中考数学专题复习(二)圆

专题二：圆知识要点扫描归纳一圆的基本概念（1）圆的定义：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做圆心，定长叫半径。（2）确定圆的条件；①已知圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；③已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆；（3）点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。①点在圆外d＞r；②点在圆上d=r；③点在圆内d＜r；（4）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直线。直径是圆中最大的弦。圆心到弦的距离叫做弦心距。（5）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。（6）等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧。（7）圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。圆绕圆心旋转任何角度，都能够与原来的图形重合，因此圆还具有旋转不变性。二圆中的重要定理1．垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．推论1：一条直线，如果具有①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧．这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质．推论2：圆的平行弦所夹的弧相等．2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、定理及推论．在同圆或等圆中，四组量：①两个圆心角；②两条弧；③两条弦；④两条弦心距．其中任一组量相等，则其余三组量也分别相等．即在同圆或等圆中：圆心角相等所对所对所对弧相等弦相等弦心距相等3．圆周角①定义：顶点在圆上，且两边与圆相交的角．②定理及推论定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90o的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．推论4：圆内接四边形定理：圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．三、直线和圆的位置关系：1．直线和圆的位置关系的定义及有关概念（1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交（图1），这时直线叫圆的割线．（2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切（图2）这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离（图3）2．直线和圆的位置关系性质和判定如果⊙O的半径r，圆心O割直线l的距离为d，那么（1）直线l和⊙O相交dr（图1）；（2）直线l和⊙O相切dr（图2）；（3）直线l和⊙O相离dr（图3）．四、切线的判定和性质：（一）切线的判定1．切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；2．和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；3．经过半径外端点且与半径垂直的直线是圆的切线．（二）切线的性质1．切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径；推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．2．切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；·lO图1·lO图2·lO图2·lO图1dr·lO图2dr·lO图3dr（4）经过圆心垂直于切线的直线过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心．五、三角形的内切圆1．三角形的外接圆过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等．2．外心的位置锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径2CR(C为斜边长)3．三角形的内切圆到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部．若三角形的面积为ABCS，周长为a+b+c,则内切圆半径为:cbaSrABC2，当ba,为直角三角形的直角边，c为斜边时，内切圆半径cbaabr或2cbar.4．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的对角互补；（2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．注意：①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形．六、切线长定理：1．切线长概念：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的R，叫做这点到圆的切线长．2．切线长和切线的区别切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．3．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，①PA=PB②PO平分APB．4．两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．七、弦切角定理：·AAOACADABAPA1．弦切角概念：理解体弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线．2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半．3．弦切角定理的推论：推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等．八与比例线段相关的定理（了解）1．相交弦定理及其推论：（1）定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，AB，CD相交余E，则AE·EB=CE·DE（2），推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．如上右图，有AE·EB=CE2成立2，切割线定理及其推论（1）定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．如上左图，PT切⊙O,PAB是⊙O的一条割线，则有PT2=PA·PB成立．（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．如上右图，有PA·PB=PC·PD成立．九圆中的相关计算1．弧长公式：半径为R的圆，其周长是R2，将圆周分成360份，每一份弧就是1o的弧，1o弧的弧长应是圆周长的3601，而为1803602RR，因此，on的弧的弧长就是180Rn，于是得到公式：)(180代表弧长lRnl。2．（1）扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形（如图）。（2）扇形的周长：（3）扇形的面积：如图，阴影部分的面积即为扇形OAB的面积。S扇形=)(3602为扇形圆心角的度数为半径，nRRnPABCDPABCD·OPABT··OPABCDABABlRlOBOA2由上面两公式可知S扇形=213602nRlR．可据已知条件灵活选用公式。3．弓形的面积（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S弓形=S扇形-S△OAB。（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S弓形=S扇形+S△OAB。十．两圆的位置关系：1圆与圆的位置关系外离外切相交内切内含图形公共点0个1个2个1个0个d、r、R的关系dR+rd=R+rR-rdR+rd=R-rdR-r外公切线2条2条2条1条0条内公切线2条1条0条0条0条2．两圆连心线的性质（1）如果两圆相切,那么切点位于这两个圆的连心线上．（2）相交两圆的连心线垂直平分这两个圆的公共弦．3．两圆的公切线（1）与两圆都相切的直线,叫做这两个圆的公切线,两个圆在公切线的同旁时,这条公切线叫做这两个圆的外公切线;两个圆在公切线的两旁时,这条公切线叫做这两个圆的内公切线;公切线上两个切点间的距离,叫做这条公切线(段)的长;（2）两圆的两条外公切线长相等;（3）两圆的两条内公切线长相等，且交点位于这两个圆的连心线上；（4）两圆相切可以运用于弧与弧的平浓连接．考点扫描归纳1角度的计算1．（年山东省青岛市）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC=24°，则∠BOC=°．·OAB·ABOm·ABOm·O2·O1··O1O2Rrd·O1·O2RrRrO2O1··Rr·O2·O1RrOCBACBAO2、(年安徽省B卷)13．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的弧AB)，点O是这段弧的圆心，C是弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是m．3、（福建德化）如图，点B、C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角BAC等于（）A．60B．50C．40D．30第2题图第3题图4．(年北京崇文)AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，DAB=48,则ACD=．5．（年门头沟区）如图，CDAB于E，若60B，则A度．第4题图6.（年重庆潼南县）如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上,∠C=15°,则∠BOC的度数为（）A．15°B.30°C.45°D．60°7.(年兰州市)有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有A．4个B．3个C．2个D．1个8.（年安徽中考）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝500，点D是BAC上一点，则∠D＝_______________第8题第9题第10题9．(重庆市)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的度数等于（）A．140°B．130°C．120°D．110°10.（年四川省眉山市）如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则∠OBC的度数为_______．11.（年福建省晋江市）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且A是优弧BAC上与点B、点C不同的一点，若BOC是直角三角形，则BAC必是().OABC第1题图·第5题ABCO题图6（第17题）A.等腰三角形B.锐角三角形C.有一个角是30的三角形D.有一个角是45的三角形12.(年浙江省绍兴市)如图,⊙O是正三角形ABC的外接圆,点P在劣弧AB上,ABP=22°,则BCP的度数为_____________.13.（年宁德市）如图，在⊙O中，∠ACB＝34°，则∠AOB的度数是（）．A.17°B.34°C.56°D.68°14．（年山东省青岛市）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC=24°，则∠BOC=°．15．（江苏泰州，18，3分）如图⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为2,1cmcm，则弦AC、BD所夹的锐角＝．第15题图第16题图16．(年安徽芜湖市)如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（）A．19B．16C．18D．2017．（浙江省喜嘉兴市）如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知∠O＝60º，则∠C＝（）A．20ºB．25ºC．30ºD．45º18.(年浙江省金华).如图，△ABC内接于⊙O，∠A=40°，则∠BOC的度数为（）A.20°B.40°C.60°D.80°19.(年兰州市)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为A．15B．28C．29D．34AOBC第11题第13题图AOCB第12题图OABC第14题图·（第18题）ABOCD20.(年兰州市)（本题满分6分）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．（1）（本小题满分4分）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）（本小题满分2分））若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC=90，试求小明家圆形花坛的面积．21（江苏宿迁）（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，每个小方格的边长为1个单位长度．在第一象限内有横、纵坐标均为整数的A、B两点，且OA=OB=10．（1）