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1第一章行列式§1二阶与三阶行列式一、二阶行列式的定义设二元线性方程组用消元法解得令称为二阶行列式则二、三阶行列式的定义设三元线性方程组用消元法解得令称为三阶行列式则2§2全排列及其逆序数一、全排列个不同元素排成一列。可将个不同元素按1~进行编号，则个不同元素的全排列可看成这个自然数的全排列。个不同元素的全排列共有种。逆序的定义：取一个排列为标准排列，其它排列中某两个元素的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时，则称这两个元素构成一个逆序。通常取从小到大的排列为标准排列，即1~的全排列中取123为标准排列。二、逆序及逆序数逆序数的定义：一个排列的逆序数的总数称为逆序数。逆序数为偶数称为偶排列，逆序数为奇数称为奇排列，标准排列规定为偶排列。例：讨论1，2，3的全排列。全排列123231312132213321逆序数022113奇偶性偶奇逆序数的计算：设为的一个全排列，则其逆序数为其中为排在前，且比大的数的个数。例：求的逆序数。解：，3§3阶行列式的定义下面可用全排列的方式改写二阶，三阶行列式。二阶行列式其中①是的全排列，②是的逆序数，③是对所有的全排列求和。三阶行列式其中①是的全排列，②是的逆序数，③是对所有的全排列求和。n阶行列式的定义其中①是的全排列，②是的逆序数，③是对所有的全排列求和。4例：，§4对换*对换的定义：一个排列中某两个元素的位置互换成为对换。定理1对换一次改变排列的奇偶性。定理2阶行列式为其中为的逆序数。5§5行列式的性质转置行列式的定义设称为的转置行列式。性质1行列式与它的转置行列式相等。性质2行列式互换两行（列），行列式变号。推论行列式有两行（列）相同，则此行列式为零。性质3行列式的某一行（列）的所有元素乘以数，等于用数乘以该行列式。推论行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外。性质4行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零。性质5若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。即若则性质6把行列式某一行（列）的元素乘以数再加到另一行（列）上，则该行列式不变。例计算6解。例计算解。7§6行列式按行（列）展开定义在阶行列式中，把元素所处的第行、第列划去，剩下的元素按原排列构成的阶行列式，称为的余子式，记为；而称为的代数余子式。引理如果阶行列式中的第行除外其余元素均为零，即则。证先证简单情形：；再证一般情形：定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即（此定理称为行列式按行（列）展开定理）证：8例解例解从而解得。定理的推论行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即结合定理及推论，得9或，，其中§7克拉默法则定理（克拉默法则）设线性方程组的系数行列式则上述线性方程组有唯一解：，其中证明在第二章当全为零时，即称之为齐次线性方程组。显然，齐次线性方程组必定有解（）。根据克拉默法则，有1．齐次线性方程组的系数行列式时，则它只有零解（没有非零解）102．反之，齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式。第二章矩阵及其运算§１矩阵一、矩阵的定义称行、列的数表为矩阵，或简称为矩阵；表示为或简记为或或；其中表示中第行，第列的元素。注：第一章中行列式为按行列式的运算规则所得到的一个数，而矩阵是个数的整体，不对这些数作运算。例如，公司的统计报表，学生成绩登记表等，都可写出相应的矩阵。设都是矩阵，当则称矩阵与相等，记成。二、特殊形式阶方阵：矩阵行矩阵：矩阵（以后又可叫做行向量），记为列矩阵：矩阵（以后又可叫做列向量），记为11零矩阵：所有元素为0的矩阵，记为对角阵：对角线元素为，其余元素为0的方阵，记为单位阵：对角线元素为１，其余元素为0的方阵，记为三、线性变换的系数矩阵线性变换的定义：设变量能用变量线性表示，即这里为常数．这种从变量到变量的变换称为线性变换，线性变换由个元函数组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称之为线性变换。上式的系数可构成一个矩阵称之为线性变换的系数矩阵。线性变换和系数矩阵是一一对应的。例如，直角坐标系的旋转变换（变量到变量12的变换）的系数矩阵为恒等变换的系数矩阵为同样，齐次线性方程组与系数矩阵也是一一对应的。非齐次线性方程组与增广矩阵13也是一一对应的。§2矩阵的运算一、加法设，都是矩阵，则加法定义为显然，①，②二、数乘设是数，是矩阵，则数乘定义为显然①，②，③三、乘法乘法运算比较复杂，首先看一个例子设变量到变量的线性变换为14变量到变量的线性变换为那么，变量到变量的线性变换应为即定义矩阵和的乘积为按以上方式定义的乘法具有实际意义。由此推广得到一般定义设，，则乘法定义为其中，注：两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列数；乘积矩阵的第行，第列元素为前一个矩阵的第行元素与后一个矩阵的第行元素对应相乘再相加。15例：设，，则一个必须注意的问题：1．若，，则成立，当时，不成立；2．即使，，则是阶方阵，而是阶方阵；3．如果，都是阶方阵，例如，，则，而；综上所述，一般（即矩阵乘法不满足交换率）。但是下列性质显然成立：①，②，③，几个运算结果：1．162．3．若为矩阵，是阶单位阵，则；若是阶单位阵，则。4．线性变换的矩阵表示：设，，，，则5．线性方程组的矩阵表示：，，，则矩阵的幂：，，，。例：证明证：用归纳法：时，显然成立，假定时成立，则时17从而结论成立。由于是直角坐标旋转角度变换的系数矩阵，故而是旋转了角度变换的系数矩阵。四、转置设，记则称是的转置矩阵。显然，①，②，③，④对称矩阵的定义：若矩阵满足（即），则称是对称阵例：设是矩阵，证明是阶对称阵，是阶对称阵。例：设，且，为阶单位阵，，证明：①是对称阵，②。证：，故是对称阵。。五、方阵的行列式18为阶方阵，其元素构成的阶行列式称为方阵的行列式，记为或。显然，①，②，③。例：设记，其中是的代数余子式，称为的伴随阵。证明：。证：设设。例：设为（）阶实方阵，且，，求。解：注意到由，得，，由于，故。19六、共轭矩阵为复矩阵，为的共轭复数，则称为的共轭矩阵。显然，①，②，③。§3逆矩阵设为阶方阵，若有同阶方阵使得则称是可逆的，为的逆阵，可以证明，如果是可逆的，则的逆阵是唯一的，并记的逆阵为，从而上式可写成例：，例：设到的线性变换由下式给出其逆变换到的线性变换则右下式给出20这是因为，则，例：线性方程组有唯一解：定理1（矩阵可逆的充分必要条件）可逆。证：：若可逆，则存在，使得，，所以。：若，则由得，故而可逆。在证明中可知这是的计算公式，其中是的伴随阵，是的代数余子式。例：，求。解：，，，，，，21，，，例：，，求。解：，，，，，。推论：是阶方阵，，则。可逆阵的性质：1．可逆可逆，且。2．可逆，可逆，且。3．可逆，且同阶可逆，且。4．可逆可逆，且。定义负幂次方：设可逆，则定义，。例：设，求。其中，，。。22例：设方阵满足，证明可逆，并求。证：。§4矩阵分块法例设可按以下方式分块，每块均为小矩阵：，，，则矩阵分块法是用若干条横线和若干条竖线将矩阵分割成几个小矩阵。矩阵分块法的运算性质：1．加法：设，，则。2．数乘：设，是数，则。3．乘法：设，，则23其中，，，。4．转置：设，则。5．对角分块的性质：设，其中均为方阵，则。若可逆，则。例。求。解设，，则，，则。例设，为可逆方阵，求24解设，则由得，其中，按乘法规则，得解得：，，，故。几个矩阵分块的应用：1．矩阵按行分块：设，记，则矩阵按列分块：记，则。2．线性方程组的表示：设25若记，，则线性方程组可表示为。若记，则线性方程组可表示为或。若记，则线性方程组可表示为或。3．矩阵相乘的表示：设，，则。设，，则，其中是矩阵，是，是。4．对角阵与矩阵相乘：，。26第三章矩阵的初等变换与线性方程组§1矩阵的初等变换定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换：1．互换两行（记）；2．以数乘以某一行（记）；3．把某一行的倍加到另一行上（记）。若将定义中的“行”换成“列”，则称之为初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换。定义若矩阵经有限次初等行变换变成矩阵，则称与行等价，记；若矩阵经有限次初等列变换变成矩阵，则称与列等价，记；若矩阵经有限次初等变换变成矩阵，则称与等价，记。等价关系满足：1．反身性：；2．对称性：；3．传递性：。例用初等行变换解线性方程组：27解（称是该线性方程组的增广矩阵）,（称为行阶梯形矩阵），（称为行最简形矩阵）对应的线性方程组为取，则28即对矩阵，总能经若干次初等行变换和初等列变换变成如下形式，（称之为标准形）。§2矩阵的秩定义在矩阵中，任取行列的元素，按原排列组成的阶行列式，称之为的阶子式。若矩阵中有一个阶子式，并且所有的阶子式全为零，则称为的最高阶非零子式，称为的秩，记。例在中，一个2阶子式，所有3阶子式均为零：，，，故。特别，当阶方阵的行列式，则；反之，当阶方阵的秩，则。因此阶方阵可逆的充分必要条件是（满秩）。29定理若，则。例求的秩，以及一个最高阶非零子式。解用初等行变换化为行阶梯形矩阵：所以，，是的一个最高阶非零子式。§3线性方程组的解定理n元线性方程组1．无解2．有唯一解3．有无穷多解证设，为讨论方便，不妨设增广矩阵经若干次初等行变换变成如下行最简形矩阵证301．，则，上述矩阵的第r+1行对应矛盾方程，故方程组无解。2．，则上述行最简形矩阵为对应的方程组是即表示方程组有唯一解。3．，则，对应的方程组可表示为令，则解得方程组含个参数的解：即由于参数可任取，故方程组有无穷多个解。31例求解齐次线性方程组解例求解线性方程组解例设线性方程组问取何值时，方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解。解1．时，，方程组有唯一解；2．时，，方程组无解；3．时，，方程组有无穷多解，并且通解为32一些推广：1．矩阵方程有解。2．，则。3．矩阵方程只有零解。