专题--抽象函数的导数问题(齐建民)

导数专题抽象函数的导数问题专题抽象函数的导数问题基础知识...........................................................................................................................................2【类型一根据条件确定函数的单调性】.....................................................................................3练习1...............................................................................................................................................3【类型二构造积函数】...............................................................................................................3【类型三构造商函数】...............................................................................................................4【类型四构造和差函数】...........................................................................................................5【类型五与奇偶性结合构造函数】...........................................................................................5命题方式与解题规律总结...............................................................................................................5构造型的抽象函数导数问题解题要领...........................................................................................6练习2...............................................................................................................................................6练习题解答.......................................................................................................................................9导数专题抽象函数的导数问题基础知识1、求导的四则运算法则1'[()()]'()'()fxgxfxgx.（可推广到多个函数）法则2[()()]''()()'()()fxgxfxgxgxfxg.法则32()'()()()'()[]()()fxfxgxfxgxgxgx.2、比较重要的导数：1(ln)'xx，()'xxee，1()'nnxnx3、单调性的逆用：()fx单调递增，则1212()()fxfxxx；()fx单调递减，则1212()()fxfxxx；4、奇偶性两个奇函数的乘积、商是偶函数；两个奇函数的和、差是奇函数；两个偶函数的乘积、商是偶函数；两个偶函数的和、差是偶函数导数专题抽象函数的导数问题1根据条件确定函数的单调性例（2006江西卷）对于R上可导的任意函数()fx，若满足(1)'()0xfx，则必有（）A.(0)(2)2(1)fffB.(0)(2)2(1)fffC.(0)(2)2(1)fffD.(0)(2)2(1)fff总结：根据导数确定原函数的单调性，关键是确定导数的符号变化规律，要注意题目条件是否提供了与此有关的信息。练习11、定义在R上的函数()fx，满足(4)()fxfx，且(2)'()0xfx，若12xx，且124xx，则有（）A.12()()fxfxB.12()()fxfxC.12()()fxfxD.以上都不对2、设定义在R上的函数()fx，函数(1)'()yxfx的图像如图所示，则下列结论成立的是（）A、函数()fx有极大值(2)f和极小值(1)fB、函数()fx有极大值(2)f和极小值(1)fC、函数()fx有极大值(2)f和极小值(2)fD、函数()fx有极大值(2)f和极小值(2)f2类型二构造积函数【典型构造】若条件是'()()'()()0fxgxgxfx形式的，可构造()()()Fxfxgx，则()Fx单调递增；导数专题抽象函数的导数问题在实际问题中，出题人往往会隐藏部分结构，如：因为[()]'()'()[()'()]xxxxfxeefxfxeefxfxg所以，题目可能会只出现'()()0fxfx，可构造()()xFxefx，则()Fx单调递增；类似的还有：（1）若条件是'()()0xfxfx，可构造()()Fxxfx，则()Fx单调递增；原型：()'[()]''()()Fxxfxxfxfx（2）若条件是'()()0xfxnfx，可构造()()nFxxfx，则()Fx单调递增；原型：1'()['()()]0nFxxxfxnfx，（此类型要注意1nx的符号）例设(),()fxgx分别是定义在R上的可导函数，'()()'()()0fxgxgxfx，且(3)0g，求不等式()()0fxgx的解集解：构造函数()()()()()Fxfxgxgxfx，易知()Fx单调递增，而(3)0F，则()()0fxgx的解集为3x例设()fx是R上的可导函数，且'()()fxfx，21(0)1,(2)ffe，求(1)f的值分析：构造()()xFxefx，则'()('()())0xFxefxfx，所以()Fx单调递增或为常函数，而0(0)(0)1Fef，2(2)(2)1Fef，所以()1Fx，故1(1)(1)1Fef，得1(1)fe【类型三构造商函数】【典型构造】若条件是'()()()'()0fxgxfxgx，则构造()()[]()fxFxgx，则2'()()()'()'()0()fxgxfxgxFxgx，说明()Fx单调递增导数专题抽象函数的导数问题若条件是'()()0fxfx，可构造()()xfxFxe，则()Fx单调递增；例1（07陕西理）()fx是定义在(0)，上的非负可导函数，且满足()()0xfxfx≤．对任意正数ab，，若ab，则必有（）A．()()afbbfa≤B．()()bfaafb≤C．()()afabfbD．()()bfbafa≤例2定义在(0,)2上的函数()fx，导数为'()fx，且()'()tanfxfxx，则下式恒成立的是（）A.3()2()43ffB.(1)2()sin16ffC.2()()64ffD.3()()63ff【类型四构造和差函数】此类型相对简单，见练习2第2题【类型五与奇偶性结合构造函数】例(2014.11呼市阶段考文12)已知()fx是定义在R上的奇函数，当[0,)x时，有()()xfxfx恒成立，则满足3(3)(21)(21)fxfx的实数x的取值范围是（）A．1(1,)2B．(1,2)C．1(,2)2D．(2,1)命题方法总结此类题型一般命题方式是，给出一个函数的导数或者导数的一部分（例如，在R上导数小于0），然后考察：（1）解一个不等式，需要我们构造出左右形式相同的代数式，一定是这样的不等式：导数专题抽象函数的导数问题12()()fxfx，当然，要写成什么形式的，要参考构造的函数的形式，对于选填题，问题的结构可能会给我们这方面的暗示，然后根据单调性解出12xx（若函数单调递增）；如1，10，12（2）根据函数的单调性，判断一个命题“()()fafb（,ab是两个确定的实数）否成立，如2，5，6，7，11，15（3）给出一个函数值，然后解与此有关的不等式，如：函数在R上单调递增，(1)0f，求()0fx的解集。如3,4，13，14。打个比方，假设“人的身高随年龄增大而增大”，即身高是年龄的增函数，那么上述三种题型就是这三个意思：（1）甲比乙高，谁的年龄大？（2）甲的年龄比乙大，是甲高还是乙高？（3）甲高1.7米，16岁，乙比甲高，问乙的年龄的范围？构造型的抽象函数导数问题解题要领（1）一方面要认真观察已知条件中含有fx的式子，关注表达式的结构特征，联想相关求导公式，这要求我们必须非常熟悉两个函数的和、差、积、商的求导公式，迅速确定构造函数的类型（是和差还是乘积还是商？）；（2）由于此类问题往往是选填题，问题的结构往往有一定的暗示，所以务必要结合问题的，猜想函数的结构，尝试验证；（3）将已知条件中含有fx的式子都移到左边化为0的形式，左边的表达式一定是某个函数的导数或者导数的一部分练习21、已知函数()fx满足2()()fxfxx，且在(0,)上，'()fxx，则不等式(2)()22fafaa的解集为（）A.[1,)B.(,1]C.(,2]D.[2,)导数专题抽象函数的导数问题2、设(),()fxgx在[,]ab上可导，且'()'()fxgx，则当axb时，有（）.()()Afxgx.()()Bfxgx.()()()()Cfxgagxfa.()()()()Dfxgbgxfb3、（2011高考辽宁）函数的定义域为R,(1)2f，对任意xR，'()2fx，则()24fxx的解集为（）A.(1,1)B.(1,)C.(,1)D.(,)4、已知函数()fx满足(1)1f，导函数1'()2fx，则不等式2()1fxx的解集为（）A.(1,1)B.(,1)C.(,1)(1,)D.(1,)5、()fx是定义在R上的可导函数，且满足()()0xfxfx．对任意正数ab，，若ab，则必有（）A．()()afbbfaB．()()afabfbC．()()afabfbD．()()afbbfa6.(2009天津)设()fx在R上的导函数为'()fx，且22()()fxxfxx，则下面的不等式在R上恒成立的有（）A．()0fxB．()0fxC．()fxxD．()fxx7、()fx在R上的导函数为'()fx，且'()()fxfx，且0a，则下面的不等式成立的有（）A．()(0)afaefB．()(0)afaefC．()(0)fafD．()(0)faf8、函数()fx的导函数为'()fx，对任意的实数x，都有2'()()fxfx成立，则（）A．2(2ln2)3(2ln3)ffB．3(2ln2)2(2ln3)ffC．2(2ln2)3(2ln3)ffD．3(2ln2)2(2ln3)ff9、（2013辽宁理）函数()fx满足22xexfxxfxx，228ef，则当0x时，()fx（）A．有极大值,无极小值B．有极小值,无极大值C．既有极大值又有极小值D．既