概率论与数理统计习题及答案第三章

习题3-11.已知随机变量X1和X2的概率分布分别为X1-101P141214X201P1212而且12{0}1PXX.求X1和X2的联合分布律.解由12{0}1PXX知12{0}0PXX.因此X1和X2的联合分布必形如X2X101pi·-1P110140P21P22121P31014p·j12121于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X1和X2的联合分布律X2X101pi·-114014001221114014p·j12121(2)注意到12{0,0}0PXX,而121{0}{0}04PXPX,所以X1和X2不独立.2.一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球,在其中任取4只球.以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.解从7只球中取4球只有3547C种取法.在4只球中,黑球有i只,红球有j只(余下为白球4ij只)的取法为4322ijijCCC,0,1,2,3,0,1,2,ijij≤4.于是有0223221{0,2}3535PXYCCC,1113226{1,1}3535PXYCCC,1213226{1,2}3535PXYCCC,2023223{2,0}3535PXYCCC,21132212{2,1}3535PXYCCC,2203223{2,2}3535PXYCCC,3013222{3,0}3535PXYCCC,3103222{3,1}3535PXYCCC,{0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0PXYPXYPXYPXY.分布律的表格形式为0123000335235106351235235213563533503.设随机变量(X,Y)的概率密度为(,)(6),02,24,0,.fxykxyxy其它求:(1)常数k;(2){1,3}PXY;(3){1.5}PX;(4){4}PXY≤.XY解(1)由(,)dd1fxyxy,得24242220204211d(6)d(6)d(10)82ykxyxkyxxykyyk,所以18k.(2)31201,31{1,3}d(6)d8(,)ddxyPXYyxyxfxyxy1322011(6)d82yxxy321113()d828yy.(3)1.51.5{1.5}d(,)d()dXPXxfxyyfxx41.5201d(6)d8yxyx1.5422011(6)d82yxxy421633()d882yy2732.(4)作直线4xy,并记此直线下方区域与(,)0fxy的矩形区域(0,2)(0,4)的交集为G.即:02,0Gxy≤4x.见图3-8.因此{PXY≤4}{(,)}PXYG(,)ddGfxyxy44201d(6)d8xyxyx4422011(6)d82xyxxy42211[(6)(4)(4)]d82yyyy42211[2(4)(4)]d82yyy423211(4)(4)86yy23.图3-8第4题积分区域4.二维随机变量(,)XY的概率密度为2(,),1,01,0,fxykxyxyx≤≤≤≤其它.试确定k,并求2{(,)},:,01PXYGGxyxx≤≤≤≤.解由21114001(,)ddd(1)d26xkkfxyxdyxkxyyxxx,解得6k.因而21124001{(,)}d6d3()d4xxPXYGxxyyxxxx.5.设二维随机变量(X,Y)概率密度为4.8(2),01,0,(,)0,.yxxyxfxy≤≤≤≤其它求关于X和Y边缘概率密度.解(,)XY的概率密度(,)fxy在区域:0G≤x≤1,0≤y≤x外取零值.因而,有024.8(2)d,01,()(,)d0,2.4(2),01,0,xXyxyxfxfxyyxxx其它.其它.124.8(2)d,01,()(,)d0,2.4(34),01,0,yYyxxyfyfxyxyyyy其它.其它.6.假设随机变量U在区间[-2,2]上服从均匀分布,随机变量1,1,1,1,UXU若≤若1,1,1,1.UYU若≤若试求：(1)X和Y的联合概率分布；(2){PXY≤1}.解(1)见本章第三节三(4).(2){PXY≤1}1{1}PXY1{1,1}PXY13144.习题3-21.设(X,Y)的分布律为求:(1)在条件X=2下Y的条件分布律;(2){22}PXY≥≤.解(1)由于6.02.01.003.0}2{XP,所以在条件X=2下Y的条件分布律为216.03.0}2{}1,2{}2|1{XPYXPXYP,06.00}2{}2,2{}2|2{XPYXPXYP,616.01.0}2{}3,2{}2|3{XPYXPXYP,YX123410.100.1020.300.10.2300.200316.02.0}2{}4,2{}2|4{XPYXPXYP,或写成kY1234}2|{XkYP2106131(2)注意到{PY≤2}{1}{2}PYPY0.10.3000.20.6.而{2,2}{2,1}{2,2}{3,1}{3,2}PXYPXYPXYPXYPXY≥≤0.3000.20.5.因此{2,2}{22}{2}PXYPXYPY≥≤≤≥≤0.550.66.2.设平面区域D由曲线1yx及直线20,1,eyxx所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,求(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值.解由题设知D的面积为22ee111dln2DSxxx.因此,(X,Y)的密度为1,(,),(,)20xyDfxy，其它.由此可得关于X的边缘概率密度()(,)dXfxfxyy.显然,当x≤1或x≥e2时,()0Xfx;当21ex时,1011()d22xXfxyx.故(2)14Xf.3.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(,)1,01,02,0,.fxyxyx其它求：(1)(X,Y)的边缘概率密度(),()XYfxfy；(2)11{}.22PYX≤≤解(1)当01x时,20()(,)dd2xXfxfxyyyx;当x≤0时或x≥1时,()0Xfx.故2,01,()0,其它.Xxxfx当0y2时,12()(,)dd12yYyfyfxyxx;当y≤0时或y≥2时,()0Yfy.故1,02,()20,.Yyyfy其它(2)当z≤0时,()0ZFz;当z≥2时,1)(zFZ;当0z2时,(){2ZFzPXY≤2}(,)ddxyzzfxyxy≤2x122002-2d1dd1dzxzxzxyxy24zz.故1,02,()20,.()其它ZzzzfzFz(3)11311322161122442≤，≤≤≤≤PXYPYXPX.4.设G是由直线y=x,y=3,x=1所围成的三角形区域,二维随机变量(,)XY在G上服从二维均匀分布.求:(1)(X,Y)的联合概率密度；(2){1}PYX≤；(3)关于X的边缘概率密度.解(1)由于三角形区域G的面积等于2,所以(,)XY的概率密度为.),(,0,),(,21),(GyxGyxyxf(2)记区域xyyxD|),{(≤}1与G的交集为0G,则{1}PYX≤0011113dd(2)22224GGxyS.其中0GS为G0的面积.(3)X的边缘概率密度()(,)dXfxfxyy.所以,当]3,1[x时,311()d(3)22Xxfxyx.当1x或3x时,0)(xfX.因此.,0],3,1[),1(21)(其它xxxfX习题3-31.设X与Y相互独立,且分布律分别为下表:求二维随机变量(,)XY的分布律.解由于X与Y相互独立,所以有}{}{},{jijiyYPxXPyYxXP,6,5,2,0;0,21,1ji.因此可得二维随机变量(,)XY的联合分布律12100811212412811212415511521516201301601X-1120P121316Y0256P141425110XY2.设(X,Y)的分布律如下表:XY12116132193118问,为何值时X与Y相互独立?解首先,由分布律求得边缘分布律YX12p.j1161312219αα+193118ββ+118pi.1313+α+β1由于边缘分布满足23111,1ijijpp,又X,Y相互独立的等价条件为pij=pi.p.j(i=1,2;j=1,2,3).故可得方程组21,3111().939解得29,19.经检验,当29,19时,对于所有的i=1,2;j=1,2,3均有pij=pi.p.j成立.因此当29,19时,X与Y相互独立..3.设随机变量X与Y的概率密度为()e(,)0,.,01,0,xybfxyxy其它(1)试确定常数b.(2)求边缘概率密度()Xfx,()Yfy.(3)问X与Y是否相互独立？解(1)由11()100001(,)ddeddeded(1e)xyyxfxyxybyxbyxb,得111eb.(2)()(,)dXfxfxyy1e,01,1e0,xx其它.()(,)dYfyfxyxe,0,0,yy其它.(3)由于(,)()()XYfxyfxfy，所以X与Y相互独立.4.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为21e,0,()20Yyyfyy，≤0.(1)求X和Y的联合概率密度.(2)设关于a的二次方程为220aXaY,试求a有实根的概率.解(1)由题设知X和Y的概率密度分别为1,01,()0,Xxfx其它，21e,0,()20,.yYyfy其它因X和Y相互独立,故(X,Y)的联合概率密度为21e,01,0(,)()()20,.yXYxyfxyfxfy其它(2)方程有实根的充要条件是判别式大于等于零.即244XY≥20X≥Y.因此事件{方程有实根}2{X≥}Y.下面计算2{PX≥}Y(参见图3-3).2{PX≥}Y2211220001(,)dded(1e)d2yxxDfxyxdyxyx21201ed12[(1)(0)]0.1445xx.图3-3第6题积分区域习题3-41.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为YX0100.4a1b0.1若随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立,求常数a,b.解首先,由题设知0.40.11ab.由此得0.5ab.此外,{0}0.4PXa,{1}{0,1}{1,0}0.5PXYPXYPXYab,{0,1}{0,1}PXXYPXYa.根据