整环里的因子分解

Inourclasses,allthemobilephonesshouldbeswitchedoff!上课啦！Theclassisbegin!第四章整环里的因子分解第26讲§1相伴元、不可约元、素元在整数环Z里，每一个非零的不等于1的数，都可以分解成若干素数（包括负素数）的乘积，而且除了因数次序和1的因数差别以外，分解是唯一的。在数域P上的一元多项式环Px中，每一个次数大于等于1的多项式，都能分解成若干不可约多项式的乘积，而且除了因子次序和零次因式的差别以外，分解是唯一的。在一般的整环上，元素的唯一分解性结论怎么样？由于整数环Z和数域P上的一元多项式环Px都是有单位元的整环，因此，以下所说的环K，均假定为有单位元的整环且1K。一、相伴元、不可约元、素元的定义1、整数环中的整除及素数的概念在一般整环里的推广。定义1设,abK，K。（1）若存在元素cK使abc则称b整除a，也称b是a的因子，记为|ba。若b不能整除a，则记为|ba。（2）若是一个有逆元的元，则称为K的单位。（3）若ab，其中是K的一个单位，则称a与b相伴，并称a是b的相伴元。（4）单位和相伴元称为a的平凡因子；别的因子，如果有的话，称为a的非平凡因子或真因子。例1在中,6有因子:1,-1,2,-2,3,-3,6,-6.其中1与-1为单位,6和-6与6相伴,2,-2,3,-3为6的真因子.容易证明通常整除的一些基本性质在这里均成立。在整数环Z中，只有±1才是单位，因此在整数环Z中两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一个符号；数域P上的一元多项式环Px中的单位是全体零次多项式，Px中两个多项式相伴当且仅当这两个多项式只相差一个非零常数因子。显然，环K中元素间的相伴关系是一个等价关系。因此，若a与b相伴，则b与a相伴。容易证明a与b相互整除当且仅当a与b相伴。2、整环的单位的性质：定理4.1.1设环K的全体单位组成的集合为G，则G对K的乘法构成一个交换群。证明对任意,abG，有,abK，存在11,abK，因11aa，11bb，从而有1111()()()1abbaabba。所以ab为单位，故abG。因K满足结合律，所以在G中亦满足结合律。由于K的单位元1是可逆的，所以1G。G中的每一个元都有逆元，且逆元在G中。故G对于K的乘法构成交换群。推论两个单位和的乘积也是一个单位，单位的逆元1也是一个单位。例2求出高斯整环Zi中的所有单位以及整数5在Zi中的所有真因子。解（1）设abi是Zi的任一单位，则有Zi使1，221。这只有2221ab，从而有1a，0b或0a，1b。即1和i是环Zi的全部单位。（2）设abi是5在Zi中的任一真因子，则存在Zi，使得5，2225。这只有21、5或25。由于是5的真因子，而环Zi的单位只有1，i，故21；又225。若225，则21。即是单位，与5相伴。这与是5的真因子矛盾。故只有2225ab。解此方程得12ab，21ab。于是，5的全部真因子共有8个，它们是12i，2i。实际上，5的不相伴的真因子只有两个，12i，而其余的真因子都与这两个中的某一个相伴。3、不可约元、素元的定义：定义2设0,aKa且a不是单位。若a只有平凡因子，则称a为环K的一个不可约元。否则，称a为环K的一个可约元。定义3设pK，0p且p不是单位。若当pab时，必有pa或pb，则称p为K的素元。例3在中,任一素数既是素元又是不可约元.例4在中,证明:是不可约元,但不是素元.证明(1)首先证明在中不可约.设,则.所以.即.由此得(i),;(ii),;(iii),.(i)如果,则,所以.如果,则.当,时,.因为.当,时,.(ii)如果,,这不可能。(iii)如果,,则.由此知,的任一因子都不是真因子,故在中不可约.(2)证明不是中的素元.由于,而,故不是素元.二、相伴元、不可约元、素元的关系定理4.1.2环K中不可约元a的任意相伴元仍为K中的不可约元。证明设是K中的任意一个单位，则a是a的任意一个相伴元。下证a是K中的不可约元。由于0，0a，K无零因子，所以0a；又由于a是不可约元，所以a不是单位，否则，存在K，使得()1a，从而有()1a，于是a为单位，这与a是不可约元矛盾。设|ba，令abc，且b不是单位，则有1()abc，即|ba。但a是不可约元，故b只能是a的相伴元。设1()()baa，（是单位）。由于1也是单位，从而b是a的相伴元，即a只有平凡因子。因此a是不可约元。定理4.1.3整环中一个不等于零的元a有真因子的充分必要条件是：a=bc(b和c都不是单位)。证明若a有真因子b,那么a=bc这里的b由真因子的定义不是单位。c也不是单位，不然的话1acb，b是a的相伴元，与b是a的真因子的假定不合。反过来，假定a=bcb和c都不是单位。这时b不会是a的相伴元，不然的话cacaab1,c是单位，与假定不合。这样，b既不是单位，也不是a的相伴元，b是a的真因子。证毕。显然，整数环Z中的不可约元和素元都是正负素数，数域P上的一元多项式环Px中的不可约元和素元都是不可约多项式。但对一般的整环K不可约元和素元是有区别的。定理4.1.4环K中素元一定是不可约元。证明：设pK，a是p的任一因子，且pab（1）由于环K有单位元，故|pp，pab。但p是素元，故有pa或pb。若pa，令apc，代入（1）得ppcb，则1cb，即b是单位，从而a与p相伴。若pb，同理可得a是单位，b与p相伴。因此p只有平凡因子，从而p是不可约元。应注意，这个定理的逆命题不成立，即不可约元不一定是素元。例55{5|,}ZiabiabZ是有单位元的整环。若2||9，则必是环[5]Zi的不可约元。证明事实上,若5abi是的任一因子，则有[5]Zi，使222,||||||9，这只有2||1,3或9。但易知222||53ab，故只有2||1或9。当2||1时，是可逆元；当2||9时，2||1，即是单位，于是与相伴。因此，只有平凡因子，即是不可约元。由此可知，环[5]Zi中的元素3及25i都是不可约元。由于32525ii，但3不能整除25i与25i中任何一个，即3不是环5Zi的素元。习题二十六1、证明：在高斯整环DZi中，3是不可约元，5是可约元。2、证明：2nmDmZ，nZ，0n是整环，并指出D的哪些元素是单位，哪些是素元。3、设ZnminmizD,|33(1)证明：是D的单位11||2；(2)求Z的相伴元。习题二十六解答1、证明先一般地证明满足29a的元a是Zi的不可约元。显然0a而a也不是单位。现设bmni是a的因子，则,abccZi，于是2229abc，而对,mnZ2223bmn，因而有21b或9，当21b时，b为单位。当29b时，有21c，即c是单位，于是b与a相伴，从而b不是a的真因子，因此a是Zi的不可约元。由于239，所以3是Zi的不可约元。因为522ii，所以5是Zi的可约元。2.证D是整环，显然。１）D的单位。可以把m表为ppmk(2是０或奇数，k非负整数）我们说1p时，即km2是单位，反之亦然２）D的素元。依然是kppmk,(2的限制同上）我们要求ⅰ）0pⅱ）1pⅲ）pk2只有平凡因子满足ⅰ）——ⅲ）的p是奇素数故pmk2而p是奇素数时nm2是素元，反之亦然，3证（1）D的元是单位，当而且只当12时，事实上，若3mni是单位则11即2'221，于是2'21但2223mn是一正整数，同样2'也是正整数，因此，只有12。由22231mn，则只能1,0,1.m且n即反之，若1,0,1.m且n即则显然显然是D的单位。(2)由相伴元的定义可得2的相伴元只有2与-2。Theclassisover.Goodbye!