2016-2017学年高中数学人教A版选修2-3课件：2.2.1条件概率

2.2二项分布及其应用2．2.1条件概率[提出问题]100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}．问题1：试求P(A)，P(B)，P(AB)．提示：P(A)＝93100，P(B)＝90100，P(AB)＝85100.问题2：任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．提示：事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝8590.问题3：试探求P(B)，P(AB)，P(A|B)间的关系．提示：P(A|B)＝PABPB.[导入新知]1．条件概率设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)＝______为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作．2．条件概率的性质(1)条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即.(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝_______________．PABPAA发生的条件下B发生的概率0≤P(B|A)≤1P(B|A)＋P(C|A)[化解疑难]1．事件B在“事件A发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的．2．由条件概率的定义知，P(B|A)与P(A|B)是不同的；另外，在事件A发生的前提下，事件B发生的可能性大小不一定是P(B)，即P(B|A)与P(B)不一定相等．3．P(B|A)＝PABPA可变形为P(AB)＝P(B|A)·P(A)，即只要知道其中两个值就可以求得第三个值．4．利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)求解有些条件概率问题较为简捷，但应注意这个性质是在“B与C互斥”这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条件而乱用这个公式．利用条件概率公式求解[例1]5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，求：(1)第一次取到新球的概率；(2)第二次取到新球的概率；(3)在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率．[解]记第一次取到新球为事件A，第二次取到新球为事件B.(1)P(A)＝35.(2)P(B)＝3×2＋2×35×4＝35.(3)法一：因为P(AB)＝3×25×4＝310，所以P(B|A)＝PABPA＝31035＝12.法二：因为n(A)＝3×4＝12，n(AB)＝3×2＝6，所以P(B|A)＝nABnA＝612＝12.[类题通法]计算条件概率的两种方法(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)＝事件AB所含基本事件的个数事件A所含基本事件的个数；(2)在原样本空间Ω中，先计算P(AB)，P(A)，再按公式P(B|A)＝PABPA计算求得P(B|A)．[活学活用]设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问：它能活到25岁的概率是多少？解：设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，而所求概率为P(B|A)，由于B⊆A，故AB＝B，于是P(B|A)＝PABPA＝PBPA＝0.40.8＝0.5，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.利用条件概率的性质求概率[例2]在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对20道题中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率．[解]设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道题答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，由古典概型计算概率的公式及概率的加法公式可知：P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝C610C620＋C510C110C620＋C410C210C620＝12180C620，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝PAPD＋PBPD＝C610C62012180C620＋C510C110C62012180C620＝1358.故所求的概率为1358.[类题通法]若事件B，C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，即为了求得比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单事件，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．[活学活用]1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球．现随机地从1号箱中取出一个球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一个球，问：从2号箱取出红球的概率是多少？解：记A＝{从2号箱中取出的是红球}，B＝{从1号箱中取出的是红球}，则P(B)＝42＋4＝23，P(B)＝1－P(B)＝13，P(A|B)＝3＋18＋1＝49，P(A|B)＝38＋1＝13，P(A)＝P(AB∪AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A|B)P(B)＋P(A|B)P(B)＝49×23＋13×13＝1127.5.混淆“条件概率PB|A”与“积事件的概率PAB”[典例]袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，求第二次才能取到黄球的概率．[解]记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝410×69＝415.[易错防范]1．解答本题易混淆P(AB)与P(B|A)的含义，而误认为P(C)＝P(B|A)＝69＝23.2．P(AB)表示A与B同时发生的概率；而P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率．[成功破障]一个盒子装有4件产品，其中3件一等品、1件二等品，从中取产品两次，每次任取1件，做不放回抽样，若第一次取到的是一等品，求第二次取到一等品的概率．解：设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则AB表示“第一次取到一等品，第二次也取到一等品”．因为P(A)＝C13C14＝34，P(AB)＝C23C24＝12，所以在第一次取到一等品的情况下，第二次取到一等品的概率为P(B|A)＝PABPA＝1234＝23.[随堂即时演练]1．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6，则P(B|A)为()A．0.2B．0.4C．0.75D．0.24解析：∵P(A|B)＝PABPB，∴P(AB)＝0.3.∴P(B|A)＝PABPA＝0.30.4＝0.75.答案：C2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是()A.14B.13C.12D．1解析：因为第一名同学没有抽到中奖券已知，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是13.答案：B3．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.解析：由公式P(A|B)＝PABPB＝23，P(B|A)＝PABPA＝35.答案：23354．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________．解析：设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则P(A)＝C16C27，P(AB)＝1C27，故P(B|A)＝PABPA＝16.答案：165．一个口袋内装有2个白球和2个黑球．(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？解：(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸出白球”为事件AB，“先摸一个球不放回，再摸一个球”共有4×3种结果，所以P(A)＝12，P(AB)＝2×14×3＝16，所以P(B|A)＝1612＝13.所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13.(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，“两次都摸出白球”为事件A1B1，P(A1)＝12，P(A1B1)＝2×24×4＝14，所以P(B1|A1)＝PA1B1PA1＝1412＝12.所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12.课时达标检测见课时跟踪检测(九)