曲线积分复习题答案

《高等数学）》第8章曲线积分第1页曲线积分一、第一类曲线积分1．设平面曲线L为下半圆周21xy,求Lsyxd)(22.解：曲线L：txcos，tysin，]2,[t，tsd1d，222dd)(tsyxL2．设一段锥面螺线L：txtcose，tytsine，tzeπ20t上点zyx,,处的线密度为2221,,zyxzyx，求该构件的质量．解：计算微分dttztytxds222)()()(dtetetetetettttt222)cossin()sincos(dtetetettt22222)sincos(2dtedtett332syxMLd),(6223d3e212202tett3．计算syLd2，其中L是抛物线2yx上点（0，0）与（1，1）之间一段弧．解：221:,[0,1],14Lyxxdsxdx，syLd2xxxd4122102xxxxxxd41882d41221021010322210413282)41(d4182xxx)155(122)15(12234．设一折线型构件占有xoy面上曲线弧L，L为连接点)0,2(A，)0,0(O与点)3,0(B的折线段，且在曲线L上点yx,处的线密度为33,yxyx，求该构件的质量．解：syxMLd),(，21LLL，1L是先沿直线从点)0,2(A到点)0,0(O，1L:0y，02:x，4d01)0(d)(d),(2033311xxsyxsyxLL2L是沿直线点从)0,0(O到点)3,0(B，2L：0x，30:y，481d01)0(d)(d),(3033322yysyxsyxLL，syxMLd),(49744815.计算dseLyx22,其中L是由cos,sin,[0,]4xatyatt.《高等数学）》第8章曲线积分第2页解::cos,sin,[0,],4Lxatyattdsadt.224044xyaaaLaedseadtaee.二、第二类曲线积分6.设一质点在力Fyixj的作用下，沿圆周cos,sinxRtyRt上由10t到22t的一段弧移动作的功W．解L为：cossinxRtyRt.:02t.sindxRtdt，cosdyRtdt，20sin(sin)coscosLydxxdyRtRtdtRtRtdt22222200sincoscos2RttdtRtdt2201sin202Rt7．计算3dLxyy，其中L是抛物线2xy上从点)0,0(到点)1,1(的一段弧．解：L:2xy,:01x,2dyxdx，3dLxyy13202dxxxx1702277x8．计算Lyxyxyxd)(d)(，其中（1）L是先沿直线从点)1,1(到点)2,1(，然后再沿直线到点)2,4(的折线．（2）L是抛物线xy2上从点)1,1(到点)2,4(的一段弧解：（1）1L是先沿直线从点)1,1(到点)2,1(，1L:1x，21:y，21d)1(0)1(d)(d)(211yyyyxyxyxL2L是沿直线点从)2,1(到点)2,4(，2L:2y，41:x，227d)2(d)(d)(412xxyxyxyxL，Lyxyxyxd)(d)(=1421227（2）3L:2yx，21:y，Lyxyxyxd)(d)(21232122d)2(d)(d2)(yyyyyyyyyyy334)213121(21234yyy9．设有一平面力场iyaxF22，将一质点沿曲线L：222)(ayax0a从点aa,移动到点0,2a所作的功1W，求a．解：曲线L：taaxcos，taysin，02:t，《高等数学）》第8章曲线积分第3页W1d)sin()(]d[302222attaaxyaxL，1a10．设一质点在力kxjziyF的作用下，从点A2,1,0沿直线段移动到点B5,3,2，求力F作的功W．解：直线AB的方程为：32212zyx，23,12,2tztytx，点A2,1,0对应0t，点B5,3,2对应1t，10:t，W1432d2)23(d2)12(ddd10dttttttzxyzxyL三、格林公式及积分与路径无关11．计算422(23)d()dLxxyyxxyy，其中L是曲线222xyy取顺时针方向．解：4(,)23Pxyxxyy,22(,)Qxyxy，23Pxy,2Qxx，422(23)d()dLxxyyxxyy()DQPdxy3333DDdd12．计算曲线积分[esin2]d(ecos)dxxLIyxxyxy，其中L为曲线21yx上点(1,0)A沿逆时针方向到点(1,0)B的一段弧．解：cosxPeyy,cos1xQeyx，QxPy，用格林公式，添加直线段BA，形成封闭曲线L[esin2]d(ecos)dxxLyxxyxy(1)1DDdd2直线段BA：0y，:11x，BA[esin2]d(ecos)dxxyxxyxy1120xdxLLBA213．设L222xyx,逆时针方向，求sindcosdLyxxxy．解:(,)sin,(,)cosPxyyxQxyx，sinPxyxQ,所以曲线积分与路径无关,sindcosdLyxxxy014．设一变力在坐标轴上投影42323,4XxyyYxxy，这力确定了一个力场．证明（1）质点在此场内移动时场力所作的功与路径无关；（2）求质点从点)0,1(A移动到点(2,1)B，该变力所作的功．解:功423(23)d(4)dLWxyyxxxyy，其中423(,)23,(,)4PxyxyyQxyxxy,《高等数学）》第8章曲线积分第4页324PxyyxQ，因为yPxQ,所以曲线积分与路径无关.即场力所作的功与路径无关.（2）求质点从点)0,1(A移动到点(2,1)B，该变力所作的功．选择折线段AOBAO:0,:12,0yxdy,4231(23)d(4)dAOWxyyxxxyy2133dxOB:2,:01,d0xyx，4232(23)d(4)dOBWxyyxxxyy113400(48)(42)2ydyyy12515.计算2()d(sin)dLxyxxyy,其中L为圆周22yxx上由点(0,0)O到点(1,1)B的一段弧.解2(,)Pxyxy(,)sinQxyxy，1QxPy.积分与路径无关.添加直线段OA：0,:01yx，AB:1,:01xy.120()d(sin)d(1sin)dABxyxxyyyy10(cos)cos12yy2()d(sin)dOAxyxxyy1312001d()33xxx2()d(sin)dLOAABxyxxyyL15cos12cos13316.设L为由0,2,0,3xxyy所围成的逆时针方向的封闭折线，求xydydxyL2)1(2．解:2Pyy,2Qyx,所以曲线积分与路径无关,2(1)d2dLyxxyy017．求)0,2((0,0)dsindcoseyyxyx．解:sinxPeyyxQ,所以曲线积分与路径无关.选择线段OA0,:02yx)0,2((0,0)dsindcoseyyxyx22OA0ecosdsind1xxyxyyedxe18．设L为圆域xyxD2:22的正向边界，求dyyxdxyxL)()(33．解:1yP,1xQ,dyyxdxyxL)()(33(11)22Dd