西城区2018-2019学年第二学期高二期末数学试题及答案

高二数学第二学期期末试卷第1页（共11页）北京市西城区2018—2019学年度第二学期期末试卷高二数学2019.7本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.复数21i的共轭复数是（）（A）1i（B）1i（C）1i（D）1i2.已知()cosfxx，则()fx（）（A）xcos（B）xcos（C）xsin（D）xsin3.用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是()（A）360（B）300（C）240（D）1804.曲线3yxx在点(0,0)处的切线方程为（）（A）2yx（B）yx（C）2yx（D）yx5.已知函数()fx在R上有导函数，()fx图象如图所示，则下列不等式正确的是（）（A）()()()fafbfc（B）()()()fbfcfa（C）()()()fafcfb（D）()()()fcfafb6.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,要求必须有女生,那么不同的选派方案种数为（）（A）14（B）24（C）28（D）48yObcax高二数学第二学期期末试卷第2页（共11页）8.设01p，随机变量的分布列为012P3p323p3p那么，当p在(0,1)内增大时,()D的变化是（）（A）减小（B）增大（C）先减小后增大（D）先增大后减小9.已知函数2()1fxx，()lngxx，下列说法中正确的是（）（A）(),()fxgx在点(1,0)处有相同的切线（B）对于任意0x()()fxgx恒成立（C）(),()fxgx的图象有且只有一个交点（D）(),()fxgx的图象有且只有两个交点10.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如下图：67086728甲乙丙丁甲:0.30.30.8乙0.7:0.60.4丙0.70.4:0.5丁0.20.60.5:7.甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军．4个人相互比赛的胜率如右表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率．那么甲得冠军且丙得亚军的概率是（）（A）0.15（B）0.105（C）0.045（D）0.21高二数学第二学期期末试卷第3页（共11页）如果把5根算筹以适当的方式全部放入右面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（）（A）46（B）44（C）42（D）40二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11.已知函数exyx，则)1(f_______.12.二项式261(2)xx的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）13.若复数z满足i12iz，则||z_________.14.能说明“若(0)=0f，则0x是函数()yfx极值点”为假命题的一个函数是______________．15.北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示.设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为X，则()EX______________．16.容器中有,,ABC3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子.例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子.现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子.给出下列结论：①最后一颗粒子可能是A粒子②最后一颗粒子一定是C粒子③最后一颗粒子一定不是B粒子④以上都不正确其中正确结论的序号是________.（写出所有正确结论的序号）高二数学第二学期期末试卷第4页（共11页）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分13分）已知函数321()3fxxxbx，且(2)3f.（Ⅰ）求b；（Ⅱ）求()fx的单调区间.18．（本小题满分13分）某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过A、B、C三道工序加工而成的，A、B、C三道工序加工的元件合格率分别为12、23、34．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其它的为废品，不进入市场．（Ⅰ）生产一个元件，求该元件为二等品的概率；（Ⅱ）若从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测，求至少有2个元件是一等品的概率.19．（本小题满分13分）已知函数()()exfxxa.（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）求()fx在区间[0,4]上的最小值.高二数学第二学期期末试卷第5页（共11页）20．（本小题满分13分）某校在学年期末举行“我最喜欢的文化课”评选活动，投票规则是一人一票，高一（1）班44名学生和高一（7）班45名学生的投票结果如下表（无废票）：语文数学外语物理化学生物政治历史地理高一（1）班697545332高一（7）班a6b456523该校把上表的数据作为样本，把两个班同一学科的得票之和定义为该年级该学科的“好感指数”.（Ⅰ）如果数学学科的“好感指数”比高一年级其他文化课都高，求a的所有取值；（Ⅱ）从高一（1）班投票给政治、历史、地理的学生中任意选取3位同学，设随机变量X为投票给地理学科的人数，求X的分布列和期望；（Ⅲ）当a为何值时，高一年级的语文、数学、外语三科的“好感指数”的方差最小?（结论不要求证明）21．（本小题满分14分）已知函数()elnxfxaxx.（Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）若()fx在区间(0,1)上存在极值点，求a的取值范围.22．（本小题满分14分）已知函数ln()(1)xfxaxx.（Ⅰ）若0a，求()fx的极值；（Ⅱ）若在区间，1上()0fx恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）判断函数()fx的零点个数.（直接写出结论）高二数学第二学期期末试卷第6页（共11页）北京市西城区2018—2019学年度第二学期期末试卷高二数学参考答案2019.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.B2.D3.B4.D5.A6.A7.C8.B9.D10.B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11.012.6013.514.3()fxx或()1fx等，答案不唯一15.3.562516.①③注：16题选对一个正确结论得3分，错选不得分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知2()2fxxxb，……………………3分所以(2)443fb，所以3b.……………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2()23fxxx，解()0fx，得1x或3x，解()0fx，得13x.……………………9分所以函数()fx的单调递增区间为(,1)，(3,)，单调递减区间为(1,3).……………………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）不妨设元件经,,ABC三道工序加工合格的事件分别为,,ABC.所以1()2PA,2()3PB,3()4PC.1()2PA,1()3PB,1()4PC.…………2分设事件D为“生产一个元件，该元件为二等品”.由已知,,ABC是相互独立事件.根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式，高二数学第二学期期末试卷第7页（共11页）()()PDPABCABCABC()()()PABCPABCPABC………………6分123123123(1)(1)(1)23423423411.24所以生产一个元件，该元件为二等品的概率为1124.……………………8分（Ⅱ）生产一个元件，该元件为一等品的概率为12312344p.……………………9分设事件E为“任意取出3个元件进行检测，至少有2个元件是一等品”，则2233131()()()444PEC……………………12分1056432.所以至少有2个元件是一等品的概率为532.……………………13分19.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()e()e(1)exxxfxxaxa.……………………2分由()0fx，解得1xa；由()0fx，解得1xa.所以函数()fx的单调减区间为(,1)a，单调增区间为(1,)a.………4分（Ⅱ）①当14a，即5a时，()fx在[0,4]上单调递减，所以4min()(4)(4)e.fxfa……………………7分②当10a，即1a时，()fx在[0,4]上单调递增，所以min()(0).fxfa……………………10分③当51a时，高二数学第二学期期末试卷第8页（共11页）x(0,1)a1a(1,4)a()fx0()fx极小值所以1min11()(1)e.eaafxfa……………………13分综上，当5a时，4min()(4)efxa；当1a时，min()fxa；当51a时，min11().eafx20.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知14ab，所以14ba.……………………1分依题意，966,967,ab……………………3分即966,967(14),aa解得69a，又aN，所以7a，8a.……………………4分（Ⅱ）由已知，随机变量X是高一（1）班同学中投票给地理学科的人数，所以0,1,2X.……………………5分36385(0)14CPXC，……………………6分21623815(1)28CCPXC，……………………7分1262383(2)28CCPXC.……………………8分X012P5141528328……………………9分51533()0121428284EX.……………………10分（Ⅲ）7a或8a.……………………13分高二数学第二学期期末试卷第9页（共11页）21.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当1a时，()elnxfxxx，0x.所以1()e1xfxx，……………………2分所以(1)e1f，(1)ef，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为(e1)e(1)yx，整理得e10.xy……………………4分（Ⅱ）因为()elnxfxaxx，0x.所以e()e1xxaxxafxxx，……………………6分依题意，()fx在区间(0,1)上存在变号零点.……………………7分因为0x，设()exgxxxa，所以()gx在区间(0,1)上存在变号零点.……8分因为()e(1)1xgxx，……………………9分所以，当(0,1)x时，e1x，11x，所以e(1)1xx，即()0gx，所以()gx在区间(0,1)上为单调递增函数，……………………12分依题意，(0)0,(1)0,gg即0,e10.aa……………………13分解得0e1a.……………………14分所以，若()fx在区间(0,1)上存在极值点，a的取值范围是(0,e1).22.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当0a时，定义域为{|0}xx.因为ln()xfxx，所以21ln()xfxx.……………………1分令()0fx，解得ex，x(0,e)e(e,)()