组合应用题课前自助餐:某课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法?(1)只有一名女生;解(1)一名女生,四名男生.故共有C15·C48=350(种).(2)将两队长作为一类,其他11人作为一类,故共有C22·C311=165(种).(2)两队长当选;(3)至少有一名队长当选;(3)至少有一名队长含有两类:只有一名队长和两名队长.故共有:C12·C411+C22·C311=825(种)或采用排除法:C513-C511=825(种).(4)至多有两名女生含有三类:有两名女生、只有一名女生、没有女生.故选法为:(5)分两类:第一类女队长当选:故选法共有:C412+C14·C37+C24·C27+C34·C17+C44=790(种).C25·C38+C15·C48+C58=966(种).C412;第二类女队长不当选:C14·C37+C24·C27+C34·C17+C44.课前自助餐:某课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法?(4)至多有两名女生当选;(5)既要有队长,又要有女生当选.高考链接(辽宁)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有()A.70种B.80种C.100种D.140种解析:法一(间接法)当选择的3名医生都是男的或都是女的时候,解法二(直接法)当队中有一名女医生时,共有C35+C34=14种方法,.从9人中选择3人一共有C39=84种方法,所以要求男,女都有,共有84-14=70种组队方法.当队中有2名女医生时有C14C25=40种组法,有C24C15=30种组法,综上,共有70种队组队方法.从6名男生和2名女生中选出3名志愿者,其中至少有1名女生的选法共有()A.36种B.30种C.42种D.60种[解析]法一:(直接法)选出3名志愿者中含有1名女生2名男生或2名女生1名男生,故共有C12C26+C22C16=2×15+6=36种选法.法二:(间接法)从8名学生中选出3名,减去全部是男生的情况,故共有C38-C36=56-20=36种选法.1甲、乙两人从4门课程中各选修2门,(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种?(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种?解(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,且甲乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C24C12C12=24(种).(2)甲、乙两人从4门课程中选两门不同的选法种数为C24C24,又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C24种,因此满足条件的不同选法种数为C24C24-C24=30.组合问题常有以下两类题型变化:(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.探究提高练习1.从7名男同学和5名女同学中,选出5人,分别求符合下列条件的选法总数为多少?(1)A、B必须当选;(2)A、B都不当选;(3)A、B不全当选;(4)至少有2名女同学当选;(5)选出3名男同学和2名女同学,分别担任体育委员、文娱委员等五种不同的工作,但体育委员必须由男同学担任,文娱委员必须由女同学担任.【解析】(1)只要从其余的10人中再选3人即可,有=120种;(2)5个人全部从另外10人中选,总的选法有=252种;(3)直接法:分两类:A、B一人当选,有=420种;A、B都不当选,有=252种;所以总的选法有420+252=672种;间接法:从12人中选5人的选法总数中减去从不含A、B的10人中选3人的选法总数,得到总的选法有=672种;310C510C14210CC510C531210CC(4)直接法:分四步:选2名女生,有=10×35=350种;选3名女生,有=210种;选4名女生,有=35种;选5名女生,有=1种.所以总的选法有350+210+35+1=596种;间接法:从12人中选5人的选法总数中减去不选女生与只选一名女生的选法数之和,即总选法有=596种;2357CC3257CC4157CC55C551412757CCCC(5)分三步:先选1男1女分别担任体育委员、文娱委员的方法有=35种;再选出2男1女,补足5人的方法有=60种;最后为第二步选出的3人分派工作,有=6种方法.所以总的选法有35×60×6=12600种.1175CC2164CC33A高考链接.甲、乙、丙3人站在共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是________(用数字作答).解析:当每个台阶上各站1人时有A33C37种站法,当两个人站在同一个台阶上时有C23C17C16种站法,因此不同的站法种数有A33C37+C23C17C16=210+126=336种.直接法:3名骨科,内科、脑外科各1名选派种数为C33·C14·C15;高考链接(2013·重庆高考)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答).5903名脑外科,骨科、内科各1名选派种数为C34·C13·C15;3名内科,骨科、脑外科各1名选派种数为C35·C13·C14;内科、脑外科各2名,骨科1名选派种数为C24·C25·C13;骨科、内科各2名,脑外科1名选派种数为C23·C25·C14;骨科、脑外科各2名,内科1名选派种数为C23·C24·C15.所以选派种数为:C33·C14·C15+C34·C13·C15+C35·C13·C14+C24·C25·C13+C23·C25·C14+C23·C24·C15=590.例2.一杂技团有8名演员,6人会口技,5人会魔术,今从这8人中选出2人,1人演口技,1人演魔术,有多少种不同的选法?口技魔术2a3a1a1b2b1c2c3c解2:以全能型演员为主分类:(1)都不上场;(2)1人上场;(3)2人上场所以共有选法1132CC①若演口技,则②若演魔术,则1132CC1133CC2232CA111122323332CCCCCA27.多面手问题解3:以只会口技的演员为主分类:(1)都不上场;(2)只有1人上场所以共有选法1135CC1134CC11113435CCCC27.口技魔术2a3a1a1b2b1c2c3c例2.一杂技团有8名演员,6人会口技,5人会魔术,今从这8人中选出2人,1人演口技,1人演魔术,有多少种不同的选法?解4:以只会演魔术的演员为主分类:(1)都不上场;(2)只有1人上场所以共有选法1126CC1135CC11113526CCCC27.口技魔术2a3a1a1b2b1c2c3c例2.一杂技团有8名演员,6人会口技,5人会魔术,今从这8人中选出2人,1人演口技,1人演魔术,有多少种不同的选法?变式.一杂技团有8名演员,6人会口技,5人会魔术,今从这8人中选出4人,2人演口技,2人演魔术,有多少种不同的选法?例:给下面的5个行政区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种颜色可供选择,问共有多少种不同的涂色方案?2315433431433244333144324132472(分两类完成)用种颜色涂色有:)用种颜色涂色有:共有种)解:CACACACACA问:用4种颜色给下面的5个行政区域涂色,要求相邻区域不同色,问共有多少种不同的涂色方案?变式练习1.如图,6个扇形区域A、B、C、D、E、F,现给这6个区域着色,要求同一区域涂同一种颜色,相邻的两个区域不得使用同一种颜色,现有4种不同的颜色可有多少种方法?2.用6种不同的颜色给如图所示的4个格子涂色,每个格子涂1种颜色,要求最多使用3种颜色且相邻的2个格子不同色,不同的涂色方法共有________种.解析:若用2种颜色涂,有C26种选法相邻格异色、1个格子1种颜色的涂法有A22种,共有C26A22=30(种);若用3种颜色涂,有C36种选法,任选两个不相邻的格子,有3种选法,再与另两格一起涂3种颜色,则有3×A33种,共有C36×A33×3=360(种),综上,所求涂色方法总共有390种.错位排列(1)(湖北)将标号为1,2,3,……,10的10个球放入标号为1,2,3,……,10的10个盒子中,每个盒内放一个球,恰好有4个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法有___________种(2)编号为1、2、3、4、5的五个球放入编号为1、2、3、4、5的五个盒子里,至多有2个对号入座的情形有___________种109直接法:3455552944109CCC间接法:535511109AC4109C·配对问题例从6双不同尺码的鞋子中任取4只,其中恰有2只配成双的不同取法共有()(A)480种(B)240种(C)180种(D)120种解:12116522240CCCC练习从6双不同尺码的鞋子中任取4只,其中至少有2只配成双的不同取法共有多少种取法?44141262()255CCC元素相同问题隔板策略例.有10个相同的球,分给7个不同的盒子,每个盒子至少一个球,有多少种分配方案?解:因为10个球没有差别,把它们排成一排。相邻球之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插入6个隔板,可把球分成7份,对应地分给7个不同的盒子,每一种插板方法对应一种分法,共有___________种分法。盒子一盒子二盒子三盒子四盒子五盒子六盒子七69C将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为11mnC练习题1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个球,共有多少装法?3.x+y+z+w=97求这个方程的自然数解的组数3100C49C2.x+y+z+w+h=10,求这个方程的正整数解的组数.49C例1平面上有9个点,其中有4个点共线,除此外无3点共线①用这9个点可以确定多少条直线?几何组合问题②用这9个点可以确定多少个三角形?【解析】①确定一条直线需要两个点,因为有4个点共线,所以这9个点所确定直线的条数为C29-C24+1=31.③用这9个点可以确定多少个四边形?②确定一个三角形需要三个不共线的点,所以这9个点确定三角形的个数为C39-C34=80.③确定一个四边形需要四个不共线的点,所以这9个点确定四边形的个数为C49-C15C34-C44=105.跟踪练习:平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线.以这些点为顶点,可构成多少个不同的三角形?[思路点拨]解答本题可以从反面考虑,任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数,也可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准,.法一(间接法):从12个点中任意取3个点,有C312=220种取法,而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形,即不能构成三角形的情况有C34=4种.故这12个点构成三角形的个数为C312-C34=216个.[精解详析]法一:以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准.第一类:共线的4个点中有2个点为三角形的顶点,共有C24C18=48个不同的三角形;第二类:共线的4个点中有1个点为三角形的顶点,共有C14C28=112个不同的三角形;第三类:共线的4个点中没有点为三角形的顶点,共有C38=56个不同的三角形.由分类加法计数原理知,不同的三角形共有48+112+56=216个.变式训练在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形个。解析把与正八边形有公共边的三角形分为两类: