《线性代数》教案

武昌理工学院理论课程教案2018—2019学年第一学期课程名称线性代数学院信息工程学院系（部）数学课部授课专业班级造价1701、1702主讲教师杜洪艳职称教授选用教材线性代数教务处制表第十次课线性方程组的解一、教学目标1．让学生理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件；2．使学生掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法；3．培养学生的抽象思维能力及分析问题解决问题的能力。二、教学重点、难点教学重点为行初等变换求线性方程组通解的方法；教学难点为齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件。三、教学形式探究式。四、教学内容及方法上课前蓝墨云班课点名3.3.1解线性方程组1.概念导入由实际问题导入线性方程组的概念，让学生意识到线性方程组求解的问题与我们的实际生活及工作息息相关。引例：某商场衬衫专柜销售S、M、L、XL四种型号的某品牌衬衫。四种型号衬衫的售价分别为260元、270元、280元、300元。已知当天共售出衬衫26件，营业额为4100元。并已知L好衬衫的销售量为S号与XL号衬衫销售量的总和，L号衬衫的销售量收入也为S号与XL号衬衫销售量收入的总和。试问当天每种型号的衬衫分别售出几件？解：设S、M、L、XL号衬衫销售量分别为𝑥1、𝑥2、𝑥3、𝑥4，根据题意得{  𝑥1+ 𝑥2+  𝑥3+ 𝑥4=26260𝑥1+270𝑥2+280𝑥3+300𝑥4=4100    𝑥1   − 𝑥3+   𝑥4=   0260𝑥1    −280𝑥3+300𝑥4=   02.利用矩阵的行初等变换解线性方程组例：1231231233464241270xxxxxxxxx解线性方程组3→3→3→3→→→{  𝑥1+2𝑥2+4𝑥3=1𝑥2−1𝑥3=1 −3𝑥3=.[124101−1100−3]得得0724643142072142464332132132132132132121xxxxxxxxxxxxxxxxxxrr解07214643142107211421464321rr写出方程组增广阵方程的对换矩阵的行对换254321xxx210050104001由上式可知方程组有唯一解。3.3.2齐次线性方程组1111221211222211220,0,0.nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxaxLLML对应矩阵方程为0Ax。1、齐次线性方程组有非零解的条件齐次线性方程组必有零解定理n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是R(A)n.特别地，当A为方阵时，Ax=0仅有零解的充要条件：0A有非零解的充要条件：0A推论1若齐次线性方程组中方程的个数m少于未知数的个数n，则方程必存在非零解．推论2设齐次线性方程组中方程的个数m与未知数的个数n一样多，若其系数行列式不等于零，则方程必存在非零解．3.3.3非齐次线性方程组的解mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2112222212111212111Axb矩阵形式：，与增广矩阵（A,b）一一对应当常数项bi不全为0时,称为非齐次线性方程组;当常数项bi全为0时,为与之对应的齐次线性方程组,也称作非齐次线性方程组的导出组.任一线性方程组必满足以下三项之一：（1）无解；（2）有惟一解；（3）有无穷组解.“解线性方程组”常用消元法.消元过程中需反复用线性方程组的初等变换.而线性方程组的初等变换与其增广矩阵的初等变换一一对应阶梯形线性方程组的三种基本类型：例:x1x2+2x3=82x2+x3=1x3=5leadingvariables2x1+3x2x3=12x2+x3=20=1x1+2x2+x3+x4=2x3+4x4=3自由变量阶梯阵的形状与线性方程组的解3.3.4利用矩阵的秩讨论线性方程组解的存在性定理任一线性方程组Ax=b有解的充要条件是系数矩阵与其增广矩阵的秩相等，即R(A)=R(A|b).证（反证法）若R(A)≠R(A|b)，则方程组的增广阵化简的行阶梯形含形如(0,0,,0,b),b≠0的行向量，显然方程组无解，与已知矛盾.线性方程组Ax=b解的存在性判别法：2x1+3x2x3=12x2+x3=20=1x1x2+2x3=82x2+x3=1x3=5x1+2x2+x3+x4=2x3+4x4=30=0无解有唯一解有无数解解的数目Ax=bAx=b~~[A,b]~~[A,b]r2≠r1r2=r1=nr2=r1n234102120001212802110015121200130000若R(A)≠R(Ab)，则方程组无解；若R(A)=R(Ab)=r=n时，则方程组有唯一解.若R(A)=R(Ab)=rn时，则方程组有无穷多解.()||0.nnAxbRAnA推论：有唯一解例1判断下列线性方程组是否有解,若有解,求出全部解.14445232224323233132143214321321321321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx）（）（解对增广阵作初等行变换，得同解方程组，再判断和求解481003810023312124321323311131243rrrrbA]|[)(100038100233123rr()23(|).RARAb，则原方程组无解此时没必要继续化简成行最简形1444523232143214321xxxxxxxxxxx）（2131221491230068200231111014445111231112rrrrrbA|)(000003410011011912300341002311123213rrrr()(|)24,RARAb因，方程组有无穷组解同解方程组为：34143421xxxxx43421431xxxxx即：24xx可选与为自由未知量。练习题：1.若线性方程组12323323122(1)xxxxxx无解，则数=______．2.求下列齐次线性方程组的通解．13412412345023020xxxxxxxxxx3.求线性方程组的123412345221.53223xxxxxxxx12xx的通解，小结：指导学生对本节知识进行小结练习题：1.求下列齐次线性方程组的通解13412412345023020xxxxxxxxxx2.求线性方程组的通解．12341234522153223xxxxxxxx12xx复习题：12.高斯消元法解线性方程组的特点是什么？用矩阵的初等变换来表示消元法必须注意什么？13.如果方程组有无穷多组解，那么自由未知量应如何选取？14.若线性方程组11112211211222221122,,.nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb的方程个数小于未知量个数，即mn，且都小于矩阵A的秩()RA，问方程组是否一定有无穷多解？为什么？15.设有个方程个未知量的线性方程组11112211211222221122,,.nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb若系数行列式为D，设jD是把D的第j列换成常数项列后所成的行列式，如果12nDDDD，问方程组是否一定有无穷多解?预习题：行向量与列向量一样吗？2.线性相关的定义中说存在一组“不全为零”的数，以及在线性无关的定义中所说的“否则”是什么意思？3.向量组线性相关与线性无关的几何意义是什么？4.判别向量组线性相关性的主要方法有哪些？