第三章-Wigner分布

69第3章Wigner分布3.1Wigner分布的定义我们在第一章讨论了对非平稳信号作时－频联合分析的必要性，在第二章介绍了具有线性形式的时－频分布，如STFT及Gabor变换。这一类形式的时－频分布还有小波变换，我们将在第九章以后详细讨论。本章及下一章集中讨论具有双线性形式的时－频分布，主要是Wigner分布及具有更一般形式的Cohen类分布。所谓双线性形式，是指所研究的信号在时－频分布的数学表达式中以相乘的形式出现两次。在有的文献中又称为非线性时－频分布。令信号tx，ty的傅立叶变换分别是jX，jY，那么，tx，ty的联合Wigner分布定义为：,,22jxyWtxtyted＊（3.1.1）信号tx的自Wigner定义为,22jxWtxtxted＊（3.1.2）Wigner于1932年首先提出了Wigner分布的概念［120］，并把它用于量子力学领域。在之后的一段时间内并没有引起人们的重视。直到1948年，首先由Ville把它应用于信号分析。因此，Wigner分布又称Wigner－Ville分布，简称为WVD。1973年，DE．Bruijn对WVD分布作了评述，并给出了把WVD用于信号变换的新的数学基础［32］。1966年，Cohen给出了各种时－频分布的统一表示形式［46］，1980年，Classen在Philips．J．Res．上连续发表了三篇关于WVD的文章［38,39,40］，对WVD的定义、性质等作了全面的讨论。由于这些工作，使得80年代后对WVD的研究骤然引起了人们的兴趣，发表的论文很多，也取得了一些可喜的成果。由下面的讨论可知，在已提出的各种时－频分布中，WVD具有最简单的形式，并具有很好的性质。因此，本章首先讨论WVD的定义与性质，然后是WVD定义的离散化与实现，我们将在下一章讨论时－频分布的统一表示形式，即Cohen类时－频分布，由该章的讨论可进一步看出Wigner分布在时－频分步中所具有的地位和作用。现在，我们对（3.1.1）及（3.1.2）式的定义稍加解释。在这两个式子中，是积分变量，t是时移，若令2，则2，dd2，代入（3.1.1）式，有detytxtWjyx2,2,（3.1.3）70其含义可用图3.1.1表示。对图中的阴影部分（即2xt和2yt＊乘积的公共部分）做傅立叶变换，即是t时刻的WVD。注意：FT的核函数是2je。图3.1.1WVD定义的解释令12xxt，12yyt，则1x、2x的傅立叶变换分别是2221XeXtj，2221YeYtj这样，（3.1.1）式可变为：deYXYXdeyxtWtjjyx241111,22224,　　　　　令22，则上式变为,1,222jtxyWtXYed（3.1.4）对自WVD，有,1,222jtxyWtXXed（3.1.5）显然，WVD在时域和频域有着非常明显的对称形式。71若令,,22xyrtxtyt则detrtWjyxyx,,,,（3.1.6）这是普通的傅立叶变换式，只不过它依赖于时间t。但此处的,,tryx并不是我们以前定义过的相关函数［胡，1997］。在时－频分析中，我们称,,tryx为瞬时自相关。3．2WVD的性质Wigner－Ville分布有一系列好的性质，这是它得到广泛应用的主要原因，现分别给以讨论。一、,tW的奇、偶、虚、实性１、不论tx是实信号还是复值信号，其自WVD都是t和的实函数，即RtWx),(,t（3.2.1）证明：对（3.1.1）式两边取共轭，有,22jxWtxtxted　令，则,22,jxxWtxtxtedWt　２、若tx为实信号，则,tWx不但是t、的实函数，还是的偶函数，即,,tWtWxx(3.2.2)证明：因为,(2)2,jxxWtxtxtedWt令，则,(2)2,jxxWtxtxtedWt３、对tx，ty的互WVD，,,tWyx不一定是实函数，但具有如下性质：,,,,tWtWxyyx（3.2.3）72二、WVD的能量分布性质１、时间边缘（timemarginal）性质令（3．1．1）式两边对积分，有11,2222122222jxjWtdxtxteddxtxtdedxtxtd　　　　　　　　　　　　　　　　2tx(3.2.4)该式表明，信号)(tx的WVD沿频率轴的积分等于该信号在t时刻的瞬时能量。由此可看出WVD具有能量分布性质。2．频率边缘性质同理，令（3．1．5）式两边同时对t积分，有21,22222jtxWtdtXXeddtXXdX　　　　　　　　　　　　(3.2.5)即WVD沿时间轴的积分等于在该频率处的瞬时能量。由（3．2．4）及（3．2．5）两式，我们不难得到：babattttxdttxdtdtW2,21（3.2.6）babattxdXddttW2,21（3.2.7）)(),(,212txtxdttxdtdtWx　（3.2.8）这三个式子指出，,tWx在某一时间带内对时间的积分等于信号在该带内的能量，在某一频带内的积分也有着同样的性质。而,tWx在整个－t平面上的积分等于信号的能量。由后面的讨论可知，,tWx在－t平面上某一点的值并不能反映信号的能量，这是因为,tWx有可能取负值。上述WVD的能量分布性质可用图3.2.1来表示。73图3.2.1WVD的能量分布三、由WVD重建信号)(tx由（3．1．1）式，我们有122,2jxxtxtWted令2t这一特定的时刻，有102,212,2jxjtxxtxWedWed　　　　　上式第二步是简单的变量代换，于是：12,20jtxxtWtedx（3.2.9）也就是说，tx可由其WVD来重建。但值得注意的是，若tx含有常数的相位因子，如jetAtx，由于,2222xrtxtxtAtAt把相位因子抵消，因此由WVD恢复出的tx将不会有此相位因子。四、WVD的运算性质１、移位令tytytxtx,74则,,,,tWtWyxyx（3.2.10）２、调制令tjtjetytyetxtx00,则0,,,,tWtWyxyx（3.2.11）３、移位加调制令tjtjetytyetxtx00,则0,,,,tWtWyxyx（3.2.12）（3．2．10）式称为WVD的移不变性，（3．2．11）式称为频率调制不变性，而（3．2．12）式则是二者的结合。４、时间尺度令txtx，此处为大于零的常数，则1,,xxWtWt（3.2.13）５、信号的相乘令thtxty则,2222,,1,,21,,2jyjxhxhxhWtxthtxthtedrtrtedWtWtWtWtd　　　　　　　　　　　　（3.2.14）该式指出，两个信号积的自WVD等于这两个信号各自WVD在频率轴上的卷积。这是WVD的一个很好的性质，因为我们对无限长的信号加窗截短时，只影响其频率分辨率，而不影响其时域分辨率。６、信号的滤波令thtxty75则tdttWtWtWtWtWhxhxy,,],,,　　　　（3.2.15）７、信号的相加令txtxtx21，则12121212,,2222,,2Re,jxxxxxWtxtxtxtxtedWtWtWt　　　　（3.2.16）该式指出，两个信号和的WVD并不等于它们各自WVD的和。式中,Re221,tWxx是tx1和tx2的互WVD，我们称之为“交叉项”，它是引进的干扰。交叉项的存在是WVD的一个严重缺点。近20年来，人们提出了各种各样的方案来去除或减轻交叉项对信号各个分量的自WVD所带来的影响。进一步，若令txtxtx21，tytyty21则,,,,,12212211,,,,,tWtWtWtWtWyxyxyxyxyx(3.2.17)后两项也是交叉项干扰。一般，若tx会有N个分量，那么这些分量之间共产生2)1(NN个互项的干扰。有关交叉项的性质及去除交叉项的办法，我们将在本章及下一章继续讨论。五、WVD的时限与带限性质１、若在att和btt时，0tytx，即tytx,是时限的，则对一切，有bayxtttttW　和　　　0,,（3.2.18）２、由上述结论，若tx，ty均是因果信号，及当0t时0tytx，那么00,,ttWyx　　（3.2.19）３、若当a和b时，0YX，即YX、是带限的，则对一切的t，有bayxtW　和　　　0,,（3.2.20）六、解析信号的自WVD76令txˆ是tx的Hilbert变换，则txjtxtzˆ是tx的解析信号。由Hilbert变换的性质可知[19]：0002　　　　　　　　　　xZ（3.2.21）即解析信号只包含正频率成分。由前述的WVD的带限性质可知，当0时，0,tWz，并有1,222jtzWtZZed（3.2.22）Z和X的关系如式（3．2．21）式所示，和的实际关系如同图3．1．1中和t的关系，因此，（3．2．22）式的实际积分限是：22,22jtzWtXXed（3.2.23）该式积分号中相当于乘了一个从2至2的矩形窗。由运算性质5，我们可得到信号tx和其解析信号tz的WVD之间的关系，即0002sin,4,　　　　　　　　　　　　　　　　　tWtWxz（3.2.24）七、瞬时频率与群延迟设信号tx可写成解析形式，即tjetAtx，其WVD为,tWx，则tx的瞬时频率和WVD有如下关系：t