2010级华南理工大学高等数学下期末试卷及答案

2010华南理工大学高等数学下期末考试试卷及答案一．填空题（每小题4分，共20分）1.函数2249zxy在点2,1的梯度为gradz{16,18}；2.函数44222zxyxxyy的极值点是1,1,,1,1；3.假设L为圆222xya的右半部分，则22Lxyds2a；4.设22esin(2)xAyxyzxzyijk，则(1,0,1)div|A0，5.设13y，223yx，233exyx都是方程22(2)(2)(22)66xxyxyxyx的解，则方程的通解为2123exycxc．二.(本题8分）计算三重积分222()xyzdv，其中是由2221xyz所围成的闭球体．解：1022020sindrrrdd4’544’三.（本题8分）证明：,fxyxy在点0,0处连续，0,0xf与0,0yf存在，但在0,0处不可微.证00lim00,0xyxyf，故,fxy在点0,0处连续；2’又由定义0,00,00,0lim00xxfxffx，0000,0lim00yyyfy；2’但220000limxyxyxy不存在，故在0,0处不可微。4’四．（本题8分）设函数),(yxu有连续偏导数，试用极坐标与直角坐标的转化公式sin,cosryrx，将xuyyux变换为,r下的表达式.解,uuruuuruxrxxyryy2’再由cos,sinxryy，分别对,xy求导数，得1cossin0sincosrrxxrrxx和0cossin0sincosrryyrryy解得sincos,rxxr，cossin,ryxr从而sincosuuuxrr，cossinuuuyrr，4’所以xuyyux=u2’五．（8分）计算22ddLxyyxxy,其中L为（1）圆周22111xy（按反时针方向）；解：222222222222222xxyxxyxyxxyyxyxyxy，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式04’（2）闭曲线1xy（按反时针方向）．解：222222222222222xxyxxyxyxxyyxyxyxy，原式1122dddd1001120.01LLDxyyxxyyxdxdyxy4’六．（8分）计算dyS，是平面4zyx被圆柱面122yx截出的有限部分．解：4,1,1xyzxyzz，1113dSdxdydxdy，:01,02Dr原式3Dydxdy4’1232200003sin3cos03ardrdr4’七.（8分）计算曲面积分2Iyzdzdxdxdy，其中为上半球面224zxy的上侧解取1为xOy平面上圆224xy的下侧，记为1与所围的空间闭区域。由高斯公式，有11200IyzdzdxdxdyzdV3’222204xyzzdzdxdy220(4)zzdz43’又22124202xyIyzdzdxdxdydxdy82’所以，有1212III八.（本题6分）求微分方程dsindyyxxxx的通解.解：对照标准的一阶线性微分方程d,dyPxyQxx1sin,,PxdxPxdxxPxQxyeQxedxCxx2’111lnlnlnsinsinsindxdxxxxxxxxxyeedxCeedxCexdxCxxx1cossinCxxdxCxx4’九.（本题6分）求微分方程22exyyy的通解.解：对应齐次方程特征方程为221,21211411131210,,,12242rrrrr2’非齐次项2xfxe，与标准式xnfxPxe比较得0,1n对比特征根，推得0k，2’从而***,,kxxxxnyxQxeaeyaeyae代入方程得221aaaa从而通解为212xxxycecee2’十.(非化工类做)（本题6分）求幂级数121141nnnnxn的收敛域.解：1111(1)4limlim241nnnnnnnnanRan4’当2x时121141nnnnxn即为111nnn条件收敛，收敛域[-2,2]2’十一.(非化工类做)（本题7分）将函数2()2xfxxx展开成麦克劳林级数，并确定其成立区间解：)1121()(xxxxf2’)2(00nnnnxxx4’=…成立区间(-1/2,1/2)1’十二.(非化工类做)（本题7分）设函数xf是以2为周期的周期函数，它在,上的表达式为xxxf0101将其展成傅里叶级数.解：0sin2cos1cos1cos1000kkxkxdxkxdxkxdxxfak1’00011112cossinsinsin211kkkxbfxkxdxkxdxkxdxkk2’11sin1121nnnxnxf2’（,2,1,0,nnx）2’十.(化工类做)（本题6分）求微分方程0d)46(d)63(3222yyyxxxyx的通解.解由于xyyxyxxyyx12)63()46(2232,所以原方程为全微分方程.2’3’于是,原方程的通解为Cyyxx422331’十一.(化工类做)（本题7分）1．计算Lxds其中L为直线yx及抛物线2yx所围成的区域的整个边界．解：L可以分解为1:,1,0,1Lyxyx及22:,2,0,1Lyxyxx12112200ddd11d12dLLLxsxsxsxxxxxÑ4’11113222220000121225512d14d1414828321212xxxxxx3’十二.(化工类做)（本题7分）求微分方程2201yyy的通解.解：令22,,01dpdpdydpdppyypppdxdydxdydyy2’分离变量21dpdypy，两边积分12,ln2ln1ln1dpdypycpy，211dypcydx3’分离变量121dycdxy，两边积分122111dycxcyy4223032023d)46(d3),(yyxxyyyxxxyxuyx1211ycxc2’