《复变函数与积分变换》(李江涛)课后习题答案-重庆大学出版社-(1)

习题一解答A类1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。（1）i231；（2）i13ii1；（3）2i5i24i3；（4）i4ii218解（1）2i31312i32i32i32i31所以i231Re，1322i31Im,2i31312i31，13131331332i3122，kπ2i231argi231Arg,2,1,0,232arctankk（2）i,25233i321ii)(1i1i13iiiii13ii1所以,23i13ii1Re25i13ii1Im25i23i13ii1，2342523i13ii122，kπ2i1i3i1argi1i3i1Arg210235arctankkπ.（3）42i7i262i2i2i5i24i32i5i24i313i27226i7所以272i5i24i3Re，132i5i24i3Im，l3i272i5i24i322952i5i24i3，kππkπ2726arctan22i2i52i43argi2i52i43Arg,2,1,0,12726arctankk.（4）ii141iii4ii4ii104102422183i1i4i1所以3i4iiIm1,i4iiRe2182183i1i4ii218，10|i4ii|2182kπ3i1arg2kπi4iiargi4iiArg218218=.2,1,0,k2kπarctan32．如果等式i13i53yi1x成立，试求实数x,y为何值。解由于3i53i53i53yi1x3i53yi1x343y51x3i3y31x5i1185y3xi43y5x341比较等式两端的实、虚部，得34185334435yxyx或52533835yxyx解得11,1yx。3．求复数zzw11（复数1z）的实部、虚部和模。22221Im21111111111zzizzzzzzzzzzzzzw所以2211Rezzw21Im2Imzzw.zzzzzzzzw1Re211111124．求i32i14i32的模。解225255025|i3||2i1||4i3|i32i14i3225．若1||,1||ba，试证：11baba。解：0|||1||1|||112222babababababa然而babababababa11|||1|222222||||||||1bbabaabababa1||||||1222aba0||1||122ba即11baba6．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。（1）i；（2）-1；（3）1+3i；（4）π0isincos1；（5）i12i；（6）32isin3cos3isin5cos5解：（1）2πie2πisin2πcosi；（2）iπeisinπcosπ1（3）3πi2e3πisin3πcos223i2123i1；（4）2icos2sin2sin22cos2i2sin22sinsincos12π)(0,e22sin2πisin2πcos22sin2πi；（5）21i212i1i12i21i12i4πisin4πcos2=4πie2（6）i19i9i103i32i5e/eee/eisin3cos3isin5cos5isin19cos197．当1||z时，求||azn的最大值，其中n为正整数，a为复数。解：由于|a||a||z|aznn1，且当naezargi时，有|a|ea|a|eea|zaannan11argiargiargi故||1a为所求。8．一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变？解：设复数zezzArgi，则2Argi2iArgiπzπz|z|eeeziz，可知复数的模不变，辐角减少2。9．如果多项式nnzazazaazP2210的系数均为实数，证明：zPzP。证事实上nnnnzazazaazazazaazP22102210zPzazazaann221010．试求下列各式的x与y(x,y都是实数)。（1）(1+2i)x+(3-5i)y=1-3i;（2）i5i6i2yxyxyx;（3）ibaiyx。解（1）由(1+2i)x+(3-5i)y=1-3i，可得i3152i3yxyx因此11511435213yxyxyx（2）由1i15i6i2xyxyx可得ii][yxyyxx因此21231256122112yxyxyxyxyx和（3）由bayxbayxiiii2可得baxyyxii222因此22||2222222abayababbxbxyayx；其中若b0，取同号，若b0，取异号。11．已知两点1z与2z（或已知三点321,,zzz）问下列各点位于何处？（1）2121zzz（2）211zzz（其中为实数）；（3）32131zzzz。解令1,2,3i,kyxzkkk，则（1）2i22121yyxxz，知点z位于1z与2z连线的中点。（2）122122iyyλyxxλxz，知点位于1z与2z连线上定比|z|z|z|z121λ处。（3）3213213i31yyyxxxz，由几何知识知点z位于321zzz的重心处。12．求下列各式的值（1）5i3；（2）6i1；（3）61；（4）31i1解（1）6/5i56/i553222i232i3eei/631665πisin65πcos32（2）8i8ee22i212i1/2136/4i66。（3）5,40,1,2,3,k,ee1/612kiπ61iπ6。可知61的6个值分别是,2i23e/6iie/2i，2i23ei/65i2i23e/6i7，i23iπe，2i23411iπe。（4）keekπππ24i64i22ii。可知31i1的3个值分别是,127sini127cos22,12sini12cos22612/7i662/i6ee45sini45cos2264/5i6e。13．指出下列各题中点z的存在范围，并作图。（1）6|i|z；（2）1|i2|z；（3）1Re2z；（4）3iRez；（5）|i||i|zz；（6）4|1||3|zz（7）31z；（8）123zz；（9）3/|arg|z；（10）4iargz解：（1）以点i0z为心，半径为6的圆周（见下图（a））；（2）以点i20z为心，半径为1的圆周及外部（见下图（b））；（3）由于11Re222yxz知点z的范围是双曲线122yx及内部（见下图（c））；（4）xyyxzi)i(ii，故.33)iRe(yz知点z的范围是直线y=3（见下图（d））；（5）1ii)i)(i()i)(iiiii222zzzzzzzzzzz（.0020)iRe(20ii1ii2yyzzzzzz知点z的范围是实轴（见下图（e））；（6）222214)2(122)14(3413zxzxzzzz134)2041232222yxyx（，即点z的范围是以（-3,0）和（-1,0）为焦点，长半轴为2，短半轴为3的一椭圆（见下图（f））；（7）3131zz，即点z的范围是以原点为心，31为半径的圆的外部（见下图（g））；（8）933)2)(2()3)(3(23123222zzzzzzzzzzz.2554222xzzzzz即点z的范围是直线25x以及25x为边界的左半平面（见下图（h））；（9）两条以原点为出发点的射线3argz为边界所夹区域，不含边界（见下图（i））；（10）是以i为起点的射线0,1xxy（见下图（j））；iOyxyx-2iiO(a)(c)y3ixO(d)(b)xyz-iiyxi3-2y1/3yy=x+iy(e)(g)(j)yxO-11Ox14．描出下列不等式所确定的区域，并指是有界的还是无界的，闭的还是开的，单连的还是多连的。（1）0Imz；（2）41z；（3）1Re0z；（4）2i31z；（5）31zz；（6）1arg1z；（7）141zz；（8）232121z；（9）1Rezz；（10）4)i6()i6(zzzz。解（1）0Imz不包含实轴的上半平面，是无界的、开的单连通区域。xyπ/3-π/3O(f)(h)(i)OxyOx（2）41z圆16)1(22yz的外部（不包括圆周），是无界的、开的多连通区域。（3）1Re0z由直线x=0与x=1所围成的带形区域，不包括两直线在内，是无界的、开的单连通区域。（4）2i31z以3i为中心，1与2分别为内、外半径的圆环域，不包括圆周，是有界的、开的多连通区域。（5）131xzzyOAxAyi2i3iOxyxDO-1xy5O1直线x=-1右边的平面区域，不包括直线在内，是无界的、开的单连通的区域。（6）1arg1z由射线1及1构成的角形域，不包括两射线在内，即为一半平面，是无界的、开的单连通区域。（7）22215