频率采样法

§8.3频率采样法工程上，常给定频域上的技术指标，所以采用频域设计更直接。一、基本思想使所设计的FIR数字滤波器的频率特性在某些离散频率点上的值准确地等于所需滤波器在这些频率点处的值，在其它频率处的特性则有较好的逼近。内插公式二.设计方法1）确定2）计算3）计算kkH、)(ZH)(nh,)()(2kjkNkjdeHkHeH1,,1,0Nk,)(1)(10/2NkNnkjekHNnh1,,1,0Nn10)()(NnnznhzH三、约束条件为了设计线性相位的FIR滤波器，采样值H（k）要满足一定的约束条件。前已指出,具有线性相位的FIR滤波器，其单位脉冲响应h(n)是实序列，且满足，由此得到的幅频和相频特性，就是对H(k)的约束。例如，要设计第一类线性相位FIR滤波器，即N为奇数，h(n)偶对称，则幅度函数H（ω）应具有偶对称性：)1()(nNhnh21)(NjjeHeH)2()(HH令则必须满足偶对称性：而必须取为：kjkeHkH)(NkNNkNk)1(212同样，若要设计第二种线性相位FIR滤波器，N为偶数，h(n)偶对称，由于幅度特性是奇对称的，2HHkNkHHkH1,,1,0Nk1,,1,0Nk因此，Hk也必须满足奇对称性：相位关系同上，其它两种线性相位FIR数字滤波器的设计，同样也要满足幅度与相位的约束条件。kNkHH1,1,0,)1(NkNkNk1,1,0Nk四、逼近误差由或H（z）。由上述设计过程得到的与的逼近程度，以及与H（k）的关系？由1,,1,0,)(1)(10/2NnekHNnhNkNnkj令，则1010/210)(1)()(NnnNkNnkjNnnzekHNznhzH10/210)(1NnnNnkjNkzekHN1/21011)(1zezkHNNkjNNk1011)(1)(NkkNzWkHNzzHNjeW/2单位圆上的频响为：10/21)(1NkjNkjNjjeekHNeeH10212//2sin2/sin)(1NkNkNjeNkNkHN10)(NkjkekH这是一个内插公式。式中为内插函数令则NkNjjkeNkNNe212//2sin)2/sin(1kikieiNjk01)(21,,1,0,Ni内插公式表明：在每个采样点上，逼近误差为零，频响严格地与理想频响的采样值H(k)相等；在采样点之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭加而形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想频率响应的曲线形状有关，理想特性平滑，则误差小；反之，误差大。在理想频率响应的不连续点附近，会产生肩峰和波纹。N增大，则采样点变密，逼近误差减小。图频率采样的响应例：设计一个FIR数字LP滤波器，其理想特性为采样点数N=33，要求线性相位。解：能设计低通线性相位数字滤波器的只有1、2两种，因N为奇数，所以只能选择第一种。即h(n)=h(N-1-n)，幅频特性关于π偶对称，也即HK偶对称。利用HK的对称性,求π～2π区间的频响采样值。5.005.001jdeH根据指标要求，在0～2π内有33个取样点，所以第k点对应频率为而截止频率0.5π位于之间，所以，k=0～8时，取样值为1；根据对称性，故k=25～32时，取样值也为1，因k=33为下一周期，所以0～π区间有9个值为1的采样点，π～2π区间有8个值为1的采样点，因此：258HH330HH321HH32033322124~9032~25;8~012kkNkkHkNkk将代入内插公式，求H(ejω)：1016322//2sin2/sin1NkNkjNkjkjeeNkNHNeH163202/33/2sin33233sin331jkkekkH考虑到8k25时Hk=0，而其它k时，Hk=1,令k=33-n，则32252/33/2sin33233sinkkkkH8133/)33(2sin33)33(233sinnnn8181332sin33233sin332sin33233sinnnnnkn81332sin33233sin332sin33233sin2sin233sin331)(kjkkkkeH从图上可以看出，其过渡带宽为一个频率采样间隔2π/33，而最小阻带衰减略小于20dB。对大多数应用场合，阻带衰减如此小的滤波器是不能令人满意的。增大阻带衰减三种方法：1）加宽过渡带宽，以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加。例如在本例中可在k=9和k=24处各增加一个过渡带采样点H9=H24=0.5，使过渡带宽增加到二个频率采样间隔4π/33，重新计算的H(ejω)见图4.12(c)，其阻带衰减增加到约-40dB。2）过渡带的优化设计根据H(ejω)的表达式，H(ejω)是Hk的线性函数，因此还可以利用线性最优化的方法确定过渡带采样点的值，得到要求的滤波器的最佳逼近（而不是盲目地设定一个过渡带值）。例如，本例中可以用简单的梯度搜索法来选择H9、H24,使通带或阻带内的最大绝对误差最小化。要求使阻带内最大绝对误差达到最小（也即最小衰减达到最大），可计算得H9=0.3904。对应的H(ejω)的幅频特性，比H9=0.5时的阻带衰减大大改善,衰减约-50dB。如果还要进一步改善阻带衰减，可以进一步加宽过渡区，添上第二个甚至第三个不等于0的频率取样值，当然也可用线性最优化求取这些取样值。3）增大N如果要进一步增加阻带衰减，但又不增加过渡带宽，可增加采样点数N。例如，同样边界频率ωc=0.5π,以N=65采样，并在k=17和k=48插入由阻带衰减最优化计算得到的采样值H17=H48=0.5886,在k=18、47处插入经阻带衰减最优化计算获得的采样值H17=H48=0.1065,这时得到的H(ejω)，过渡带为6π/65，而阻带衰减增加了20多分贝，达-60dB以上，当然，代价是滤波器阶数增加，运算量增加。N=65;k=0:(N-1)/2;Wm=2*pi*k./N;Ad(1:(N+1)/2)=1;Ad(18)=0.5886;Ad(19)=0.1065;Ad(20:33)=0;Hd=Ad.*exp(-j*0.5*(N-1)*Wm);Hd=[Hdconj(fliplr(Hd(2:(N+1)/2)))];h=real(ifft(Hd));w=linspace(0,pi-0.1,1000);H=freqz(h,[1],w);plot(w/pi,20*log10(abs(H)));grid;小结：频率采样设计法优点：①直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便；②适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非零值。典型应用：用一串窄带滤波器组成多卜勒雷达接收机，覆盖不同的频段，多卜勒频偏可反映被测目标的运动速度；缺点：截止频率难以控制。因频率取样点都局限在2π/N的整数倍点上，所以在指定通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较死板。充分加大N，可以接近任何给定的频率，但计算量和复杂性增加。§8.4FIR数字滤波器的最优化设计-切比雪夫逼进法前面介绍了FIR数字滤波器的两种逼近设计方法，即窗口法（时域逼近法）和频率采样法（频域逼近法），用这两种方法设计出的滤波器的频率特性都是在不同意义上对给定理想频率特性Hd(ejω)的逼近。说到逼近，就有一个逼近得好坏的问题，对“好”“坏”的恒量标准不同，也会得出不同的结论，我们前面讲过的窗口法和频率采样法都是先给出逼近方法，所需变量，然后再讨论其逼近特性，如果反过来要求在某种准则下设计滤波器各参数，以获取最优的结果，这就引出了最优化设计的概念，最优化设计一般需要大量的计算，所以一般需要依靠计算机进行辅助设计。最优化设计的前提是最优准则的确定，在FIR滤波器最优化设计中，常用的准则有①最小均方误差准则②最大误差最小化准则。1)均方误差最小化准则，若以E(ejω)表示逼近误差，则那么均方误差为deEdeHeHjjjd2222121)()(jjdjeHeHeE）（均方误差最小准则就是选择一组时域采样值，以使均方误差，这一方法注重的是在整个-π～π频率区间内总误差的全局最小，但不能保证局部频率点的性能，有些频率点可能会有较大的误差，对于窗口法FIR滤波器设计，因采用有限项的h(n)逼近理想的hd(n)，所以其逼近误差为：如果采用矩形窗则有ndnhnh22)()(其它01)()(Nnonhnhd12220|()()||()()|NddnnNhnhnhnhn可以证明，这是一个最小均方误差。所以，矩形窗窗口设计法是一个最小均方误差FIR设计，根据前面的讨论，我们知道其优点是过渡带较窄，缺点是局部点误差大,或者说误差分布不均匀。2)最大误差最小化准则（也叫最佳一致逼近准则）表示为其中F是根据要求预先给定的一个频率取值范围，可以是通带，也可以是阻带。最佳一致逼近即选择N个频率采样值（或时域h(n)值），在给定频带范围内使频响的最大逼近误差达到最小。也叫等波纹逼近。优点：可保证局部频率点的性能也是最优的，误差分布均匀，相同指标下，可用最少的阶数达到最佳化。min|)(|maxjeEF例如，我们提到的频率采样最优化设计，它是从已知的采样点数N、预定的一组频率取样和已知的一组可变的频率取样（即过渡带取样）出发，利用迭代法（或解析法）得到具有最小的阻带最大逼近误差（即最大的阻带最小衰减）的FIR滤波器。但它只是通过改变过渡带的一个或几个采样值来调整滤波器特性。如果所有频率采样值（或FIR时域序列h(m)）都可调整，显然，滤波器的性能可得到进一步提高。MnMnjnnannhheH01cos)(cos)(2)0()(低通滤波器的误差分配切比雪夫最佳一致逼近如图，用等波纹逼近法设计滤波器需要确定五个参数：M、ωc、ωr、δ1、δ2按上图所示的误差容限设计低通滤波器，就是说要在通带0ωωp内以最大误差δ1逼近1，在阻带ωrω内以最大误差δ2逼近零。要同时确定上述五个参数较困难。常用的两种逼近方法：1）给定M、δ1、δ2，以ωc和ωr为变量。缺点：边界频率不能精确确定。2）给定M、ωc和ωr，以δ1和δ2为变量，通过迭代运算，使逼近误差δ1和δ2最小，并确定h(n)——切比雪夫最佳一致逼近。特点：能准确地指定通带和阻带边界频率。等波动逼近的低通滤波器cr一.误差函数定义逼近误差函数：)()(HHWEd为所设计的滤波器与理想滤波器的幅频特性在通带和阻带内的误差值，是已知的权函数，在不同频带可取不同的值，所要设计的滤波器的幅频特性理想滤波器的幅频特性rcdH001