(沪科版)中考数学总复习课件【第22讲】特殊的平行四边形

第22讲特殊的平行四边形第22讲┃特殊的平行四边形核心考点一一元二次方程的解法┃考点梳理与跟踪练习┃相关知识定义有一个角是______的平行四边形叫做矩形性质1.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；矩形还是中心对称图形，它的对称中心是对角线的交点．2．矩形的四个角都是______．3．矩形的对角线互相平分并且______1.矩形的两条对角线把矩形分成面积相等的四个等腰三角形；矩形的面积等于两邻边的积．2．直角三角形斜边上的中线等于______的一半直角直角相等斜边第22讲┃特殊的平行四边形判定1.定义法．2．有三个角是直角的四边形是矩形．3．对角线______的平行四边形是矩形相等第22讲┃特殊的平行四边形经典示例例1[2014·湘潭]如图22－1，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在点E处，BE与CD相交于点F，若AD＝3，BD＝6.(1)求证：△EDF≌△CBF；(2)求∠EBC的度数．图22－1第22讲┃特殊的平行四边形解：(1)证明：由折叠的性质可得：DE＝DA，∠E＝∠A，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠C＝∠A＝90°.∴DE＝BC，∠E＝∠C.在△DEF和△BCF中，∠DFE＝∠BFC，∠E＝∠C，DE＝BC，∴△DEF≌△BCF(AAS)．第22讲┃特殊的平行四边形(2)在Rt△ABD中，∵AD＝3，BD＝6，∴∠ABD＝30°.由折叠的性质可得∠DBE＝∠ABD＝30°，∴∠EBC＝90°－30°－30°＝30°.第21讲┃多边形与平行四边形【方法指导】1．解决折叠问题要善于找出对应边、对应角，得到相等关系．2．判定一个四边形为矩形，可以从两个角度考虑：一是证明它有三个角是直角；二是先证明它为平行四边形，再证明它有一个角是直角或对角线相等．第22讲┃特殊的平行四边形核心练习1．[2014·重庆B卷]如图22－2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为()图22－2A．30°B．60°C．90°D．120°B第22讲┃特殊的平行四边形2．下列命题中正确的是()A．有一个角是直角的四边形是矩形B．三个角是直角的多边形是矩形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形图22－3D第22讲┃特殊的平行四边形3．[2014·黔西南州]如图22－3，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB，CB均落在对角线BD上，得折痕BE，BF，则∠EBF的大小为________．4．[2014·沈阳]如图22－4，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝CF，连接OE，OF.求证：OE＝OF.图22－445°第22讲┃特殊的平行四边形证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AC＝BD，OD＝12BD，OC＝12AC.∴OD＝OC.∴∠ODC＝∠OCD.∴∠ADC－∠ODC＝∠BCD－∠OCD，即∠EDO＝∠FCO.又∵DE＝CF，∴△ODE≌△OCF.∴OE＝OF.第22讲┃特殊的平行四边形核心考点二菱形相关知识定义有一组________相等的平行四边形叫做菱形性质1.菱形是________对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；菱形是________对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点．2．菱形的四条边________．3．菱形的两条对角线互相________，并且每条对角线平分________邻边轴中心相等垂直平分一组对角第22讲┃特殊的平行四边形判定1.定义法2．四边________的四边形是菱形．3．对角线________的平行四边形是菱形面积1.由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积＝底×高．2．菱形的面积等于两对角线乘积的________都相等互相垂直一半第22讲┃特殊的平行四边形经典示例例2[2014·淮安]如图22－5，在三角形ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF.求证：四边形AEDF是菱形．图22－5第22讲┃特殊的平行四边形证明：由折叠可知AE＝DE，AF＝DF，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴AE∥DF，AF∥ED，∴四边形AEDF为平行四边形．又∵AE＝DE，∴四边形AEDF为菱形．图22－6第22讲┃特殊的平行四边形【方法指导】证明一个四边形是菱形，可以从两个角度来考虑：一是先证明它是一个平行四边形，然后证明有一组邻边相等或对角线互相垂直；二是直接证明四边形的四条边都相等．第22讲┃特殊的平行四边形核心练习5．[2012·泸州]如图22－6，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是()图22－6A．24B．16C．413D．23C第22讲┃特殊的平行四边形6．[2014·淄博]已知ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使ABCD成为一个菱形．你添加的条件是________________________________________________．答案不唯一，如AB＝BC或AC⊥BD等第22讲┃特殊的平行四边形7．[2014·新疆]如图22－7，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；③过点C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF.(1)求证：△AED≌△CFD；(2)求证：四边形AECF是菱形．图22－7第22讲┃特殊的平行四边形证明：(1)根据作图步骤①和②可知PQ是AC的垂直平分线，∴CD＝AD，ED⊥AC.∵CF∥AB，∴∠DCF＝∠DAE.又∵∠CDF＝∠ADE，∴△AED≌△CFD.第22讲┃特殊的平行四边形(2)∵△AED≌△CFD，∴FC＝AE.∵PQ是AC的垂直平分线，∴CE＝AE，CF＝AF，∴CE＝AE＝CF＝AF，∴四边形AECF是菱形．第22讲┃特殊的平行四边形核心考点三正方形相关知识定义有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形性质1.正方形的对边平行．2．正方形的四条边______．3．正方形的四个角都是______．4．正方形的对角线相等，互相_________，每条对角线平分一组对角．5．正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有______条，对称中心是_____________相等直角垂直平分4对角线的交点第22讲┃特殊的平行四边形判定1.有一组邻边相等的矩形是正方形．2．有一个角是直角的菱形是正方形证明一个四边形是正方形的思路是：证明它既是矩形，又是菱形第22讲┃特殊的平行四边形经典示例例3[2014·安徽模拟]如图22－8所示，在正方形ABCD的对角线上取一点E，使得∠BAE＝15°，连接AE，CE.延长CE到F，连接BF，使得BC＝BF.若AB＝1，则下列结论：①AE＝CE；②F到BC的距离为22；③BE＋EC＝EF；④S△AED＝14＋28；⑤S△EBF＝312.其中正确的是________．①③⑤第22讲┃特殊的平行四边形图22－8第22讲┃特殊的平行四边形[解析]连接AF，过点A作AM⊥BD，垂足为M，过点B作BG⊥EF，垂足为G，过点F作FN⊥BC，交CB的延长线于点N，在DE上截取EH＝EC.①∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，∴△ABE≌△CBE，∴AE＝CE.故结论①正确．第22讲┃特殊的平行四边形②∵BC＝BF，∠BCE＝∠BAE＝15°，∴∠BFC＝15°，∠FBN＝30°，∴FN＝12BF＝12，即点F到BC的距离为12.故结论②错误．第22讲┃特殊的平行四边形③∵∠FBA＝90°－30°＝60°，FB＝AB，∴△FAB是等边三角形，∴FA＝AB，∴FA＝DC，∠AFE＝60°－15°＝45°.又∵∠DBC＝45°，∴∠AFE＝∠HBC.∵∠DEC＝∠EBC＋∠BCE＝60°＝∠DEA，∠FEA＝60°，∴∠DEC＝∠FEA.第22讲┃特殊的平行四边形∵EH＝EC，∠DEC＝60°，∴△HEC是等边三角形，∴∠BHC＝60°，∴∠FEA＝∠BHC.在△AEF和△CHB中，∠AFE＝∠HBC，∠FEA＝∠BHC，FA＝BC，∴△AEF≌△CHB，第22讲┃特殊的平行四边形∴EF＝HB.∵EC＝EH，∴HB＝EB＋EC，∴BE＋EC＝EF.故结论③正确．第22讲┃特殊的平行四边形④∵AM＝BM＝DM＝AB·sin∠ABD＝22，EM＝AMtan∠AEM＝22×13＝66，∴DE＝DM＋EM＝22＋66，∴S△ADE＝12×(22＋66)×22＝14＋312.故结论④错误．第22讲┃特殊的平行四边形⑤∵BG＝BE·sin∠FEB＝(BD－DE)·sin∠FEB＝(22－66)×32＝6－24，由条件可知EF＝DE＝22＋66，∴S△EBF＝12×(22＋66)×6－24＝312.故结论⑤正确．综上，答案为①③⑤.第22讲┃特殊的平行四边形例4[2014·青岛]已知：如图22－9ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E.(1)求证：△AOD≌△EOC；(2)连接AC，DE，当∠B＝∠AEB＝________°时，四边形ACED是正方形？请说明理由．图22－945°第22讲┃特殊的平行四边形解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠D＝∠OCE，∠DAO＝∠E.又∵O是CD的中点，∴OC＝OD，∴△AOD≌△EOC.第22讲┃特殊的平行四边形(2)当∠B＝∠AEB＝45°时，四边形ACED是正方形．∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE.又∵OC＝OD，∴四边形ACED是平行四边形．∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°.第22讲┃特殊的平行四边形∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠COE＝∠BAE＝90°.∴ACED是菱形．∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD.∴菱形ACED是正方形．第22讲┃特殊的平行四边形核心练习8．[2013·荆州]如图22－10，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1(D1，E1在AB上，A1，B1分别在AC，BC上)，再在△A1B1C内按同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形AnBnDnEn的边长是________．图22－1013n－1第22讲┃特殊的平行四边形9．[2013·南京]如图22－11，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．图22－11第22讲┃特殊的平行四边形证明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD.∴∠ADB＝∠CDB.第22讲┃特殊的平行四边形(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.∴四边形MPND是正方形．第22讲┃特殊的平行四边形10．[2014·滨州]如图22－12，已知正方形ABCD，把边DC绕点D顺时针旋转30°到DC′处，连接AC′，BC′，CC′.写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程．图22－12第22讲┃特殊的平行四边形解：图中的等腰三角形有：△DCC′，△DAC′，△ABC′，△BCC′.理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD＝AB＝BC，∠ADC＝∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°.∵边DC绕点D顺时针旋转30°到DC′处，∴DC′＝DC＝AD＝AB，∠DCC′＝∠DC′C＝12(180°－30°)＝75°，第22讲┃