北师大版选修1-2+第四章：数系的扩充与复数的引入

4.1.1数系的扩充与复数的引入4.1数系的扩充和复数的概念2、数的发展过程自然数分数有理数无理数实数虚数复数复数集实数集虚数集纯虚数集３、虚数的引入数系的扩充为了解决x2＋１＝０这个方程在实数系无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋１＝０的根，即i.i=-1引入的这个数i显然不是实数系中的数，那么我们引入i以后，还希望它能与实数之间像实数系那样进行加法和乘法运算，并满足加法、乘法交换律、结合律，以及乘法对加法分配律。依照以上设想，实数a,b与i加法和乘法进行运算如下：a+i;b.ia+bi实数集产生了一个新的数集Ｃ新的数集Ｃ＝｛a+bi|a,bR}３、新数系中元素的特点i=1.i;a=0时，比如2i,3i,-5i等；a=0且b=0时，比如2+3i,4+i,-3+2i,5-2i等；b=0时,规定0i=0,则２，９，０，５对实数a,b进行讨论：在新数集中我们完全可以把a+bi（a,bR）看作元素的代表４、复数的相关概念１、我们把集合Ｃ=｛a+bi|a,bR｝中的数，即形如a+bi（a,bR）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合C叫做复数集。２、复数常用字母z表示，即z=a+bi,以后不作特殊说明，都有a,bR，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部。３、规定a+bi=c+dia=c且c=d4、对于a+bi当且仅当a=０时，它是实数；当且仅当a=0且b=0时，它是实数０；当b=0时，叫做虚数，当b=0且a=0时，叫纯虚数。实数集虚数集纯虚数集复数集５、复数集与实数集的关系１、RC2、复数z=a+bi分类复数z实数（b=0)虚数（b=0)，当a=0时为纯虚数。３、区分下列几个数分别是什么数？5i,2+i,-3i,-1+6i,0i,9,0.６、熟悉应用例１实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是（１）实数？（２）虚数？（３）纯虚数？3.1.2复数的几何意义我们知道实数是客观存在的数，它可以用数轴上点直观表示。a１实数与数轴上的点一一对应复数的几何意义（一）０Ｚ：a+biabxy实轴虚轴复数z=a+bi复平面内的点z(a,b)一一对应复平面复数的几何意义（二）０Ｚ：a+biabxy实轴虚轴复平面复数z=a+bi平面向量OZ一一对应规定相等向量表示同一个复数｜ｚ｜＝｜a+bi|=r=a2+b2３、熟悉应用例１实数m取什么值时，复平面内表示复数Ｚ＝（m2_8m+15)+(m2-5m-14)i的点（１）位于第四象限？（２）位于第一、三象限？（３）位于直线y=x上？３、熟悉应用例２在复平面内，O是原点，向量ＯＡ对应的复数是2+i。（１）如果点Ａ关于实轴的对称点为Ｂ,求向量OB对应的复数；（２）如果（１）中点B关于虚轴的对称点Ｃ,求点Ｃ对应的复数。自我评价试题一、选择题（每题3分，共30分）1、若复数z=2m2-3m-2+(m2-3m+2)i是纯虚数，则实数m的值为（）A1或2B-1/2或2C-1/2D22、复数i2+1的实部和虚部分别是（）A1和iBi或1C1和-1D0和03、若a2-a+(a3-2a2-a+2)i是纯虚数，则a的值为（）A1B0或1C0D-1，1，24、若z=m-1+(m1-1)i是虚数，则（）Am≠1Bm≠1或m≠-1Cm≠1且m≠-1Dm≠-15、若a是任意实数，则复数z=a2-2a+4+(a2-a+4)i所对应的点一定于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6、在复平面上，P到复数-1/3+3i的对应点F的距离与到直线l:3x+1`=0的距离相等，则点P的轨迹是（）A抛物线B双曲线C椭圆D直线7、复数-5+6i的实部是，虚部是。8、若（x-2y）+(2x+3y)i=3-2i，其中x,y属于R，则x=,y=.9、下列复数：2+√3，0.618，i2，5i+2，i√2，其中实数有10、若cosθ+(m-sinθ-cosθ)i不可能是实数，则m的取值范围是。3.2.1复数代数形式的四则运算1、规定复数的加法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)I(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)2、复数加法交换律、结合律：对任意复数z1,z2,z3有Z1+z2=z2+Z1(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)复数加法复数减法3、规定复数的减法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i4、从向量的角度来认识复数加法0xyz1z2z30xyz1z2z3特别提醒：一般两个复数不能比较大小，若有大小之分时，一定都是实数，即虚部为0.例1计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)I=-11i例2若z+(3-2i)=5i,求复数z的模例3、若a是任意实数，则复数z=a2(1+i)-a(2+i)+4+i所对应的点一定于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限例3,如图的向量oz对应的复数是z,在图中作出运算结果对应的向量.0xyz作出z+(-2+i)3.2复数的加减法例4,如图在平行四边形OABC中，顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i,求：（1）AO所表示的复数，BC所表示的复数。（2）对角线AC所表示的复数；（3）对角线OB所表示的复数及OB的长度。0ABCXY3.2复数的加减法学生练习；已知复平面内三点A，B，C,其中A点对应的复数为2+i，向量BA对应的复数为1+2i，向量BC对应的复数为3-i，求点C对应的复数。复数乘法3.2复数的乘除法一、规定复数的乘法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i1、两个复数相乘类似两个多项式相乘，只是在所得结果中将i2换成-1,且把实部与虚部分别合并即可。2、两个复数的积是一个确定的复数3、两个虚数的积一定是虚数吗？复数乘法3.2复数的乘法满足的运算律1、对于任意z1,z2,z3∈C，有z1.z2=z2.z1(z1.z2)z3=z1(z2.z3)Z1(z2+z3)=z1z2+z1.z32、例题(1)、计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)(2)、(3+4i)(3-4i)(3)、(1+i)2(4)、（2+3i)(4-6i)3、分解因式（1）、x2-4(2)、a4-b44、Z2=8+6i,试求z例5、已知x为纯虚数，且x2+(t2-t+2tx)i=0，求实数t的值。解:令x=bi(b∈R,b≠0),则(bi)2+[t2-t+2t(bi)]=0即(-b2-2bt)+(t2-t)i=0∴-b2-2bt＝０t2-t＝０解得t=1或t=0(舍)故t=1复数乘法3.2复数的乘除法一、共轭复数1、这两个复数3+4i与3-4i称为共轭复数2、一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。3、虚部不等于0的共轭复数也叫做共轭虚数(如i与-i,2i与-2i等）。0xyZ1:a+biZ2:a-bi思考、两个共轭复数的乘积一定是实数吗？乘积是实数的两个复数一定是共轭复数吗？（2+3i)(4-6i)(3+4i)(3-4i)复数乘法3.2复数的乘除法思考：我们知道i.i=-1,（-i)(-i)=-1,那么,若x2=-1,则此方程和根有几个呢？是什么呢？归纳：方程X2=a当a≥0时，x=±√a;当a≤0时,x=±√ai思考：试在复数范围内求方程的解X2-x+1=0两个重要结论：1、如果a+bi是实系数一元n次方程的根，那么它的共轭复数a-bi也是它的根，这叫虚根成对；2、实系数一元二次方程在复数系C内根为x1,x2,同样满足韦达定理，即根与系数关系。x=-bi2a一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)△≥0时，方程有二实根△≤0时，方程有二虚根x=-b2a已知2i-3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，求实数p,q的值。两种方法求解复数除法3.2复数的乘除法一、规定复数的除法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么这两个复数相除步骤:1、写成类似分式形式；2、类似分母有理化，将分子分母都乘以分母的共轭复数，将分母实数化；3、分子按复数乘法法则算，最后写成两部分。(a+bi)(c+di)=a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)ic2+d2复数除法3.2复数的乘除法例题1、计算（1）、（1+2i)÷(3-4i)(2)、（1+i)÷(1-i)(3)、1÷i(4)、(-1+i)(3+i)÷(-i)复数除法3.2复数的乘除法例题4、计算例题3、计算（1）、（1+i)2(2)、(-12+32i)3(-1+3i)3(1+i)6--2+i1+2ii1+i+(-1+3i)38复数除法3.2复数的乘除法1、说出下列各式的值i(4n+1),i(4n+2),i(4n+3),i(4n+4)(n∈N)。2、试求i1,i2,i3,i4,i5,i6……的值，并推测in(n∈N),的值有什么规律?并把这个规律用式子表示出来。1、已知关于x的方程（1+i)x2-2(a+i)x+5-3i=0有实数解，求a的值。2、已知关于x,y的方程组，（2x-1)+i=y-(3-y)i(2x+ay)-(4x-y+b)i=9-8i有实数解，求a,b的值。已知关于x的方程x2+(2+i)x+4ab+(2a-b)i=0，当方程有实数根时，求点(a,b)的轨迹。复数除法3.2复数的乘除法1、说出下列各式的值i(4n+1),i(4n+2),i(4n+3),i(4n+4)(n∈N)。2、试求i1,i2,i3,i4,i5,i6……的值，并推测in(n∈N),的值有什么规律?并把这个规律用式子表示出来。