高数下公式总结

高等数学下册公式总结1、N维空间中两点之间的距离公式：1212,,,n,,,np(xx...x),Q(yy...y)的距离2221122nnPQ(xy)(xy)...(xy)2、多元函数zf(x,y)求偏导时，对谁求偏导，就意味着其它的变量都暂时看作常量。比如，zx表示对x求偏导，计算时把y当作常量，只对x求导就可以了。3、二阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即22zzxyyx。4、多元函数zf(x,y)的全微分公式：zzdzdxdyxy。5、复合函数zf(u,v),u(t),v(t)，其导数公式：dzzduzdvdtudtvdt。6、隐函数F(x,y)=0的求导公式：XyFdydXF，其中xyF,F分别表示对x,y求偏导数。方程组的情形：00F(x,y,u,v){G(x,y,u,v)的各个偏导数是：FFvxGGuxvxFFuvGGuv，FFuxGGvuxxFFuvGGuv，FFyvGGyvuyFFuvGGuv，FFyuGGuyvyFFuvGGuv。7、曲线的参数方程是：x(t),y(t),z(t)，则该曲线过点000M(x,y,z)的法平面方程是：0000000(t)(xx)(t)(yy)(t)(zz)切线方程是：000000(xx)(yy)(zz)(t)(t)(t)。8、曲面方程(,,)Fxyz＝0在点000M(x,y,z)处的法线方程是：000xyz(xx)(yy)(zz)FFF，切平面方程是：0000xyzF(xx)F(yy)F(zz)。9、求多元函数z=f(x,y)极值步骤：第一步：求出函数对x,y的偏导数，并求出各个偏导数为零时的对应的x,y的值第二步：求出000000xxxyyyf(x,y)A,f(x,y)B,f(x,y)C第三步：判断AC-B2的符号，若AC-B2大于零，则存在极值，且当A小于零是极大值，当A大于零是极小值；若AC-B2小于零则无极值；若AC-B2等于零则无法判断10、二重积分的性质：（1）(,)(,)DDkfxydkfxyd（2）[(,)(,)](,)(,)DDDfxygxydfxydgxyd(3)12(,)(,)(,)DDDfxydfxydfxyd(4)若(,)(,)fxygxy，则(,)(,)DDfxydgxyd（5）Dds，其中s为积分区域D的面积（6）(,)mfxyM，则(,)DmsfxydMs（7）积分中值定理：(,)(,)Dfxydsf，其中(,)是区域D中的点11、双重积分总可以化简为二次积分（先对y，后对x的积分或先对x，后对y的积分形式）2211()()()()(,)(,)(,)PxPybdDaPxcPyfxyddxfxydydyfxydx，有的积分可以随意选择积分次序，但是做题的复杂性会出现不同，这时选择积分次序就比较重要，主要依据通过积分区域和被积函数来确定12、双重积分转化为二次积分进行运算时，对谁积分，就把另外的变量都看成常量，可以按照求一元函数定积分的方法进行求解，包括凑微分、换元、分步等方法13、曲线、曲面积分：（1）对弧长的曲线积分的计算方法：设函数f（x,y）在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为x(t)y(t)，(t)，则22Lf(x,y)dsf[(t),(t)](t)(t)dt（2）格林公式：DLLQP()dxdyPdxQdyxy14、向量的加法与数乘运算：111222(,,),(,,)axyzbxyz，则有111(,,)kakxkykz，121212(,,)abxxyyzz，若ab，则111222xyzxyz15、向量的模、数量积、向量积：若111222(,,),(,,)axyzbxyz，则向量a的模长222111axyz；数量积（向量之间可以交换顺序，其结果是一个数值）ab＝121212baxxyyzz＝cos,baabab，其中,ab表示向量,ba的夹角，且若ab，则有ab＝0；向量积（向量之间不可以交换顺序，其结果仍是一个向量）111122121121221222()()()ijkabxyzyzyzixzxzjxyxykxyz，其中,,ijk是x轴、y轴、z轴的方向向量16、常数项无穷级数1231......nnnuuuuu，令123...nnsuuuu称为无穷级数的部分和，若limnxss，则称改级数收敛，否则称其为发散的。其中关于无穷级数的一个必要非充分地定理是：若1nnu收敛，则必有lim0nxu17、三种特殊的无穷级数：（1）调和级数11nn是发散的，无须证明就可以直接引用（2）几何级数1nnaq，当1q时收敛，当1q时发散（3）p级数11pnn，当1p时收敛，当1p时发散18、正项级数1nnu的判敛方法：（1）比较判敛法：若存在两个正项级数1nnu，1nnv，且有nnvu，若nu收敛，则nv收敛；若nv发散，则nu发散（2）比较判敛法的极限形式：若lim,(0)nxnullv，则nu和nv具有相同的敛散性（3）比值判敛法：对于1nnu，1limnxnulu，若1l，则原级数收敛，若1l，则原级数发散19、交错级数11(1)nnnu的判敛方法：同时满足1nnuu及lim0nxu，则级数收敛，否则原级数发散20、绝对收敛和条件收敛：对于1nnu，若1nnu收敛，则称其绝对收敛；若1nnu发散，但是1nnu收敛，则称其条件收敛21、函数项无穷级数形如：1231()()()()...()...nnnuxuxuxuxux，通常讨论的是幂级数形如：2301230......nnnnnaxaaxaxaxax，（1）收敛半径及收敛区间：1lim,nxnaa则收敛半径1R，收敛区间则为(,)RR，但是要注意的是，收敛区间的端点是否收敛需要用常数项级数判敛方法验证（2）几种常见函数的幂级数展开式：0!nxnxen，sinx(21)n-11-1(21)!nnxn（），20cos(1)(2)!nnnxxn，011nnxx，01(1)1nnnxx22、常微分方程的类型及解题方法：（1）可分离变量的微分方程：(,)yfxy，总是可以分离变量化简为()()dydxfyfx的形式，然后等式两边同时积分，即可求出所需的解（2）齐次方程：(,)yfxy，不同的是，等式右端的式子总是可以化简为()yfx的形式，令yux，则原方程化简为可分离变量方程形式()uxufu来求解（3）一阶线性微分方程：形如()()ypxyfx的方程，求解时首先求出该方程对应的齐次方程()0ypxy的解y()cQx，然后使用常熟变易法，令()cux，把原方程的解()()yuxQx带入原方程，求出()ux，再带入()()yuxQx中，即求出所需的解（4）全微分方程：形如(,)(,)0pxydxQxydy的方程，只要满足(,)(,)pxyQxyyx，则称其为全微分方程，其解为00(,)(,)xyupxydxQxydy（5）二阶微分方程的可降阶的三种微分方程：第一种：()yfx的形式，只需对方程连续两次积分就可以求出方程的解第二种：(,)yfxy的形式，首先令yz，则原方程降阶为可分离变量的一阶微分方程(,)zfxz的形式，继续求解即可第三种：(,)yfyy的形式，同样令yz，由于dzdzdydzyzydxdydxdy，所以原方程转化为一阶微分方程(,)dzzfyzdy的形式，继续求解即可（6）二阶常系数齐次微分方程：0ypyqy，求解时首先求出该方程对应的特征方程20rprq的解1,2rr，若实根12rr，则解为1212rxrxycece；若实根12rr，则解为112()rxyccxe；若为虚根abi，则解为12(cossin)axyecbxcbx（8）二阶常系数非齐次微分方程：()rxmypyqyPxe，求解时先按（7）的方法求其对应的齐次微分方程的通解1y，然后设出原方程的特解y＝kx()rxmQxe，其中()mQx是和()mPx同次的多项式，含有相应的未知系数，而k根据特征方程的解1,2rr与r的关系取值，若r与特征根不相等，则k取0；若r和一个特征根相等，则k取1；若r和特征根都相等，则k取2，将特解代入原方程求出相应的未知系数，最终原方程的解即通解加上特解，即1yyy