2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷-I

1．已知集合A={x|x1}，B={x|31x}，则A．{|0}ABxxB．ABRC．{|1}ABxxD．AB2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π43．设有下面四个命题1p：若复数z满足1zR，则zR；2p：若复数z满足2zR，则zR；3p：若复数12,zz满足12zzR，则12zz；4p：若复数zR，则zR.其中的真命题为A．13,ppB．14,ppC．23,ppD．24,pp4．记nS为等差数列{}na的前n项和．若4524aa，648S，则{}na的公差为A．1B．2C．4D．85．函数()fx在(,)单调递减，且为奇函数．若(11)f，则满足21()1xf的x的取值范围是A．[2,2]B．[1,1]C．[0,4]D．[1,3]6．621(1)(1)xx展开式中2x的系数为A．15B．20C．30D．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10B．12C．14D．168．右面程序框图是为了求出满足3n−2n1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A1000和n=n+1B．A1000和n=n+2C．A1000和n=n+1D．A1000和n=n+29．已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C210．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16B．14C．12D．1011．设xyz为正数，且235xyz，则A．2x3y5zB．5z2x3yC．3y5z2xD．3y2x5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推。求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是A．440B．330C．220D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=.14．设x，y满足约束条件21210xyxyxy，则32zxy的最小值为.15．已知双曲线C：22221xyab（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为________。16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为23sinaA（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90BAPCDP.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90APD，求二面角A-PB-C的余弦值.19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求(1)PX及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716iixx，161622221111()(16)0.2121616iiiisxxxx，其中ix为抽取的第i个零件的尺寸，1,2,,16i．用样本平均数x作为的估计值ˆ，用样本标准差s作为的估计值ˆ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布2(,)N，则(33)0.9974PZ，160.99740.9592，0.0080.09．20.（12分）已知椭圆C：2222=1xyab（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.21.（12分）已知函数)fx（ae2x+(a﹣2)ex﹣x.（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx有两个零点，求a的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos,sin,xy（θ为参数），直线l的参数方程为4,1,xattyt（为参数）.（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A2．B3．B4．C5．D6．C7．B8．D9．D10．A11．D12．A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．2314．-515．23316．315cm三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为23sinaA（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.解：（1）由题意可得21sin23sinABCaSbcAA，化简可得2223sinabcA，根据正弦定理化简可得：2222sin3sinsinCsinsinsinC3ABAB。（2）由2sinsinC123coscossinsinCcoscos123coscos6BAABBBCABC，因此可得3BC，将之代入2sinsinC3B中可得：231sinsinsincossin0322CCCCC，化简可得3tan,366CCB，利用正弦定理可得31sin3sin232abBA，同理可得3c，故而三角形的周长为323。18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90BAPCDP.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90APD，求二面角A-PB-C的余弦值.（1）证明：//,ABCDCDPDABPD,又,ABPAPAPDP,PA、PD都在平面PAD内，故而可得ABPAD。又AB在平面PAB内，故而平面PAB⊥平面PAD。（2）解：不妨设2PAPDABCDa，以AD中点O为原点，OA为x轴，OP为z轴建立平面直角坐标系。故而可得各点坐标：0,0,2,2,0,0,2,2,0,2,2,0PaAaBaaCaa，因此可得2,0,2,2,2,2,2,2,2PAaaPBaaaPCaaa，假设平面PAB的法向量1,,1nxy，平面PBC的法向量2,,1nmn，故而可得11220122200nPAaxaxnPBaxayay，即11,0,1n，同理可得2222200222202nPCamanamnPBamanan，即220,,12n。因此法向量的夹角余弦值：1213cos,3322nn。很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为33。19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求(1)PX及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716iixx，161622221111()(16)0.2121616iiiisxxxx，其中ix为抽取的第i个零件的尺寸，1,2,,16i．用样本平均数x作为的估计值ˆ，用样本标准差s作为的估计值ˆ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布2(,)N，则(33)0.9974PZ，160.99740.9592，0.0080.09．解：（1）1611010.997410.95920.0408PXPX由题意可得，X满足二项分布~16,0.0016XB，因此可