在命题逻辑中-是把简单命题作为基本单元或说作为原子来

在命题逻辑中，是把简单命题作为基本单元或说作为原子来看待的，不再对简单命题的内部结构进行分析如,命题：“squr(2)是无理数”和“squr(3)是无理数”是作为两个独立的命题看待的,不考虑命题间的联系事实上这两个命题仍可作分解，它们都有主词和谓词。这样的细分带来的好处是可将这两个有相同谓词(“是无理数”)的命题联系起来第四章谓词逻辑的基本概念命题逻辑的局限性举例：凡有理数都是实数，2/7是有理数，所以2/7是实数直观上看这样的推理应该是正确的。然而在命题逻辑里就不能描述这种推理设这三个命题分别以p,q,r表示，相应的推理形式为：(pq)r。由于对任意的p，q，r来说这推理形式并非重言式，也就是说这个推理形式不是正确的对这样的人们熟知的推理关系在命题逻辑中得不到正确的描述，自然是命题逻辑的局限性要认识这种推理规律，只有对简单命题做进一步剖析。这就需要引入谓词、变量以及表示变量数量的量词(全称量词和存在量词，分别表示一般的和个别的情况)，进而研究它们的形式结构和逻辑关系，这便构成了谓词逻辑约定小写字母表示命题大写字母表示谓词内容仅限于一阶谓词逻辑或称狭谓词逻辑说明4.1谓词和个体词4.1.1谓词例张三是学生．李四是学生．在命题逻辑里，这是两个不同的命题，只能分别以两个不同的符号如p，q表示然而这两个命题的共同点是，它们都有主词和谓词主词“张三”、“李四”是不同的，而谓词“是学生”是相同的现在强调它们的共同点．若以大写符号P表示“是学生”，这样两个命题的共同性可由P来体现了，但主词还需区别开来，便可把这两个命题分别写成P(张三)和P(李四)明显地描述了这两个命题的共同点和不同点一般地可引入变量x来表示主词，于是符号P(x)就表示“x是学生”．通常把P(x)称作谓词一元谓词在一个命题里，如果主词只有一个，这时表示该主词性质或属性的词便称作谓词．这是一元(目)谓词，以P(x)，Q(x)，…表示多元谓词在一个命题里，如果主词多于一个，那么表示这几个主词间的关系的词称作谓词．这是多元谓词，以P(x,y)，Q(x,y)，R(x,y,z),…表示．举例“张三和李四是表兄弟”．其中“是表兄弟”是谓词．“5大于3”．其中“大于”是谓词．“张三比李四高”．其中“比……高”是谓词．“天津位于北京的东南”．其中“位于……东南”是谓词．“A在B上”．其中“在……上”是谓词．谓词描述性定义4.1.2个体词个体词(主词)个体词是一个命题里表示思维对象的词P(张三)中的张三是个体词或称个体常项谓词P(x)中的变量x为个体变项或个体变元n项(目、元)谓词有n个个体的谓词P(x１，…，xn)称n项(目、元)谓词如果P是已赋有确定含义的谓词，就称为谓词常项如果P表示任一谓词时，就称为谓词变项个体域将个体变项的变化范围称为个体域或论域，以D表示论域是重要的概念，同一谓词在不同论域下的描述形式可能不同，所取的真假值也可能不同约定谓词逻辑的个体域除明确指明外，都认为是包括一切事物的一个最广的集合谓词变项的变化范围，不做特别声明时，指一切关系或一切性质的集合4.1.3谓词的定义谓词视作为一个个体的性质或多个个体间的关系。进一步抽象地定义，谓词是给定的个体域到集合{T，F}上的一个映射举例如P(x)其中xD，而P(x)的取值为T或F．又如“房子是黄色的”可由谓词YELLOW(HOUSE)表示.当HOUSE取值为房子又是黄色的，该命题方为真．借助于谓词的抽象定义，也可用二元谓词VALUE(COLOR,HOUSE)来描述这命题.VALUE就是个体到{T,F}的映射，不一定有什么具体含义仅当个体COLOR取值为黄色的，HOUSE取值为房子时VALUE取值为T一般地说谓词P(x),Q(x，y)是命题形式而不是命题谓词符号P,Q的含义没有指定，即它们是谓词变项个体词x，y也是个体变项从而不可能确定P(x)，Q(x，y)的真值是取真还是取假仅当谓词变项取定为某个谓词常项，并且个体词取定为个体常项时，命题形式才化为命题P(x)表示x是有理数，那么P(3)是命题，真值为TQ(x，y)表示x大于y，那么Q(2，3)是命题，取值为F谓词的真值依赖于个体变元的论域说明4.1.4谓词逻辑与命题逻辑可认为谓词逻辑是命题逻辑的推广，命题逻辑是谓词逻辑的特殊情形因为任一命题都可通过引入具有相应含义的谓词(个体词视为常项)来表示或认为一个命题是没有个体变元的零元谓词命题逻辑中的很多概念、规则都可推广到谓词逻辑中延用如联结词可照搬到谓词逻辑，无需再做说明有的等值式推理式也可移植到谓词逻辑然而谓词逻辑里出现了个体变元，谓词、量词等概念，特别是个体论域常是无限域，加大了处理难度最简单又深刻的例子在命题逻辑里一个公式不难判定它是否是重言式，真值表法是能行的方法．然而在谓词逻辑里就没有一般的能行算法来判定任一公式是不是普遍有效的(或称定理、永真式)4.2函数和量词4.2.1函数在谓词逻辑中出现变量，自然也会考虑引入函数函数是某个体域(不必是实数)到另一个体域的映射不同于谓词：将个体映射为真假值函数并不单独使用，是嵌入在谓词中举例函数father(x)表示x的父亲，若P(x)表示x是教师，则P(father(x))就表示x的父亲是教师当x的取值确定后，P(father(x))的值或为真或为假又如“张三的父亲和李四的哥哥是同事”可描述成COLLEAGUE(father(张三),brother(李四))其中谓词COLLEAGUE(x，y)表示x和y是同事，而father(x),brother(x)是函数约定函数符号用小写字母表示，如f，g，father，…4.2.2量词用来表示个体数量的词是量词可看作是对个体词所加的限制、约束的词主要不是对数量一个、二个、三十……的具体描述，而是讨论两个最通用的数量限制词：一个是“所有的”一个是“至少有一个”，分别称为全称量词和存在量词。在某种意义上说，这是一对相对立的词全称量词举例“凡事物都是运动的”这命题中的“凡”就是表示个体变元数量的词，“凡”的等义词有“所有的”、“一切的”、“任一个”、“每一个”．这句话的意思是说对任一事物而言，它都是运动的．或对任一x而言，x是运动的．由于个体x的论域是包含一切事物的集合，这句话可形式描述为(x)(x是运动的).若再以P(x)表示x是运动的，那么还可写成(x)P(x)符号:(x)读作所有的x或任一x，一切x．而就是全称量词，它所约束的个体是x定义:命题(x)P(x)当且仅当对论域中的所有x来说，P(x)均为真时方为真．这就是全称量词的定义性质:(x)P(x)＝F成立,当且仅当有一个x0D,使P(x0)＝F注意(x)(P(x)Q(x))(x)P(x)Q(x).量词的运算优先级高于逻辑联结词存在量词举例“有的事物是动物”这命题中“有的”就是表示个体变元数量的词，“有的”的等义词有“存在一个”、“有一个”、“有些”．这句话的意思是说有一事物，它是动物．或有一x，x是动物可形式描述为(x)Q(x),其中Q(x)表示x是动物符号:(x)读作至少有一个x或存在一个x或有某些x．而就是对个体词起约束作用的存在量词，所约束的变元是x定义:命题(x)Q(x)当且仅当在论域中至少有一个x0，Q(x0)为真时方为真．这就是存在量词的定义性质:(x)Q(x)＝F成立,当且仅当对所有的x0D,使Q(x0)＝F注意(x)(P(x)Q(x))(x)P(x)Q(x)4.2.3约束变元和自由变元在一个含有量词的命题形式里，区分个体词受量词的约束还是不受量词的约束是重要的．无论在定义合式公式以及对个体变元作代入时都需区分这两种情形若P(x)表示x是有理数，这时的变元x不受任何量词约束，便称是自由的．而(x)P(x)中的两处出现的变元x都受量词的约束，便称作约束变元，受约束的变元也称被量词量化了的变元命题形式(x)P(x)Q(y)中，变元x是约束的，而变元y是自由的量词的辖域量词所约束的范围称为量词的辖域．如(x)R(x,y)中，R(x,y)是(x)的辖域(x)((y)P(x,y))中，P(x,y)是(y)的辖域,(y)P(x,y)是(x)的辖域命题形式P(x),在P确定为某个谓词常项时,如P(x)表示x是自然数,如何化为命题?个体变元x取为个体常项。如：P(2)=T是命题将x量化。即(x)P(x)或者(x)P(x)都是命题(x)P(x)表示论域D上任一x,x都是自然数(x)P(x)=F(x)P(x)表示论域D上有一x,x是自然数(x)P(x)=T考虑命题形式P(x,y)如何用量化的方法化为命题？变元易名规则变元易名规则:(x)P(x)=(y)P(y)注：(x)(P(x)Q(x,y))≠(y)(P(y)Q(y,y))这样理解。因为在同一论域D上，对一切x，x具有性质P，同对一切y，y具有性质P，除变元x和y的区别外并无差异，从而(x)P(x)和(y)P(y)真值相同4.3合式公式目的像命题逻辑一样，需限定所讨论的命题形式的范围由于谓词逻辑里引入了个体词、量词，从而带来了复杂性关注一阶谓词逻辑，而不是高阶谓词逻辑限定在量词仅作用于个体变元不允许量词作用于命题变项和谓词变项也不讨论谓词的谓词例如：不考虑下述公式(p)(Q(x)p)，量词作用于命题p(Q)(x)(Q(x)P(x))，量词作用于谓词Q(x)P(x,Q(y))，谓词的谓词符号约定命题变项：p,q,r,…个体变项：x,y,z,…个体常项：a,b,c,…或者大写英文单词谓词变项：P,Q,R,…谓词常项：大写英文字母,如GREAT函数：f,g,…或者小写英文单词五个联结词：﹁,∧,∨,,两个量词：,小括号：(,)合式公式定义1.命题常项、命题变项和原子谓词公式(不含联结词的谓词)都是合式公式．2.如果A是合式公式，则﹁A也是合式公式．3.如果A,B是合式公式，而无变元x在A,B的一个中是约束的而在另一个中是自由的,则(A∧B),(A∨B),(AB),(AB)也是合式公式(最外层括号可省略)4.如果A是合式公式，而x在A中是自由变元，则(x)A,(x)A也是合式公式5.只有适合以上4条的才是合式公式判断一个公式是否为合式公式合式公式p,P(x,y)∨Q(x,y),(x)(A(x)B(x)),(x)(A(x)(y)B(x,y))非合式公式(x)F(x)∧G(x),违反第3条(x)((x)F(x)),违反第4条(x)P(y),违反第4条作业一P661(1,4,6,8)2(3)3(3)4(2)4.4自然语句的形式化使用计算机来处理由自然语句或非形式化陈述的问题，首要的工作是问题本身的形式描述命题逻辑表达问题能力，仅限于联结词的使用．而谓词逻辑由于变元、谓词、量词和函数的引入具有强得多的表达问题能力，已成为描述计算机所处理知识的有力工具，AI将谓词逻辑看作是一种基本的知识表示方法和推理方法使用谓词逻辑描述以自然语句表达的问题，首先要将问题分解成一些原子谓词，引入谓词符号，进而使用量词、函数、联结词来构成合式公式4.4.1“所有的有理数都是实数”的形式化所有的有理数都是实数，其意思是说，对任一事物而言，如果它是有理数，那么它是实数．即对任一x而言，如果x是有理数，那么x是实数若以P(x)表示x是有理数，Q(x)表示x是实数，这句话的形式描述应为(x)(P(x)Q(x))因为x的论域是一切事物的集合，所以x是有理数是一个条件形式化注意:这句话不能形式化为(x)(P(x)∧Q(x))这公式的意思是说，对所有的x，x是有理数而且又是实数“所有的……都是……”，这类语句的形式描述只能使用而不能使用∧当P(x)与Q(x)为此例中的谓词常项时