三角函数高考复习(3)最新版

考纲要求考情分析1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.1.从考查内容看，对本节的考查为三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性和对称性，有时也与三角函数的图象结合在一起命题．2.从题型看，多以选择题、填空题的形式出现；若与函数的图象结合，也可出现在解答题中，难度一般不大，属中档题.－π2，π2一、周期函数1．周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数．叫做这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)T最小的正数最小正数1．所有的周期函数都有最小正周期吗？提示：不是所有的周期函数都有最小正周期，如函数f(x)＝C(C为常数)的周期为任意非零实数，但没有最小正周期．二、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域值域单调性(k∈Z)上递增；(k∈Z)上递减上递增；(k∈Z)上递减(k∈Z)上递增最值x＝(k∈Z)时，ymax＝1；x＝(k∈Z)时，ymin＝－1x＝(k∈Z)时，ymax＝1；x＝(k∈Z)时ymin＝－1无最值xx≠π2＋kπ，k∈ZRR[－1,1][－1,1]R－π2＋2kπ，π2＋2kππ2＋2kπ，3π2＋2kπ[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)[2kπ，(2k＋1)π]－π2＋kπ，π2＋kππ2＋2kπ－π2＋2kπ2kππ＋2kπ函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx奇偶性对称性对称中心对称轴最小正周期奇偶奇(kπ，0)，k∈Zkπ＋π2，0，k∈Zkπ2，0，k∈Zx＝kπ＋π2，k∈Zx＝kπ，k∈Z无2π2ππ2．正弦函数、余弦函数图象的对称轴及对称中心与函数图象的关键点有什么关系？提示：y＝sinx与y＝cosx对称轴方程中的x都是它们取得最大值或最小值时相应的x，对称中心的横坐标都是它们的零点．1．设函数f(x)＝sin2x－π2，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数解析：∵f(x)＝sin2x－π2＝－cos2x，∴函数f(x)的周期为π，且为偶函数．答案：B2．函数y＝sin2x＋π3的图象()A．关于点π3，0对称B．关于直线x＝π4对称C．关于点π4，0对称D．关于直线x＝π3对称解析：当x＝π3时，y＝sinπ＝0，故π3，0为函数图象的对称中心．当x＝π4时，y＝sinπ2＋π3＝cosπ3＝12，由于12≠0且12≠1，故π4，0不是对称中心，x＝π4也不是对称轴．答案：A3．已知f(x)＝sinx＋π3，则其单调增区间为()A.2kπ－π2，2kπ＋π6(k∈Z)B.2kπ－5π6，2kπ＋π6(k∈Z)C.2kπ－5π6，2kπ＋π2(k∈Z)D.2kπ－π6，2kπ＋π6(k∈Z)解析：由－π2＋2kπ≤x＋π3≤π2＋2kπ(k∈Z)得－5π6＋2kπ≤x≤π6＋2kπ(k∈Z)∴所求单调增区间为－5π6＋2kπ，π6＋2kπ(k∈Z)．答案：B4．函数y＝lgcos2x的定义域为________．解析：由cos2x0得－π2＋2kπ2xπ2＋2kπ(k∈Z)∴－π4＋kπxπ4＋kπ(k∈Z)，∴函数的定义域为－π4＋kπ，π4＋kπ(k∈Z)．答案：－π4＋kπ，π4＋kπ(k∈Z)5．设函数f(x)＝A＋Bsinx，若B＜0时，f(x)的最大值是32，最小值是－12，则A＝______，B＝______.解析：根据题意，由A－B＝32，A＋B＝－12.解得A＝12，B＝－1.答案：12－1【考向探寻】1．求函数的定义域．2．求函数的值域与最值．3．给定三角函数的值域或最值，确定某些参数的取值(或范围)．【典例剖析】(1)函数f(x)＝1－2sin2x＋2cosx的最小值和最大值分别为A．－1,1B．－32，－1C．－32，3D．－2，32(2)函数y＝1－tanx的定义域是________．(3)求下列函数的值域：①y＝3cosx－3sinx；②y＝sinx＋cosx＋sinxcosx.题号分析(1)转化为二次函数在闭区间上的最值求解；(2)由tanx≤1求得x即可；(3)①利用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式求解；②令t＝sinx＋cosx，然后用t表示sinxcosx，化为二次函数问题求解.(1)解析：∵f(x)＝1－2sin2x＋2cosx＝1－2(1－cos2x)＋2cosx＝2cos2x＋2cosx－1＝2cosx＋122－32，又∵x∈R，∴cosx∈[－1,1]．∴当cosx＝－12时，f(x)有最小值，且f(x)min＝－32；当cosx＝1时，f(x)有最大值，且f(x)max＝3.答案：C(2)解析：由1－tanx≥0，得tanx≤1，∴kπ－π2＜x≤kπ＋π4(k∈Z)答案：kπ－π2，kπ＋π4(k∈Z)(3)解：①y＝3cosx－3sinx＝2332cosx－12sinx＝23cosx＋π6.∵|cosx＋π6|≤1，∴该函数值域为[－23，23]．②设t＝cosx＋sinx＝2sinx＋π4∈[－2，2]．则sinxcosx＝t2－12，故原函数化为f(t)＝t2－12＋t＝12(t＋1)2－1，∵－2≤t≤2，∴当t＝－1时，f(t)有最小值，且f(t)min＝－1；当t＝2时，f(t)有最大值，且f(t)max＝2＋12.∴所求函数的值域为－1，12＋2.(1)求三角函数定义域的实质是解三角不等式，求解时常借助三角函数线或三角函数图象．(2)求解三角函数的值域(最值)的问题一般用以下方法：①利用sinx、cosx的值域；②形式复杂的函数先化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式后，再确定出ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性(或图象)写出函数的值域；③换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求二次函数在闭区间上的值域(最值)的问题．【活学活用】1．是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acosx＋58a－32在闭区间0，π2上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，请说明理由．解：y＝1－cos2x＋acosx＋58a－32＝－cosx－a22＋a24＋58a－12.∵0≤x≤π2，∴0≤cosx≤1.①若a21，即a2时，则当cosx＝1时，ymax＝a＋58a－32＝138a－32.由题意知13a8－32＝1，解得a＝2013(舍去)，不合条件．②若0≤a2≤1，即0≤a≤2时，则当cosx＝a2时，ymax＝a24＋58a－12，由题意知a24＋58a－12＝1.解得a＝32或a＝－40(舍去)；③若a20，即a0时，则当cosx＝0时，ymax＝58a－12＝1，由题意知5a8－12＝1，解得a＝125，不合条件．综上可知存在实数a＝32符合题意.【考向探寻】1．求三角函数的单调区间．2．已知函数的单调性，确定参数的取值范围．3．利用三角函数的单调性解决有关综合问题．【典例剖析】(1)(2012·新课标全国高考)已知ω0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，则ω的取值范围是A.12，54B.12，34C．0，12D．(0,2](2)比较大小，sin－π18________sin－π10.(3)(理)(2012·北京高考)已知函数f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx.①求f(x)的定义域及最小正周期；②求f(x)的单调递增区间．(3)(文)(2012·北京高考)已知函数f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx.①求f(x)的定义域及最小正周期；②求f(x)的单调递减区间．(2)判断y＝sinx在－π2，0上的单调性→比较大小→结论；(3)化简解析式→fx＝Asinωx＋φ→求解.答案：A(1)解析：结合y＝sinωx的图象可知y＝sinωx在π2ω，3π2ω上单调递减，而y＝sinωx＋π4＝sinωx＋π4ω，故y＝sinωx的图象向左平移π4ω个单位可得y＝sinωx＋π4的图象，故y＝sinωx＋π4在π4ω，5π4ω上递减，故应有π2，π⊆π4ω，5π4ω，故π4ω≤π2，5π4ω≥π，解得12≤ω≤54.(2)解析：由条件得y＝sinx在－π2，0上为增函数且－π18＞－π10，故sin－π18＞sin－π10.答案：(3)解：(理)①由sinx≠0得，x≠kπ，k∈Z，所以定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．f(x)＝sinx－cosx2sinxcosxsinx＝2sinxcosx－2cos2x＝sin2x－cos2x－1＝2sin2x－π4－1，所以最小正周期T＝2π2＝π.②由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8且x≠kπ，(k∈Z)．所以单调递增区间为kπ－π8，kπ(k∈Z)和kπ，kπ＋3π8(k∈Z)．(3)解：(文)①由sinx≠0得，x≠kπ，k∈Z，所以定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．f(x)＝sinx－cosx2sinxcosxsinx＝2sinxcosx－2cos2x＝sin2x－cos2x－1＝2sin2x－π4－1，所以最小正周期T＝2π2＝π.②由2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，得kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k∈Z)，所以单调递减区间为kπ＋3π8，kπ＋7π8，k∈Z.(1)熟记y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础．(2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k(ω0)的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．求y＝Acos(ωx＋φ)＋k和y＝Atan(ωx＋φ)＋k的单调区间时可按类似方法求解．求三角函数的单调区间时，一定要注意A和ω的符号．【活学活用】2．求函数y＝2sinπ4－x的单调区间．解：方法一：y＝2sinπ4－x＝－sinx－π4.由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－π4＋2kπ≤x≤3π4＋2kπ(k∈Z)，∴减区间为－π4＋2kπ，3π4＋2kπ(k∈Z)．由π2＋2kπ≤x－π4≤3π2＋2kπ(k∈Z)，得3π4＋2kπ≤x≤7π4＋2kπ(k∈Z)，∴增区间为3π4＋2kπ，7π4＋2kπ(k∈Z)．方法二：把π4－x代入y＝sinx的减(增)区间可得所求函数的增(减)区间，∴函数y＝2sinπ4－x的单调递增区间为2kπ＋3π4，2kπ＋7π4(k∈Z)．单调递减区间为2kπ－π4，2kπ＋3π4(k∈Z).【考向探寻】1．判断函数的奇偶性、求函数的最小正周期、求对称轴(中