华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案二

《高等数学》（下册）测试题二一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）1．设()yzxyfx，且()fu可导，则zzxyxy为（D）A．2xy；；B．2()xyz；C．2()xy；D．2z．2．从点(2,1,1)P到一个平面引垂线，垂足为点(0,2,5)M，则这个平面的方程是（B）A．236360xyz；B．236360xyz；C．236360xyz；D．236360xyz．3．微分方程(1)1xy的通解是（D）A．21(1)ln|1|yxxC；B．12ln|1|yxCxC；C．212ln|1|yxxCxC；D．12(1)ln|1|yxxCxC．4．设平面曲线L为下半圆周21yx，则曲线积分22()dLxys等于（A）A．π；B．2π；C．3π；D．4π．5．累次积分24112211deddedxxxxyyxxyxyyy＝（A）A．e；B．2e；C．3e；D．4e．二．填空题（每小题5分，本大题共15分）1．曲面333xyzza在点(0,,)aa处的切平面方程是0xza；.2．微分方程232exyyyx的待定特解形式是*xyxaxbe；3．设是球面2222xyza的外测，则曲面积分32222dddddd()xyzyzxzxyxyz＝4．三、一条直线在平面：20xy上，且与另两条直线L1：1141xyz及L2：412201xyz（即L2：42(2)10xzy）都相交，求该直线方程．（本题7分）解：先求两已知直线与平面的交点，由,120,141xyzxyt1,4,1,50,0,0,1.0,0,1xtytztttxyzM由41220,,201xyzxyt242,1,2,4220,3,2,1.2,1,1xtyztttxzM由两点式方程得该直线：122xzy四、求函数2223uxyzz在点(1,1,2)0M处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数．（本题7分）解：02,2,232,2,1,Mgraduxyzgradu沿梯度方向上函数的方向导数04413Mgradu五、做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？（本题8分）解：设底圆半径为r，高为h，则由题意，要求的是222Srrh在条件21rh下的最小值。2233222122114222,40,,2dSSrrrrrhrrdrrr由实际问题知，底圆半径和高分别为3314,2rh才能使用料最省六、设积分域D为224,0,0xyxy所围成，试计算二重积分22sin()dDxy．（本题8分）解：观察得知该用极坐标，224,0,0xyxy24,cos0,sin0,02,02rrrr22222222220000sinsin()dsin2cos1cos42Drxydrrdrdrr七、计算三重积分dzv，式中为由2212zxyz所确定的固定的圆台体．（本题8分）解：解：观察得知该用先二后一的方法22242111d1544zDzvzzdzdxdyzzdz八、设()fx在(,)上有连续的一阶导数，求曲线积分2221()d[()1]dLyfxyxxyfxyyyy，其中曲线L是从点2(3,)3A到点(1,2)B的直线段．（本题8分）解：在上半平面)0(y上2221[()1]()()Qxyfxyfxyxyfxyxxyy211()()()PQyfxyfxyxyfxyyyyyx且连续，从而在上半平面)0(y上该曲线积分与路径无关，取折线(3,2)(1,2)2(3,)3BAC21222222331()314(2)d[()1]d[(3)1]dd2Lyfxyxfxxyfxyyyfyyxyyy2122116222223332633331313(3)d2(2)d()()dt22fydyydxfxxftdtxftyy21233313913422222xy九、计算曲面积分()dxyzS，其中，为上半球面：2222(0)xyzRz．（本题8分）解：由于,,,,xyzxyz，故()ddxyzSzS为上半球面，则cos0,2,2,2//,,,,,xyznxyzxyznRRR原式222222200RDzRxyRrdxdydxdydrdrRRR2322400221124RRRrrdrRrrRR32R十、求微分方程cosπ2dtan2e0,|1dxxyxyyx的解．（本题8分）解：cosdcot2e,dxyyxxcotcotcoslnsincoslnsin2e2exdxxdxxxxxyeedxceedxccoscos112esin2esinsinxxyxdxccxx由π2|1xy，得cos112,1,12esinxccyx十一、试证224,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyxyfxyxyxy在点(0,0)处不连续，但存在有一阶偏导数．（本题4分）解：沿着直线2,(,)(0,0)xkyxy，2222420000lim(,)lim1yyxkyxkyxykfxyxyk依赖k而变化，从而二重极限不存在，函数在点(0,0)处不连续。而(,0)0,0,0,0,00,0,00xyfxfyff十二、设二阶常系数线性微分方程exyyy的一个特解为2e(1)exxyx，试确定常数,,，并求该方程的通解．（本题4分）解：由解的结构定理可知，该微分方程对应齐次方程的特征根应为122,1rr，否则不能有这样的特解。从而特征方程为221320,rrrr因此3,21xyxe为非齐次方程的另一个特解，111,2xxyxeyxe2e231,2332,1xxxxxexexexxx故3,2，1，exyyy通解为212e()exxyccx附加题：（供学习无穷级数的学生作为测试）1．求无穷级数113nnnxn的收敛域及在收敛域上的和函数．解：2111limlim23313nnnnnnaRnan由于在3x时发散，在3x时条件收敛，故收敛域为[3,3)看111,[1,1),01nnstttsn，则11011,ln1,11tnntstttstdtttt从而111ln1,[3,0)(0,3)133331,03nnnxxxxxsnx2．求函数()(2)ln(4)fxxx在01x处的幂级数展开式．解：()(1)1ln5(1)(1)1ln5ln115fxxxxx10(1)1ln51115nnnxxn21110011ln51ln5111515nnnnnnnnxxxnn22016111ln5ln5115512nnnnnxxnn3．将函数0,20()1,02xfxx展开成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围．解：作周期延拓，22020114,2,1122Tlafxdxdx2220111coscossin02222nnxnxafxdxdxnn222011111sinsincos12222nnnxnxafxdxdxnnn从而1111sin,2,22nnnxfxxkkZn