二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析

1二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析一、引言计算流体力学的控制方程通常认为是N-S(Navier-Strokes)方程组，包含了能量方程、动量方程、连续性方程等方程组的总称。当考虑流体的黏性时，作用在流体质点上的力除了质量力、法向应力（垂直于作用面的压力）外，还有与作用面相切的切向力，N-S方程建立了流体微团的动量变化率与作用在微团上的惯性力，压力以及粘性剪切力之间的关系，反映了黏性流体运动的基本规律，对计算流体力学有着十分重要的意义。本文旨在对二维定常不可压缩N-S方程进行无量纲化，方便简化计算和分析相似实验。量纲分析就是对有量纲的物理方程进行参数的组合，实现参数和方程的无量纲化，将方程无量纲化有以下几点好处：（1）方程形式可以得到简化并且可能减少方程个数，进而提高实际计算速度；（2）通过无量纲化尽可能的减少方程中的常数运算，将这些常数转化为某个特征参数，这样可以降低计算难度；（3）防止方程中的物理参数在数量级上造成差异，从而降低精度损失；（4）将方程中的物理量无量纲化后容易实现计算中的相似模拟。流体力学中的相似通常可以分为几何相似、运动相似和动力相似。流动相似的概念来源于几何相似的概念，两个流动如果相似，例如模型流动与实际流动相似，则其流场中相应点上各同类物理量将具有各自固定的比例关系，也即可将模型实验的成果应用于实际流动中。相似原理指出，两个流动若相似必满足一定条件，即满足几何相似、运动相似、动力相似，这些条件还应包括边界条件和初始条件相似。根据相似原理，两个流动现象只要同时满足上面的相似条件，它们之间就存在相似关系，其对应物理量都成一定的比例关系。在应用中，首先需要分析所要研究的流体，找出影响流动问题的作用力，我们只需要满足一个主要作用力相似，而不必计较其它作用力是否达到相似。例如对于一些流动现象，只要流动的雷诺数不是很大，一般其相似条件都依赖于雷诺数。雷诺数是用来判断流体流动特性的无量2纲量，对于封闭环境内的流动，当雷诺数小于2300时的流动为层流，能用N-S方程表示；当雷诺数大于4000时的流动为湍流，不能用N-S方程表示。二、二维定常不可压缩流体的N-S方程参照《工程流体力学基础》[1]，在流场中任取一个平面六面体微团，作用在六面体上的力有质量力，作用在表面上的力除了法向力外，还有切向力，用p表示切向力，用τ表示切向力。对于这个六面体，每个面上都有三个应力分量，共有18个应力分量。根据牛顿第二定律，可写出沿x轴的运动微分方程：𝑑𝑢𝑑𝑡=𝑋+𝜕𝑝𝑥𝑥𝜌𝜕𝑥+1𝜌(𝜕𝜏𝑦𝑥𝜕𝑦+𝜕𝜏𝑧𝑥𝜕𝑧)(2.1)y、z轴的方程类似可得。方程组中仍有多个未知量，不足以进行求解，还必须对应力进行分析，寻找应力之间的关系式。根据达朗伯原理和广义牛顿内摩擦定律，则有：𝜏𝑥𝑦=𝜏𝑦𝑥𝜏𝑦𝑧=𝜏𝑧𝑥𝜏𝑧𝑥=𝜏𝑥𝑧(2.2)𝑝𝑥𝑥=𝑝𝑦𝑦=𝑝𝑧𝑧=−𝑝(2.3)最后导出沿x轴的N-S方程：𝑑𝑢𝑑𝑡=𝑋−1𝜌𝜕𝑝𝜕𝑥+𝜐(𝜕2𝑢𝜕𝑥2+𝜕2𝑢𝜕𝑦2+𝜕2𝑢𝜕𝑧2)(2.4)本文研究的是二维定常不可压缩流体，不考虑z轴方向，以式2.4为参考，得出二维不可压缩定常流动的N-S方程：𝑑𝑢𝑑𝑡=𝑋−1𝜌𝜕𝑝𝜕𝑥+𝜐(𝜕2𝑢𝜕𝑥2+𝜕2𝑢𝜕𝑦2)(2.5)𝑑𝑣𝑑𝑡=𝑌−1𝜌𝜕𝑝𝜕𝑥+𝜐(𝜕2𝑣𝜕𝑥2+𝜕2𝑣𝜕𝑦2)(2.6)式中，𝑢、𝑣分别是x，y方向的速度，𝜌是流体密度，𝑝是压力，𝜐是运动粘度，X，Y是质量力在x，y方向上的两个分量。三、N-S方程无量纲化量纲分析的基本原理是量纲的和谐性。两个量能进行比较的前提是它们的量纲相同，这就是量纲的和谐性原理，当然，两个量纲为1的量是可以无条件相互比较的。根据量纲的和谐性原则，提出了量纲分析方法：π定理法：若物理方程𝑓(𝑥1,𝑥2,⋯)=0，共含有n个物理量，其中有k个是基本量，在保持量纲和谐性的前提下，这个物理方程可以简化为各个物理量所构成的量纲为1的组合。3二维定常不可压缩流体流动的N-S方程：𝑑𝑢𝑑𝑡=𝑋−1𝜌𝜕𝑝𝜕𝑥+𝜐(𝜕2𝑢𝜕𝑥2+𝜕2𝑢𝜕𝑦2)𝑑𝑣𝑑𝑡=𝑌−1𝜌𝜕𝑝𝜕𝑥+𝜐(𝜕2𝑣𝜕𝑥2+𝜕2𝑣𝜕𝑦2)选取特征量为：特征长度L，特征速度U。本文限于讨论不可压缩流动，流体密度和黏度在全流场保持常数，用基本变量除其他变量，得到其他变量的无量纲数：𝑢∗=𝑢𝑈(3.1)𝑣∗=𝑣𝑈(3.2)𝑥∗=𝑥𝐿(3.3)𝑦∗=𝑦𝐿(3.4)𝑝∗=𝑝𝜌𝑈2(3.5)𝑡∗=𝑡𝐿∕𝑈(3.6)𝑋∗=𝑋𝑈2∕𝐿(3.7)𝑌∗=𝑌𝑈2∕𝐿(3.8)举3.1和3.2说明无量纲化过程，𝑑𝑢𝑑𝑡=𝑑(𝑢∗∗𝑈)𝑑(𝑡∗∗𝐿∕𝑈)=𝑈∗𝑑𝑢∗𝐿∕𝑈∗𝑑𝑡∗=𝑈𝐿∕𝑈𝑑𝑢∗𝑑𝑡∗(3.9)𝜕2𝑢𝜕𝑥2=𝜕𝜕𝑥(𝜕𝑢𝜕𝑥)=𝜕𝜕(𝑥∗∗𝐿)𝜕(𝑢∗∗𝑈)𝜕(𝑥∗∗𝐿)=𝑈𝐿2𝜕2𝑢∗𝜕𝑥∗2(3.10)按照上式一样将各个无量纲数代入到N-S方程中，便得到了二维定常不可压缩无量纲的N-S方程组：𝑈𝐿∕𝑈𝑑𝑢∗𝑑𝑡∗=𝑈2𝐿𝑋∗−1𝜌𝜌𝑈2𝐿𝜕𝑝∗𝜕𝑥∗+𝜈𝑈𝐿2(𝜕2𝑢∗𝜕𝑥∗2+𝜕2𝑢∗𝜕𝑦∗2)(3.11)𝑈𝐿∕𝑈𝑑𝑣∗𝑑𝑡∗=𝑈2𝐿𝑌∗−1𝜌𝜌𝑈2𝐿𝜕𝑝∗𝜕𝑦∗+𝜈𝑈𝐿2(𝜕2𝑣∗𝜕𝑥∗2+𝜕2𝑣∗𝜕𝑦∗2)(3.12)整理得到最终的式子：𝑑𝑢∗𝑑𝑡∗=𝑋∗−𝜕𝑝∗𝜕𝑥∗+𝜈𝑈𝐿(𝜕2𝑢∗𝜕𝑥∗2+𝜕2𝑢∗𝜕𝑦∗2)(3.13)4𝑑𝑣∗𝑑𝑡∗=𝑌∗−𝜕𝑝∗𝜕𝑦∗+𝜈𝑈𝐿(𝜕2𝑣∗𝜕𝑥∗2+𝜕2𝑣∗𝜕𝑦∗2)(3.14)式中，𝑅𝑒=𝑈𝐿𝜈是雷诺数，其物理意义为惯性力与粘性力的比值。因此，如果模型与实际流动可以由这个方程组描述，并且它们满足几何相似、运动相似和雷诺相似准则数，那么可以认为原型与模型之间的流动是相似的。四、相似实验4.1相似准则选取对于模型试验设计，如果在原型和模型之间严格满足相似律，则两个流动就是相似的，模型试验的结果，按照相似律完全可以反映出原型的流动情况。在相似律中，几何相似是通过加工来完成的，运动相似可以由动力相似反映出来，但要想使流动完全相似是很难办到的，相似准则越多，模型实验的设计就越困难，甚至无法满足条件。在工程实际中，模型试验往往只能满足部分相似准则，称之为局部相似。这种近似的模型试验，是根据对流动现象的分析，以及相似准则的物理意义，使原型与模型之间满足最重要的相似准则。比如对于管中流动等以黏性为主的流动，应满足雷诺相似准则；而对于船舶或明渠类等以重力为主的流动，应满足富鲁德相似准则。对于二维定常不可压缩流动N-S方程，无量纲化后包含雷诺数，这说明只要二维定常不可压缩流动的原型与模型之间满足雷诺准则，就能达成动力相似的条件。4.2设计相似实验因雷诺准则也是黏性力相似准则，主要反映流体黏性力，管中流动试验是以黏性为主的流动，所以在此设计一个直管道内的流动。密度为ρ、运动粘度为ν的黏性流体，以速度V流经长为𝑙、直径为d的直管道，管内两端出口的压强差为∆𝑃。首先写出相关物理量的函数式：𝑓(∆𝑃、𝑑、𝑙、𝑉、ρ、ν、∆)=0(4.1)式中的∆为管壁粗糙度。应该π定理对上述式子无量纲化，得到：∆𝑃𝜌𝑉2=𝐹(𝑙𝑑,𝑉𝑑𝜈,𝜀)(4.2)5𝜀=Δ𝑑为管壁的相对粗糙度，𝑉𝑑𝜈为雷诺数。根据式4.2可知，在直管道流动模型设计中，要设计相似实验，需要满足四组无量纲量相似，雷诺数、管壁相对粗糙度、长度和∆𝑃𝜌𝑉2。𝑙1𝑑1=𝑙2𝑑2𝑉1𝑑1𝜈1=𝑉2𝑑2𝜈2(∆𝑃𝜌𝑉2)1=(∆𝑃𝜌𝑉2)2管壁粗糙度的相似由d直接确定，当选用相同的流体时，𝜈1=𝜈2，则可以得出：𝑑1=𝑙1𝑙2𝑑2𝑉1=𝑑1𝑑2𝑉2(∆𝑃)2=𝜌2𝜌1(𝑉2𝑉1)2(∆𝑃)1根据[3]，当雷诺数超过4000时，惯性力远大于黏性力，管内流体的紊乱程度及速度剖面几乎不再变化，阻力系数与雷诺数无关，本文中的N-S方程不再适用于管内流动，此时可以忽略黏性力的影响。流动进入自动模化区，此时不必考虑模型的雷诺数与原型是否相等，只要模型与原型所处同一模化区即可。五、结论本文对二维不可压缩黏性流体的N-S方程进行了无量纲化分析，分析了量纲处理的优越性并结合流动相似性原理，以直管流动试验为对象进行分析，发现无量纲化N-S方程对于简化方程形式，理解方程本质，减少计算量上提供了很好的帮助。参考文献[1]韩占忠，王国玉.工程流体力学基础[M].北京：北京理工大学出版社，2012.[2]王敞亮.浅析Navier-Stokes方程组的无量纲化[J].中国高新技术企业,2016(3):61-62.[3]李进.基于N-S方程的高效实时烟雾模拟方法改进[D].燕山大学,2010.