三角函数高考复习(4)高品质版

考纲要求考情分析1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.1.形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数是高考中的必考内容，主要考查函数的性质、应用及图象变换，且常与向量、解三角形等知识结合在一起考查．2.从考查形式看，三种题型都可能出现．试题难度不大，多属中档题.一、函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝f＝＝ωx＋φφ2πω1Tω2π二、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：xωx＋φy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0－φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω2π－φω0π2π3π22π1．找五个点时，在上表的三行中，应首先确定哪一行的数据？提示：第二行，即先使ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，然后求出x的值．三、函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的图象的步骤2．上面两种方法中，左右平移的单位长度为什么不一样？提示：因为左右平移和伸缩变换都是对自变量x而言的，法二中，由步骤2到步骤3变换时，左右平移变换必须是只针对变量x，因为y＝sin(ωx＋φ)＝sinωx＋φω，所以将函数y＝sinωx的图象向左(右)平移|φω|个单位长度，即可得函数y＝sinωx＋φω＝sin(ωx＋φ)的图象．解析：∵T＝π，∴ω＝2.答案：B1.已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω0)在区间[0,2π]上的图象如图，那么ω＝()A．1B．2C.12D.132．将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ2π)个单位后，得到函数y＝sinx－π6的图象，则φ等于()A.π6B.11π6C.7π6D.5π6解析：将函数y＝sinx的图象向左平移φ个单位后，得到y＝sin(x＋φ)的图象，所以φ＝2kπ－π6(k∈Z)，又0≤φ≤2π，所以φ＝116π.答案：B3．已知简谐运动f(x)＝2sinπ3x＋φ|φ|π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π3解析：因为图象经过点(0,1)，所以1＝2sinφ，故sinφ＝12，又|φ|π2，∴φ＝π6.又知T＝2ππ3＝6.故A正确．答案：A4.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为________．解析：由图象知T＝8，A＝2.∴ω＝π4.∴f(x)＝2sinπ4x＋φ，把x＝2，y＝2代入上式，得2＝2sinπ2＋φ.∴sinπ2＋φ＝1.∵|φ|＜π2，∴φ＝0，∴f(x)＝2sinπ4x.答案：f(x)＝2sinπ4x5．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acosπ6x－6(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最低为18℃，则10月份的平均气温为________℃.解析：因为当x＝6时，y＝a＋A＝28；当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，所以f(x)＝23＋5cosπ6x－6，所以当x＝10时，f(10)＝23＋5cosπ6×4＝23－5×12＝20.5.答案：20.5【考向探寻】1．利用“五点法”作三角函数的图象．2．利用图象变换解题．3．由图象求函数的解析式．【典例剖析】(1)(2013·郑州模拟)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点A．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(2)已知函数y＝3sin12x－π4①作出函数在[0,4π]上的图象；②求此函数的单调增区间及对称轴方程．(1)图象→解析式→确定变换过程→答案(2)①确定12x－π4的范围→列表、描点、连线→图象②根据解析式→求解→答案.(1)解析：由图象知A＝1，T＝5π6－－π6＝π，∴ω＝2πT＝2.∴f(x)＝sin(2x＋φ)，又图象过点π3，0，由五点法知2π3＋φ＝π，∴φ＝π3，∴y＝sin2x＋π3.故将函数y＝sinx的图象先向左平移π3个单位后，再把所得图象上各点的横坐标缩为原来的12(纵坐标不变)，可得函数y＝sin2x＋π3的图象．答案：A(2)解：①∵0≤x≤4π，∴－π4≤12x－π4≤7π4.列表如下：x0π23π25π27π24π12x－π4－π40π2π3π27π43sin12x－π4－322030－3－322描点，作出函数图象如图．②由－π2＋2kπ≤12x－π4≤π2＋2kπ(k∈Z)得－π2＋4kπ≤x≤3π2＋4kπ(k∈Z)．∴函数的增区间为－π2＋4kπ，3π2＋4kπ(k∈Z)．由12x－π4＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝3π2＋2kπ(k∈Z)，∴函数图象的对称轴方程为x＝3π2＋2kπ(k∈Z)．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的步骤(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω.确定函数的周期T，则ω＝2πT.(3)求φ.常用方法有：①代入法：把图象上的已知点坐标代入解析式(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点”中的第一点－φω，0作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝3π2；“第五点”为ωx＋φ＝2π.当不能确定周期T时，往往要根据图象与y轴的交点，先求φ.【活学活用】1．作出函数y＝3sin2x＋π3(x∈R)的简图，(1)说明它与y＝sinx的图象之间的关系；(2)求出函数图象的对称中心．解：列表如下：x－π6π12π37π125π62x＋π30π2π3π22π3sin2x＋π3030－30描点，连线，得图象如图所示：利用函数的周期性，可以把上述简图向左、右扩展，就得到y＝3sin2x＋π3，x∈R的简图．(1)方法一：把函数y＝sinx的图象向左平移π3个单位，得函数y＝sinx＋π3的图象再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得函数y＝sin2x＋π3的图象．最后把所得图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，可得函数y＝3sin2x＋π3的图象．方法二：把函数y＝sinx的图象横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)得函数y＝sin2x的图象，再把所得函数图象向左平移π6个单位(纵坐标不变)，得函数y＝sin2x＋π6＝sin2x＋π3的图象，最后把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，可得函数y＝3sin2x＋π3的图象．(2)由2x＋π3＝kπ(k∈Z)得x＝－π6＋kπ2(k∈Z)，∴所求对称中心的坐标为－π6＋kπ2，0，(k∈Z).【考向探寻】利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的知识解决综合问题．【典例剖析】(2012·湖南高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R，ω0,0φπ2的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝fx－π12－fx＋π12的单调递增区间．(1)由图象确定A、ω、φ，可求得解析式；(2)化简g(x)后再求g(x)的单调递增区间．解：(1)由图象知，周期T＝211π12－5π12＝π，∴ω＝2πT＝2.因为点5π12，0在函数图象上，所以Asin2×5π12＋φ＝0，即sin5π6＋φ＝0.又∵0φπ2，∴5π65π6＋φ4π3，从而5π6＋φ＝π，∴φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以Asinπ6＝1，∴A＝2，故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin2x＋π6.(2)由题意知g(x)＝2sin2x－π12＋π6－2sin2x＋π12＋π6＝2sin2x－2sin2x＋π3＝2sin2x－212sin2x＋32cos2x＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3，由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.∴g(x)的单调递增区间是kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z.(1)三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)图象的特点函数y＝Asin(ωx＋φ)在R上的最大值为A，最小值为－A，也就是图象的最高点与最低点的纵坐标．周期为T＝2πω，在一个周期上必有一个最大值与一个最小值．(2)y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心及对称轴y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心是图象与x轴的交点，对称轴是过峰点(或谷点)且与x轴垂直的直线．【活学活用】2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R其中A0，ω0,0φπ2的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M2π3，－2.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈π12，π2时，求f(x)的值域．解：(1)由题意知A＝2，T2＝π2.∴T＝π，∴ω＝2ππ＝2.由点M2π3，－2在图象上得2sin2×2π3＋φ＝－2，∴sin4π3＋φ＝－1.∴4π3＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，∴φ＝2kπ－11π6.又0φπ2，∴φ＝π6.∴f(x)＝2sin2x＋π6.(2)∵π12≤x≤π2，∴π3≤2x＋π6≤7π6，∴当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝7π6，即x＝π2时，f(x)取得最小值－1，∴f(x)的值域为[－1,2].【考向探寻】利用三角函数知识解决现实中的实际问题．【典例剖析】如图，现在要在一块半径为1m，圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，MNPQ的面积为S.(1)求S关于θ的函数关系式；(2)求S的最大值及相应θ的值．(1)作PD、QE垂直于OB→求MN＝OD－OE→S＝MN×PD→得函数(2)化简函数→得y＝Asinωx＋φ型→求最值及θ解：(1)分别过点P、Q作PD⊥OB，QE⊥OB，垂足分别为D、E，则四边形QEDP是矩形，PD＝sinθ，OD＝cosθ.在Rt△OEQ中，∠AOB＝π3，则OE＝QEtan∠QOE＝33QE＝33PD.所以MN＝PQ＝DE＝OD－OE＝cosθ－33sinθ.所以S＝MN·PD＝cosθ－33sinθ·sinθ＝sinθcosθ－33s