必修4第三章三角恒等变换(讲义)

《必修4》第三章三角恒等变换一、知识纲要1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：（1）、两角和（差）的正弦公式：sinsincoscossin（2）、两角和（差）的余弦公式：sinsincoscos)cos(（3）、两角和（差）的正切公式：tantan1tantan)tan(2.2倍角的正弦、余弦和正切公式：（1）、2倍角的正弦公式：sin22sincos（2）、2倍角的余弦公式：2222cos2cossin2cos112sin补12倍角的余弦公式的变形应用——降幂公式：22221+cos2cos22cos1cos21cos2cos212sinsin2＝＝（3）、2倍角的正切公式：22tantan21tan　补22倍角的正切公式的变形：tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)3.公式推导：（1）、sinsincoscossinsin22sincos令（2）、22cos122coscoscossinsincos2cossin=2cos112sin22令用sin变形　　　　　　　　　　　　　　或（3）、=2tantan2tantantan21tantan1tan令4、辅助角公式：（用于统一函数名）22sincossinaxbxabx，其中角所在的象限由ba,的符号确定，角的值由tanba。5、简单的三角恒等变换三角函数的化简、计算、证明，都会用到三角恒等变形，它的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如()()，2()()，2()()，22，222等。（2）公式变形使用:tantantan1tantan。（3）三角函数次数的降升:降幂公式：21cos2cos2，21cos2sin2，升幂公式：21cos22cos，21cos22sin。（4）式子结构的转化:对角、函数名、式子结构化同。（5）常值变换主要指“1”的变换:即把1替换为和1相等的三角函数式子，如：221sincosxx，1tan4，1sin2等。（6）辅助角公式中，辅助角的确定：22sincossinaxbxabx(其中角所在的象限由a,b的符号确定，角的值由tanba确定)在求最值、化简时起着重要作用。（7）三角函数的性质研究要数形结合，利用sinyx和cosyx图象解决sin()yAxB的问题。（8）三角恒等变换常与向量结合起来进行考核，利用向量的平行和垂直的定理来展开。（9）在三角函数的化简、求值、函数性质及解三角形等问题中，常需联合以下各组公式：①同角三角函数的基本关系，②诱导公式，③两角和/差公式，④2倍角公式，⑤辅助角公式，⑥正/余弦定理。二、经典例题【例1】直接利用公式求值：（1）sin18cos27cos18sin27；（2）cos89sin29sin89cos29；（3）5sin12；（4）sin15；（5）cos23cos37sin23sin37；（6）5252sinsincoscos9999；（7）cos75；（8）cos12；（9）25tan85tan125tan-85tan；（10）6tan12tan6tan12tan-1；（11）5tan12；（12）tan15；（13）6sin22.5cos22.5；（14）sincoscoscos2424126；（15）21+sin48sin24+cos24；（16）22sin-cos1212；（17）23-2sin22.5；（18）21-2cos92sincos99；（19）已知tan=-3x，求tan2x；（20）21-tan22.52tan22.5；【例2】公式变形，角度变形，结合多个公式，结合技巧求解：（1）已知)2,23(,1312cos，则)4(cos的值为多少？（2）若均,为锐角，cos,53)(sin,552sin求。（3）)12sin12(cos)12sin12(cos（4）0000tan50tan703tan50tan70（5）cos2coscos212sin22（6）115cos114cos113cos112cos11cos（7）已知x为第三象限角，化简x2cos1（8）若).(),sin(32cos3sin3xxx，求。（9）已知1sincos3，则sin2。（10）已知2cos23，求44cossin的值；（11）已知,为锐角，的值为则,51cos,101cos．（12）ABC中，已知tanA,tanB是方程23720xx的两个实根，则tanC的值为多少？（13）求代数式的值：sin15cos75cos15sin105oooo（14）.若542cos,532sin，则角的终边在象限．（15）函数sin3cos22xxy的图像的对称轴方程是。（16）△ABC中，已知的值求sinC,135Bc,53cosAos．（17）已知sin2,53)(sin,1312)(cos,432求．（18）已知α为第二象限角，且sinα=,415求12cos2sin)4sin(的值．（19）已知71tan,21)tan(),,0(),4,0(且，求)2tan(的值及角2．（20）已知函数2()cos3sincos1fxxxx，xR.①求证)(xf的小正周期和最值；②求这个函数的单调递增区间．(21)已知A、B、C是ABC三内角，向量(1,3),m(cos,sin),nAA且m.n=1①求角A;②若221sin23,cossinBBB求tanC.