任取两数X与Y，求0){cos(YXP}的值。解：其它,0,0,1),(2yxyxf，0){cos(YXP＝43)232{YXP6、设随机变量),(YX的密度函数为其它00,0),()43(yxkeyxfyx(1)确定常数k(2)求),(YX的分布函数(3)求}20,10{YXP解：(1)00)43(1dxekdyyx0003043412]31[]41[keekdxedyekxyxy12k(2)yxyxvueedudveyxF0043)43()1)(1(1211212),()1)(1(43yxee0,0yx0),(yxF(3))2,0()0,1()0,0()2,1(}20,10{FFFFYXP95021.00)1)(1(83ee7、设随机变量),(YX的概率密度为其它020,103/),(2yxxyxyxf求}1{YXP解：110212)3(),(}1{yxxdyxyxdxdxdyyxfYXP10327265)65342(dxxxx8、设随机变量),(YX在矩形区域},|),{(dycbxayxD内服从均匀分布，(1)求联合概率密度及边缘概率密度.(2)问随机变量YX,是否独立？·27·解：(1)根据题意可设),(YX的概率密度为其它0,),(dycbxaMyxfbadccdabMdydxMdxdyyxf))((),(1于是))((1cdabM，故其它0,))(/(1),(dycbxacdabyxfdcXabcdabdydyyxfxf1))((),()(即其它01)(bxaabxfXbaYcdcdabdxdxyxfyf1))((),()(即其它0)/(1)(dyccdyfY(2)因为)()(),(yfxfyxfYX，故X与Y是相互独立的.9、随机变量),(YX的分布函数为其它,00,0,3331),(yxyxFyxyx求：（1）边缘密度；（2）验证X,Y是否独立。解：（1）)33(3ln),(yxxxyxF，,33ln),(22yxyxyxF0,0yx.其它00,033ln),(2yxyxfyx·28·其它0033ln33ln)(20xdyxfxyxX,其它00,33ln33ln)y(20ydxfyyxY(2)因为)()(),(yfxfyxfYX，故X与Y是相互独立的.10、一电子器件包含两部分，分别以YX,记这两部分的寿命(以小时记)，设),(YX的分布函数为其它00,01),()(01.001.001.0yxeeeyxFyxyx(1)问X和Y是否相互独立？(2)并求}120,120{YXP解：(1)0001),()(01.0xxexFxFxX0001),()(01.0yyeyFyFyY易证),()()(yxFyFxFYX，故YX,相互独立.(2)由(1)YX,相互独立}]120{1[}]120{1[}120{}120{}120,120{YPXPYPXPYXP091.0)]120(1)][120(1[42eFFYX11、设随机变量(,)的分布函数为FxyABarctgxCarctgy(,)()()23求：(1)系数A,B及C的值，(2)(,)的联合概率密度(x,y)。解：(1)FABC(,)()()221FABC(,)()()220FABC(,)()()220由此解得ABC122,,·29·(2)(,)()()xyxy64922212、设),(YX相互独立且分别具有下列表格所定的分布律试写出),(YX的联合分布律.解：XY21021218161241611161121481121316112148112113、设YX,相互独立，且各自的分布律如下：求YXZ的分布律.解：,2,1,0}{kPkXPk,2,1,0}{qYPYXZ的分布律为,2,1,0}{iqPiZPkikZ的全部取值为2,3,4412121}1{}1{}1,1{}2{YPXPYXPZP}1,2{}2,1{}3{YXPYXPZPY2113kP214141X21021kP413112131X12kP2121Y12kP2121·30·2121212121}1{}2{}2{}1{YPXPYPXP412121}2{}2{}2,2{}4{YPXPYXPZP14、X,Y相互独立，其分布密度函数各自为00021)(21xxexfxX00031)(3yyeyfyY求YXZ的密度函数.解：YXZ的密度函数为dxxZfxfZfYXZ)()()(，由于)(xfX在0x时有非零值，)(xZfY在0xZ即Zx时有非零值，故)()(xZfxfYX在Zx0时有非零值ZZxZxZxZdxeedxeeZf006332613121)()1(][63063ZZZxZeeee当0Z时，0)(Zf故000)1()(63ZZeeZfZZZ