2016届高考数学大一轮复习-第2章-第8节-函数与方程课件-文-新人教版

第八节函数与方程考纲要求：1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．[基础真题体验]考查角度[函数的零点]1．(2013·湖南高考)函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为()A．0B．1C．2D．3【解析】g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)＝lnx与g(x)＝(x－2)2的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点．【答案】C2．(2012·天津高考)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】因为f′(x)＝2xln2＋3x20，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－10，f(1)＝2＋1－2＝10，所以有1个零点．【答案】B3．(2014·福建高考)函数f(x)＝x2－2，x≤0，2x－6＋lnx，x0的零点个数是________．【解析】当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x0时，f′(x)＝2＋1x0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln20，f(3)＝ln30，f(2)·f(3)0，所以f(x)在(2,3)内有一个零点．综上，函数f(x)的零点个数为2.【答案】2[命题规律预测]命题规律从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．考向预测预测2016年高考仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目有求零点的个数及取值范围、利用函数的零点求解参数等.考向一函数零点的求解与判断[典例剖析]【例1】(1)(2014·湖北高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1,3}B．{－3，－1,1,3}C．{2－7，1,3}D．{－2－7，1,3}(2)(2013·天津高考)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4【思路点拨】(1)求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解，确定f(x)后，解方程即可．(2)转化为求函数y＝|log0.5x|与y＝12x图象交点个数问题解答．【解析】(1)令x0，则－x0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x.求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解．当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；当x0时，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－7.故选D.(2)函数f(x)的零点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝12x图象的交点个数．在同一坐标系中作出函数y＝|log0.5x|与y＝12x的图象，如图，由图易知有2个交点．【答案】(1)D(2)B1．确定函数f(x)零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．2．确定方程f(x)＝g(x)在区间[a，b]上根的个数的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝g(x)易解时，可先解方程，看求得的根是否落在区间[a，b]上再判断．(2)数形结合法：通过画函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象，观察其在区间[a，b]上交点个数来判断．[对点练习](1)方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内()A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根(2)(2013·重庆高考)若abc，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内【解析】(1)如图所示，由图象可得两函数图象有两个交点，故方程有且仅有两个根，故答案为C.(2)∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵abc，∴f(a)0，f(b)0，f(c)0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．【答案】(1)C(2)A考向二函数零点的应用[典例剖析]【例2】(2014·重庆高考)已知函数f(x)＝1x＋1－3，x∈－1，0]，x，x∈0，1]，且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()A.－94，－2∪0，12B.－114，－2∪0，12C.－94，－2∪0，23D.－114，－2∪0，23【思路点拨】作出f(x)的图象，根据题意，用数形结合法解答．【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，其中A(1,1)，B(0，－2)．因为直线y＝mx＋m＝m(x＋1)恒过定点C(－1,0)，故当直线y＝m(x＋1)在AC位置时，m＝12，可知当直线y＝m(x＋1)在x轴和AC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y＝m(x＋1)可与AC重合但不能与x轴重合)，此时0m≤12，g(x)有两个不同的零点．当直线y＝m(x＋1)过点B时，m＝－2；当直线y＝m(x＋1)与曲线f(x)相切时，联立y＝1x＋1－3，y＝mx＋1，得mx2＋(2m＋3)x＋m＋2＝0，由Δ＝(2m＋3)2－4m(m＋2)＝0，解得m＝－94，可知当y＝m(x＋1)在切线和BC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y＝m(x＋1)可与BC重合但不能与切线重合)，此时－94m≤－2，g(x)有两个不同的零点．综上，m的取值范围为－94，－2∪0，12，故选A.【答案】A已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．[对点练习](1)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)(2)已知函数f(x)＝2x－a，x≤0，x2－3ax＋a，x0有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．【解析】(1)由题意知f(1)·f(2)0，即a(a－3)0，∴0a3，C选项正确．(2)要使函数f(x)有三个不同零点，则当x≤0时，方程2x－a＝0，即2x＝a必有一根，此时0a≤1；当x0时，方程x2－3ax＋a＝0有两个不等实根，即方程x2－3ax＋a＝0有2个不等正实根，于是Δ＝9a2－4a0，3a0，a0，∴a49，故49a≤1.【答案】(1)C(2)49，1思想方法5解决方程根问题的“利器”——数形结合方法利用函数处理方程解的问题，方法如下：(1)方程f(x)＝a在区间I上有解⇔a∈{y|y＝f(x)，x∈I}⇔y＝f(x)与y＝a的图象在区间I上有交点．(2)方程f(x)＝a在区间I上有几个解⇔y＝f(x)与y＝a的图象在区间I上有几个交点．一般地，在探究方程解的个数或已知解的个数求参数的范围时，常采用转化与化归的思想将问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而可利用数形结合的方法给予直观解答．[典例剖析]【典例】(2014·山东高考)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A.0，12B.12，1C．(1,2)D．(2，＋∞)【解析】先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为12，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为12，1.【答案】B[对点练习](2014·济宁模拟)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－log12x，h(x)＝log2x－x的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()A．x1x2x3B．x2x1x3C．x1x3x2D．x3x2x1【解析】由题意知x1是函数y＝2x与y＝－x图象交点的横坐标，x2是函数y＝log12x与y＝x图象交点的横坐标，x3是函数y＝log2x与y＝x图象交点的横坐标，如图所示，则x1x2x3.【答案】D课堂达标训练1．给出下列命题：①函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；②函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)0；③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0时没有零点；④若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】由零点的概念与零点存在性定理知③④正确．【答案】C2．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()A.－14，0B.0，14C.14，12D.12，34【解析】显然f(x)＝ex＋4x－3的图象连续不间断，又f12＝e－1＞0，f14＝4e－2＜0.∴由零点存在性定理知，f(x)在14，12内存在零点．【答案】C3．函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为()A．4B．5C．6D．7【解析】函数f(x)＝xcosx2＝0在区间[0,4]上的解有x1＝0，x2＝2π2，x3＝6π2，x4＝10π2，x5＝14π2，x6＝18π2，共6个零点．【答案】C4．方程|x2－2x|＝a2＋1(a0)的解的个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】∵a0，∴a2＋11.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．∴方程有两解．【答案】B