排列组合基础知识及习题分析

排列组合基础知识及习题分析在介绍排列组合方法之前我们先来了解一下基本的运算公式！C5取3＝（5×4×3）/（3×2×1）C6取2＝（6×5）/（2×1）通过这2个例子看出CM取N公式是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。以取值N的阶层作为分母P53＝5×4×3P66＝6×5×4×3×2×1通过这2个例子PMN＝从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积当N＝M时即M的阶层排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”.分类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成.两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理.在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：1．有限制条件的排列问题常见命题形式：“在”与“不在”“邻”与“不邻”在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果.2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式：“含”与“不含”“至少”与“至多”在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.3．在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法.*****************************************************************************提供10道习题供大家练习1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（C）(A)25个(B)26个(C)36个(D)37个------------------------------------------------------【解析】根据三角形边的原理两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可见最大的边是11则两外两边之和不能超过22因为当三边都为11时是两边之和最大的时候因此我们以一条边的长度开始分析如果为11，则另外一个边的长度是11，10，9，8，7，6，。。。。。。1如果为10则另外一个边的长度是10，9，8。。。。。。2，（不能为1否则两者之和会小于11，不能为11，因为第一种情况包含了11，10的组合）如果为9则另外一个边的长度是9，8，7，。。。。。。。3（理由同上，可见规律出现）规律出现总数是11＋9＋7＋。。。。1＝（1＋11）×6÷2＝362、（1）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？------------------------------------------------------------【解析】每封信都有3个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第1封信，有3种可能性。接着再放第2封，也有3种可能性，直到第4封，所以分步属于乘法原则即3×3×3×3＝3^4（2）3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？-------------------------------------------------------------【解析】跟上述情况类似对于每个旅客我们都有4种选择。彼此之间选择没有关系不够成分类关系。属于分步关系。如：我们先安排第一个旅客是4种，再安排第2个旅客是4种选择。知道最后一个旅客也是4种可能。根据分步原则属于乘法关系即4×4×4＝4^3（3）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？-------------------------------------------------------------【解析】分步来做第一步：我们先选出3本书即多少种可能性C8取3＝56种第二步：分配给3个同学。P33＝6种这里稍微介绍一下为什么是P33，我们来看第一个同学可以有3种书选择，选择完成后，第2个同学就只剩下2种选择的情况，最后一个同学没有选择。即3×2×1这是分步选择符合乘法原则。最常见的例子就是1，2，3，4四个数字可以组成多少4位数？也是满足这样的分步原则。用P来计算是因为每个步骤之间有约束作用即下一步的选择受到上一步的压缩。所以该题结果是56×6＝3363、七个同学排成一横排照相.（1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？（3600）---------------------------------------------【解析】这个题目我们分2步完成第一步：先给甲排应该排在中间的5个位置中的一个即C5取1＝5第二步：剩下的6个人即满足P原则P66＝720所以总数是720×5＝3600（2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？（1440）-------------------------------------------------【解析】第一步：确定乙在哪个位置排头排尾选其一C2取1＝2第二步：剩下的6个人满足P原则P66＝720则总数是720×2＝1440（3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？（3120）---------------------------------------------------【解析】特殊情况先安排特殊第一种情况：甲不在排头排尾并且不在中间的情况去除3个位置剩下4个位置供甲选择C4取1＝4，剩下6个位置先安中间位置即除了甲乙2人，其他5人都可以即以5开始，剩下的5个位置满足P原则即5×P55＝5×120＝600总数是4×600＝2400第2种情况：甲不在排头排尾，甲排在中间位置则剩下的6个位置满足P66＝720因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和即2400＋720＝3120（4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？（1440）-----------------------------------------------【解析】相邻用捆绑原则2人变一人，7个位置变成6个位置，即分步讨论第1：选位置C6取1＝6第2：选出来的2个位置对甲乙在排即P22＝2则安排甲乙符合情况的种数是2×6＝12剩下的5个人即满足P55的规律＝120则最后结果是120×12＝1440（5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520）-------------------------------------------------------【解析】这个题目非常好,无论怎么安排甲出现在乙的左边和出现在乙的右边的概率是一样的。所以我们不考虑左右问题则总数是P77＝5040,根据左右概率相等的原则则排在左边的情况种数是5040÷2＝25204、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数.（1）能组成多少个四位数？（300）--------------------------------------------------------【解析】四位数从高位开始到低位高位特殊不能排0。则只有5种可能性接下来3个位置满足P53原则＝5×4×3＝60即总数是60×5＝300（2）能组成多少个自然数？（1631）---------------------------------------------------------【解析】自然数是从个位数开始所有情况分情况1位数：C6取1＝62位数：C5取2×P22＋C5取1×P11＝253位数：C5取3×P33＋C5取2×P22×2＝1004位数：C5取4×P44＋C5取3×P33×3＝3005位数：C5取5×P55＋C5取4×P44×4＝6006位数：5×P55＝5×120＝600总数是1631这里解释一下计算方式比如说2位数：C5取2×P22＋C5取1×P11＝25先从不是0的5个数字中取2个排列即C5取2×P22还有一种情况是从不是0的5个数字中选一个和0搭配成2位数即C5取1×P11因为0不能作为最高位所以最高位只有1种可能（3）能组成多少个六位奇数？（288）---------------------------------------------------【解析】高位不能为0个位为奇数1，3，5则先考虑低位，再考虑高位即3×4×P44＝12×24＝288（4）能组成多少个能被25整除的四位数？（21）----------------------------------------------------【解析】能被25整除的4位数有2种可能后2位是25：3×3＝9后2位是50：P42＝4×3＝12共计9＋12＝21（5）能组成多少个比201345大的数？（479）------------------------------------------------【解析】从数字201345这个6位数看是最高位为2的最小6位数所以我们看最高位大于等于2的6位数是多少？4×P55＝4×120＝480去掉201345这个数即比201345大的有480－1＝479（6）求所有组成三位数的总和.（32640）---------------------------------------------【解析】每个位置都来分析一下百位上的和：M1=100×P52(5+4+3+2+1)十位上的和：M2=4×4×10(5+4+3+2+1)个位上的和：M3=4×4(5+4+3+2+1)总和M＝M1+M2+M3=326405、生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查.（1）“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？（152096）【解析】也就是说被抽查的5件中有3件合格的，即是从98件合格的取出来的所以即C2取2×C98取3＝152096（2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少种？（7224560）【解析】同上述分析，先从2件次品中挑1个次品，再从98件合格的产品中挑4个C2取1×C98取4＝7224560（3）“其中没有次品”的抽法有多少种？（67910864）【解析】则即在98个合格的中抽取5个C98取5＝67910864（4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少种？（7376656）【解析】全部排列然后去掉没有次品的排列情况就是至少有1种的C100取5－C98取5＝7376656（5）“其中至多有一件次品”的抽法有多少种？（75135424）【解析】所有的排列情况中去掉有2件次品的情况即是至多一件次品情况的C100取5－C98取3＝751354246、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）(A)140种(B)84种(C)70种(D)35种--------------------------------------