数字信号处理复习总结

数字信号处理复习要点引言数字信号处理主要包括如下几个部分1、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析2、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换3、数字滤波器的设计一、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析1、离散时间信号：1）离散时间信号：时间是离散变量的信号，即独立变量时间被量化了。信号的幅值可以是连续数值，也可以是离散数值。2）数字信号：时间和幅值都离散化的信号。（本课程主要讲解的实际上是离散时间信号的处理）3）离散时间信号可用序列来描述4）序列的卷积和（线性卷积）mnhnxmnhmxny)(*)()()()(5）几种常用序列a)单位抽（采、取）样序列（也称单位冲激序列）)(n,0,00,1)(nnnb)单位阶跃序列)(nu,0,00,1)(nnnuc)矩形序列，其它nNnnRN,010,1)(d)实指数序列,)()(nuanxn6）序列的周期性所有n存在一个最小的正整数N,满足：)()(Nnxnx,则称序列)(nx是周期序列，周期为N。正弦序列)sin()(0nAnx的周期性取决于0，nx是周期序列。7）时域抽样定理：一个限带模拟信号()axt，若其频谱的最高频率为0F，对它进行等间隔抽样而得()xn，抽样周期为T，或抽样频率为1/sFT；只有在抽样频率02sFF时，才可由()xn准确恢复()axt。2、离散时间信号的频域表示（时域离散信号的傅里叶变换；序列的傅立叶变换）nnjje)n(x)e(X)j(X，((2))()XjXjdejXnxnj)(21)(3、离散时间信号的复频域分析（时域离散信号的Z变换，序列的Z变换）nnznxnxzX)()]([)(Z；1）Z变换与傅立叶变换的关系，jezzXjX)()(2）Z变换的收敛域收敛区域要依据序列的性质而定。同时，只有Z变换的收敛区域确定之后，才能由Z变换唯一地确定序列。一般来来说，序列的Z变换的收敛域在Z平面上的一环状区域：xxRzR||3）有限长序列：其它021NnNnxnx)()(，右序列：1()()0xnNnxn其它，||Rx-z左序列：2()()0xnnNxn其它，（|z|Rx+，N20时：0|Z|Rx+；N2≤0时：0≤|Z|Rx+）双边序列：(),xnn，xxRzR||总结：因果序列的收敛域包括无穷大点。常用序列的Z变换：111[()]1,||01[()],||111[()],||||11[(1)],||||1nnZnzZunzzZaunzaazZbunzbbzZ变换之逆变换11()()2ncxnXzzdzj，C：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线1）留数定理：1()[()C]nxnXzz在内极点留数之和，即1()Re[(),],()(),nkkkxnsFzzFzXzzz其中为极点。对于单极点zi：11Re[()][()]iinnzzizzsXzzzzXzz2）留数辅助定理（C内有高阶极点时）：1()[()C]nxnXzz在外极点留数之和适用条件：F(z)在C外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上！！3）利用部分分式展开：1()1kkAXzaz，然后利用定义及常用序列的Z变换求解。4、离散时间系统：[()]()Txnyn系统函数：()()()YjHjXj，()()()YzHzXz冲激响应：()[()]hnTn5、线性系统：满足叠加原理的系统。[()()][()][()]TaxnbynaTxnbTyn6、移不变系统：若[()]()TxnYn，则[()]()TxnkYnk7、线性移不变系统设系统的输入序列为x(n)，它可以表示为单位取样序列的移位加权和，即:mxnxmnm那么，系统对应的输出为：[]mynTxnTxmnm如果该系统是一线性移不变系统，根据其线性则有：mmynTxmnmxmTnm又根据移不变性和h(n)定义，则有：冲激响应：()[()]hnmTnm所以此时系统输出为：()()*()ynxnhn，()()()YjXjHj，()()()YzXzHz8、系统的频率特性可由其零点及极点确定N1kNkM1iMiN1k1kM1i1iN0kkkM0iiiz)zz(z)zz(A)zz1()zz1(Azazb)z(X（式中，zk是极点，zi是零点；在极点处，序列x(n)的Z变换是不收敛的，因此收敛区域内不应包括极点。）9、稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若|()|xn，则|()|yn线性移不变系统是稳定系统的充要条件：|()|nhn或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆|z|=110、因果系统：0n时刻的输出0()yn只由0n时刻之前的输入0(),xnnn决定。线性移不变系统是因果系统的充要条件：()0,0hnn或：其系统函数H(z)的收敛域在某圆外部：即：|z|Rx11、稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统——P62线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：|()|nhn，()0,0hnn或：H(z)的极点在单位园内，且H(z)的收敛域满足：||,1xxzRR12、差分方程线性移不变系统可用线性常系数差分方程表示（差分方程的初始条件应满足松弛条件）inxbknyaMiiNkk0013、差分方程的解法1）直接法：递推法2）经典法3）由Z变换求解二、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换（第三、四章）1、周期序列的离散傅立叶级数（DFS）)]([)(nxDFSkXpp210()NjknNpnxne10()NknpNnxnW()[()]ppxnIDFSXk211NjknNPKOXkeN11NknPNKOXkWN其中：NW=Nje/22、有限长序列的离散傅立叶变换(DFT))]([)(nxDFTkX{[()]}()NNDFSxnRk10()NknNnxnW，0≤k≤1N()[()]xnIDFTXk{[()]}()NNIDFSXkRn101()NknNkXkWN，0≤n≤1N应当注意，虽然)n(x和()Xk都是长度为N的有限长序列，但他们分别是由周期序列)(nxp和)(kXp截取其主周期（主值区间）得到的，本质上是做DFS或IDFS，所以不能忘记它们的隐含周期性。尤其是涉及其位移特性时更要注意。3、离散傅立叶变换与Z变换的关系22()()|()|jkNkzeNXkXjXz4、频域抽样定理对有限长序列x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔抽样，抽样点数为N，或抽样间隔为2/N，当N≥M时，才可由X(k)不失真恢复()Xj。内插公式：1101()()1NNkkNzXkXzNWz5、周期卷积、循环卷积周期（线性）卷积：13120()()()Npppmxnxmxnm循环卷积：31()()xnxn2()xn13120()()()()()NpNppNmxnRnxmxnmRn6、用周期（周期）卷积计算有限长序列的线性卷积对周期要求：121NNN（N1、N2分别为两个序列的长度）7、时域抽取基2FFT算法（DIT-FFT）1）数据要求：2MN10/21/212(21)00/21/21120022()()()()(2)(21)()()NknknknNNNnnnNNkrkrNNrrNNkrkkrNNNrrXkxnWxnWxnWxrWxrWxrWWxrW偶数奇数1、N=8，FFT运算流图2、DIT―FFT的运算规律序列长N=2M点的FFT，有M级蝶形，每级有N/2个蝶形运算。每个蝶形都要乘以旋转因子WpN，p称为旋转因子的指数。222MLLLMPJJJNNN，12,0,1,2,,21MLLPJJ第L级共有B=2L-1个不同的旋转因子；同一蝶形运算两输入数据的距离B=2L-1。同一级中，每个蝶形的两个输入数据只对本蝶形有用，每个蝶形的输入、输出数据节点在同一条水平线上。经过M级运算后，原来存放输入序列数据的N个存储单元中可依次存放X(k)的N个值。原位计算：利用同一存储单元存储蝶形计算的输入输出数据。3）DIT-FFT计算效率（复数运算）：乘法运算次数：21log()2NN，加法计算次数：2log()NN（对比DFT运算：乘法运算次数：2N，加法计算次数：(1)NN）（复数运算）8、利用DFT对模拟信号进行谱分析首先必须对信号进行采样，使之变成离散信号，然后，就可按照前面的方法，用FFT来对连续信号进行频谱分析。按采样定理，采样频率应大于2倍信号的最高频率，为了满足采样定理，一般在采样之前要设置一个抗混迭低通滤波器。由此可得到用FFT对模拟信号进行频谱分析的方框图如下截断的信号时间长度为Tp=NT，F表示对模拟信号频谱的采样间隔，所以称之为频率分辨率11,sspFFFNFTNTN即：，信号分析过程中为了避免混叠，要求cs2fF，为提高频率分辨率可以增加采样点数N，或者增加对信号的观察时间TpFfNc2FT1p——例3.4.2及习题18注意：：用FFT进行频谱存在的问题1）频谱泄漏，2）为栅栏效应。各种形式的傅里叶变换：非周期实连续时间信号的傅里叶变换：频谱是一个非周期的连续函数；周期性连续时间信号的傅里叶变换：频谱是非周期性的离散频率函数；非周期离散信号的傅里叶变换：频率函数是周期的连续函数；离散周期序列的傅里叶变换：具有既是周期又是离散的频谱。三、数字滤波器的设计（一）FIR滤波器的设计de)e(H21)n(hnjjdd1、特点：可实现严格的线性相位特性、系统是稳定的、因果的；阶数较高。2、实现线性相位的条件（1）h(n)为实数（2）A类线性相位：h(n)=h(N-1-n)可以设计一般意义下的FIR滤波器；N是偶数时，不能做高通滤波器。或B类线性相位：h(n)=-h(N-1-n)对称中心：m=(N-1)/2适于做希尔伯特变换器，微分器和正交网络。3、主要设计方法用窗函数法设计FIR滤波器的步骤（1）给定希望逼近的频率响应函数Hd(ejω)。1100()(),()()()NNnnmHzhnzynhmxnm，FIR滤波器的网络结构：直接型：x(n)y(n)z－1z－1z－1h(0)h(1)h(2)h(N－2)h(N－1)级联型：将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个实系数的二阶形式；级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。设FIR网络系统函数H(z)为：H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3画出H(z)的直接型结构和级联型结构。解：将H(z)因式分解得：H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)其直接型结构和级联型结构分别如下图的b图、a图所示。z－1z－1z－1x(n)0.60.51.623y(n)y(n)x(n)z－1z－1z－10.9622.81.5(a)(b)a图b图（2）求单位脉冲响应hd(n)。（3）由过渡带宽及阻带最小衰减的要求可选定窗形状，并估计窗口长度N：设待求滤波器的过渡带用Δω表示，它近似等于窗函数主瓣宽度。因过渡带Δω近似与窗口长度成反比，N≈