菱形的判定

1菱形的判定菱形的判定(1)四条边相等的四边形是菱形；(2)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形。01基础题知识点1有一组邻边相等的平行四边形是菱形1．如图，若要使▱ABCD成为菱形，则可添加的条件是()A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BCD．AC＝BD第1题图第2题图2．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是()A．AB＝BCB．AC＝BCC．∠B＝60°D．∠ACB＝60°3．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．知识点2对角线互相垂直的平行四边形是菱形4．如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件(答案不唯一)，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)5．(2017·岳阳)求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD．2知识点3四条边相等的四边形是菱形6．(2016·大庆)下列说法正确的是()A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线互相垂直C．一组对边平行的四边形是平行四边形D．四边相等的四边形是菱形7．(2017·宁夏)在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．02中档题8．(2017·聊城)如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是()A．AB＝ACB．AD＝BDC．BE⊥ACD．BE平分∠ABC9．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是()A．矩形B．菱形C．一般的四边形D．平行四边形10．(2016·兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝23，DE＝2，则四边形OCED的面积为()A．23B．4C．43D．811．(2016·沈阳)如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：312．(2016·聊城)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．03综合题13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.(1)求证：AD＝BC；(2)若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．一．选择题1．下列命题正确的是（）A．邻角相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形2．下列命题中，正确的是（）A．有一个角是60°的平行四边形是菱形B．有一组邻边相等的四边形是菱形C．有两边相等的平行四边形是菱形D．四条边相等的四边形是菱形1．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（）A．AB=CDB．AC=BDC．当AC⊥BD时，它是菱形D．当∠ABC=90°时，它是矩形2．下列命题不正确的是（）A．对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形;B．两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形;C．两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形;D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形.4二．填空题1．在平行四边形ABCD中，若一条对角线平分一个内角，则四边形ABCD为______形．2．如图所示，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分的四边形ABCD是______形．3．（方案设计题）小华为班级设计了一个班徽，图中有一菱形，为了检验小华所画的菱形是否准确，请你以带有刻度的三角尺为工具，帮小华设计一个检验的方案．4．在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥BC，请添加一个条件，使四边形ABCD是菱形，所添加的条件是_________．三．解答题1.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E.求证:四边形AFCE是菱形.52.如图所示，O是矩形对角线交点，过O作EF⊥AC分别交AD，BC于E，F，若AB=2cm，BC=4cm，求四边形AECF的面积．3.如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：AD⊥EF．4.（2017安顺）已知：如图11所示，在ABC△中，ABACDEF，，，分别是ABBCAC，，边上的中点．（1）求证：四边形ADEF是菱形（2）若24AB，求菱形ADEF的周长．ADFBEC图1165.如图所示，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD，BC，AC分别交于点E，F，O，连接AF，EC，则四边形AFCE是菱形吗？为什么？6．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，试说明四边形AEDF是菱形．7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AP∥BD，DP∥AC，AP、DP相交于点P，则四边形AODP是什么样的特殊四边形，并说明你的理由．78.如图所示，过ABCD的对角线的交点O作互相垂直的两条直线EG，FH，与平行四边形各边分别交于E，F，G，H，求证：四边形EFGH是菱形．7..如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E.又点F在DE的延长线上，且AF=CE.求证：四边形ACEF是菱形.8.如图,在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由.89．如图所示，在矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论．10.如图,已知过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H.求证：四边形EFGH是菱形.11.（2017青岛）将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．ABCDEFD′912．在如图中，若△ADE≌△CBF，点E、F分别为AB、CD的中点，BD是对角线AG//DB交CB的延长线于G。①求证：四边形ABCD是平行四边形；②若四边形BFDE是菱形，则四边形AGBD是矩形；③在②中应增加什么条件，才能判别矩形AGBD是正方形。13．如图，已知O是矩形ABCD对角线BD的中点，过点O作BD的垂线交DC于F，交AB于E，说明四边形DEBF的形状．14.如图所示，在△ABC中，AB=AC，P为BC的中点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，EM⊥AC于M，FN⊥AB于N，EM与FN相交于点Q，那么四边形PEQF是菱形吗？说明你的理由．1015．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于D，CG⊥AB于G，交AD于F，DE⊥AB于E，那么四边形CDEF是菱形吗？说说你的理由．16.（2015•郴州）如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由．17.已知边长为10的菱形ABCD，对角线BD＝16，过线段BD上的一个动点P(不与B、D重合)分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．(1)如图1，求证：△PBE∽△PDF；(2)连接PC，当PE＋PF＋PC取最小值时，求PB的长；(3)如图2，对角线BD、AC交于点O，以PO为半径(PO＞0)的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时，求PB的长．ABCDEPF第21题图1OABCDEPF第21题图2ABCDO第21题备用图2ABCDO第21题备用图111如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是ADBC，的中点，GH，分别是BDAC，的中点，ABCD，满足什么条件时，四边形EGFH是菱形？请证明你的结论．ABC△是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点BC、重合），ADE△是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线ABAC、于点FG、，连接BE．（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．①求证：AEBADC△≌△；②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．ABCDE（第27题图）FGHAGCDBFE图（a）ADCBFEG图（b）第25题图