概率论与数理统计习题及答案第四章

习题4-11.设随机变量X的分布律为X-202P0.40.30.3求()EX；E(2－3X);2()EX；2(35)EX.解由定义和数学期望的性质知2.03.023.004.0)2()(XE;(23)23()23(0.2)2.6EXEX;8.23.023.004.0)2()(2222XE;4.1358.235)(3)53(22XEXE.2.设随机变量X的概率密度为,0,()0,0.xexfxx≤求XeZXY22和的数学期望.解0()(2)2()22xEYEXEXxxed,2201()()3XxxEZEeeedx.3.游客乘电梯从底层到电视塔顶观光,电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行.假设一游客在早八点的第X分钟到达底层侯梯处,且X在区间[0,60]上服从均匀分布.求该游客等候电梯时间的数学期望.解已知X在[0,60]上服从均匀分布,其概率密度为1,060,()600,.xfx≤≤其它记Y为游客等候电梯的时间,则5,05,25,525,()55,2555,65,5560.XXXXYgXXXXX≤≤≤≤因此,6001()[()]()()()60EYEgXgxfxdxgxdx52555600525551(5)(25)(55)(65)60xdxxdxxdxxdx=11.67(分钟)..14.某保险公司规定,如果在一年内顾客的投保事件A发生,该公司就赔偿顾客a元.若一年内事件A发生的概率为p,为使该公司受益的期望值等于a的10％,该公司应该要求顾客交多少保险费？解设保险公司要求顾客交保费c元.引入随机变量.A,0,A1不发生事件发生事件，X则{1},{0}1PXpPXp.保险公司的受益值1,,0.caXYcX，于是()(){1}{0}EYcaPXcPXapc.据题意有10%apca,因此应要求顾客角保费(0.1)cpa.习题4-21.选择题(1)已知(1,(3))EDXX则2[3(2)]()EX.(A)9.(B)6.(C)30.(D)36.解22[3(2)]3(44)EXEXX23[()4()4]EXEX23{()[()]4()4}DXEXEX3(3144)36.可见，应选(D).(2)设~(,),(6,(3.6))BnpEDXXX,则有().(A)10,0.6np.(B)20,0.3np.(C)15,0.4np.(D)12,0.5np.解因为~(,),BnpX所以E(X)=np,D(X)=np(1-p),得到np=6,np(1-p)=3.6.解之,n=15,p=0.4.可见，应选(C).(3)设X与Y相互独立，且都服从2(,)N,则有().(A)()()()EXYEXEY.(B)()2EXY.(C)()()()DXYDXDY.(D)2()2DXY.解注意到0)()()(YEXEYXE.由于X与Y相互独立,所以22)()()(YDXDYXD.选(D).(4)在下列结论中,错误的是().(A)若~(,),().XBnpEXnp则(B)若~1,1XU，则()0DX.(C)若X服从泊松分布,则()()DXEX.(D)若2~(,),XN则~(0,1)XN.解)1,1(~UX,则3112212)()(22abXD.选(B).2.已知X,Y独立,E(X)=E(Y)=2,E(X2)=E(Y2)=5,求E(3X-2Y),D(3X-2Y).解由数学期望和方差的性质有E(3X-2Y)=3E(X)-2E(Y)=3×2-2×2=2,(32)9()4()DXYDXDY})]([)({4})]([)({92222YEYEXEXE13)45(4)45(9.3.设随机变量X1,X2,X3相互独立,其中X1服从区间[0,6]上的均匀分布,22~0,2XN（）,3~3XP（）,记12323YXXX,求E(Y)和D(Y).解由题设知21122(60)()3,()3,()0,()4,12EXDXEXDX3321111(),()39EXDX.由期望的性质可得123123()(23)()2()3()132034.3EYEXXXEXEXEX又123,,XXX相互独立,所以123123()(23)()4()9()1344920.9DYDXXXDXDXDX4.设两个随机变量X和Y相互独立,且都服从均值为0,方差为12的正态分布,求||XY的的期望和方差.解记UXY.由于11~(0,),~(0,)22XNYN,所以()()()0,EUEXEY()()()1DUDXDY.由此~(0,1)UN.进而222222001222(||)(||)||22xxxEXYEUxedxxedxe;2222(||)()()[()]101EUEUDUEU.故而22222(||)(||)(||)[(||)]11DXYDUEUEU.5.设随机变量]2,1[~UX,随机变量.0,1,0,0,0,1XXXY求期望()EY和方差)(YD.解因为X的概率密度为1,12,()30,.Xxfx≤≤其它于是Y的分布率为00--11{1}{0}31()dd3XPYPXfxxx,{0}{0}0PYPX,+2002{1}{0}31()dd3XPYPXfxxx.因此121()1001333EY,222212()(1)001133EY.故有2218()()[()]199DYEYEY.6.设随机变量U在区间[-2,2]上服从均匀分布,随机变量1,1,1,1.UXU若≤若1,1,1,1.UYU若≤若求E(X+Y),D(X+Y).解(1)随机变量(X,Y)的可能取值为(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1).{1,1}{PXYPU≤1,U≤-1-211}{1}41d4PUx≤,{1,1}{PXYPU≤1,U1}0,{1,1}{1PXYPU,U≤1111}21d4x,211{1,1}{1,1}41d4PXYPUUx.于是得X和Y的联合密度分布为XY-11-114121014(2)YX和2)(YX的概率分布分别为X+Y-202P{X+Y=k}141214(X+Y)204P{(X+Y)2=k}1212由此可见22()044EXY;2()[()]2DXYEXY.习题4-31.选择题(1)在下列结论中,()不是随机变量X与Y不相关的充分必要条件(A)E(XY)=E(X)E(Y).(B)D(X+Y)=D(X)+D(Y).(C)Cov(X,Y)=0.(D)X与Y相互独立.解X与Y相互独立是随机变量X与Y不相关的充分条件,而非必要条件.选(D).(2)设随机变量X和Y都服从正态分布,且它们不相关,则下列结论中不正确的是().(A)X与Y一定独立.(B)(X,Y)服从二维正态分布.(C)X与Y未必独立.(D)X+Y服从一维正态分布.解对于正态分布不相关和独立是等价的.选(A).(3)设(X,Y)服从二元正态分布,则下列说法中错误的是().(A)(X,Y)的边缘分布仍然是正态分布.(B)X与Y相互独立等价于X与Y不相关.(C)(X,Y)是二维连续型随机变量.(D)由(X,Y)的边缘分布可完全确定(X,Y)的联合分布.解仅仅由(X,Y)的边缘分布不能完全确定(X,Y)的联合分布.选(D)2设D(X)=4,D(Y)=6,ρXY=0.6,求D(3X-2Y).解(32)9()4()12Cov(,)DXYDXDYXY)()(126449YDXDXY727.24626.0122436.3.设随机变量X,Y的相关系数为5.0,,0)()(YEXE22()()2EXEY,求2[()]EXY.解222[()]()2()()42[Cov(,)()()]EXYEXEXYEYXYEXEY42()()420.526.XYDXDY4.设随机变量(X,Y)的分布律为XY12010.4a0.2b若E(XY)=0.8,求常数a,b和协方差Cov(X,Y).解首先由111ijijp得4.0ba.其次由0.8()100.420110.2210.22EXYabb得3.0b.进而1.0a.由此可得边缘分布律X12Y01}{iXP0.60.4}{jYP0.50.5于是4.14.026.01)(XE,5.05.015.00)(YE.故Cov(,)()()()0.81.40.50.1XYEXYEXEY.5.已知随机变量(,)~(0.5,4;0.1,9;0)XYN,Z=2X-Y,试求方差D(Z),协方差Cov(,)XZ,相关系数ρXZ.解由于X,Y的相关系数为零,所以X和Y相互独立(因X和Y服从正态分布).因此25944)()(4)2()(YDXDYXDZD,Cov(,)Cov(,2)2Cov(,)Cov(,)2()08XZXXYXXXYDX.因此Cov(,)80.825()()XZXZDXDZ.6.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布:2~(1,3)XN,2~(0,4)YN;X与Y的相关系数1,232XYXYZ.求:(1)E(Z),D(Z)；(2)X与Z的相关系数ρXZ;(3)问X与Z是否相互独立?为什么?解(1)由于)3,1(~2NX,)4,0(~2NY,所以16)(,0)(,9)(,1)(YDYEXDXE,而1Cov(,)()()3462XYXYDXDY.因此31021131)(21)(31)23()(YEXEYXEZE,1111()()()()2Cov(,)329432XYDZDDXDYXY111916Cov(,)943XY3)6(3141.(2)由于1111Cov(,)Cov(,)()Cov(,)9(6)0,323232XYXZXDXXY所以Cov(,)0()()XZXZDXDZ.(3)由0XZ知X与Z不相关,又X与Z均服从正态分布,故知X与Z相互独立.7．证明:对随机变量(X,Y),E(XY)=E(X)E(Y)或者D(XY)=D(X)+D(Y)的充要条件是X与Y不相关.证首先我们来证明)()()(YEXEXYE和()()()DXYDXDY是等价的.事实上,注意到()()()2Cov(,)DXYDXDYXY.因此()()()DXYDXDYCov(,)0()()()XYEXYEXEY.其次证明必要性.假设E(XY)=E(X)E(Y),则Cov(,)()()()0XYEXYEXEY.进而Cov(,)0()()XYXYDXDY,即X与Y不相关.最后证明充分性.假设X与Y不相关,即0XY,则Cov(,)0XY.由此知)()()(YEXEXYE.总习题四1.设X和Y是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知X的分布律为1{},1,2,33PXii.又设max{,},min{,}UXYVXY.(1)写出