解三角形问题常见类型及解法

解三角形问题常见类型及解法已知三角形的六个元素（三边和三角）中的三个元素（至少有一边）求其他元素的问题叫作解三角形。若三角形为直角三角形较简单，我们通常解决较多的是斜三角形问题，正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。对于解斜三角形的实际应用问题要理解题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，抽象或构造出三角形，明确先用哪个公式定理，先求出哪些量，确定解三角形的方法，在演算过程中要算法简练、算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求。对于实际应用问题中的有关名词、术语要理解清楚，如坡度、俯角、仰角、视角、方向角、方位角等。一、求解斜三角形中的基本元素【理论阐释】已知两边一角(或二角一边或三边)，求其他三个元素的问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题。典例导悟在ΔABC中，已知66cos,364BAB，AC边上的中线BD=5，求sinA的值．【解析】设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且36221ABDE，设BE＝x,在ΔBDE中利用余弦定理可得：222BDBEED2BEEDcosBED，xx6636223852，解得1x，37x（舍去）奎屯王新敞新疆故BC=2，从而222282cos3ACABBCABBCB，即3212AC奎屯王新敞新疆又630sinB，故22123sin306A，从而有1470sinA。二、判断三角形的形状【理论阐释】给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状，通常有两种典型方法：（1）统一化为角，再判断(如解法1)；（2）统一化为边，再判断(如解法2)。典例导悟在ABC中，已知CBAsincossin2，那么ABC一定是（）(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等腰直角三角形(D)正三角形【解析】方法1：由CBAsincossin2＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)．方法2：由题意，得cosB＝sin2sin2CcAa，再由余弦定理，得cosB＝2222acbac．∴2222acbac＝2ca，即a2＝b2，得a＝b，故选(B)．三、解决与面积有关的问题【理论阐释】主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题。典例导悟在ABC△中，三内角ABC，，的对边分别为abc，，，已知2c，3C．（1）若ABC△的面积等于3，求ab，；（2）若sinsin()2sin2CBAA，求ABC△的面积．【解析】（1）由余弦定理及已知条件得，224abab，又因为ABC△的面积等于3，所以1sin32abC，得4ab．联立方程组224,4ababab解得2.2ab（2）由题意得sin()sin()4sincosBABAAA，即sincos2sincosBAAA，当cos0A时，2A，6B，433a，233b，当cos0A时，得sin2sinBA，由正弦定理得2ba，联立方程组2242ababba，，解得233.433ab所以ABC△的面积123sin23SabC。四、三角形中的求值问题【理论阐释】已知三角形三边外的元素如中线长、面积、周长等，灵活逆用公式求得结果即可。典例导悟在锐角ABC△中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知22sin3A，（1）求22tansin22BCA的值；（2）若2a，2ABCS△，求b的值。【解析】（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝，22sin3A，所以cosA＝13，则22222BCsinBCAA2tansinsinBC222cos21cos(BC)11cosA171cosA1cos(BC)21cosA33＋＋＋＝＋＋－＋＋＝＋（－）＝＋＝＋＋－（2）ABCABC1122S2SbcsinAbc223为＝，＝＝因又，则bc＝3。将a＝2，cosA＝13，c＝3b代入余弦定理：222abc2bccosA＝＋－中，得42b6b90－＋＝解得b＝3。五、解三角形的实际应用[理论阐释]有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，合理运用正弦定理和余弦定理求解。典例导悟（一）测量问题如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C处测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.【解析】在△BCD中,∠CBD=π-α-β,由正弦定理得:BCCD=sin∠BDCsin∠CBD,所以sinBC=sin(+)sβαβCDsin∠BDC=sin∠CBD.在Rt△ABC中，AB=BC·tan∠ACBtansinsin(+)sθβαβ=.（二）遇险问题如图，已知海中一小岛A周围38海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45，如果此船不改变航向，继续往南航行，有无触礁的危险？【解析】船继续向南航行，有无触礁的可能取决于A到直线BC的距离是否大于38海里。于是我们只要先算出AC（或AB）的大小，再算出A到BC所在直线的距离，将它与38海里比较即可得到答案。在△ABC中，BC30，30B，135ACB，∴15A，由正弦定理知：BACABCsinsin，即30sin15sin30AC∴30sin3060cos1515(62)sin15AC∴A到BC所在直线的距离为：98.40)13(1545sinAC（海里）它大于38海里，因此船不改变航向，继续往南航行，没有触礁的危险。（三）追及问题甲船在A处遇险,在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的求援信号后,测得甲船正沿着东偏北105°的方向,以每小时9海里的速度向某岛靠近.如果乙船要在40分钟内追上甲船,问乙船应以什么速度、向何方向航行?【解析】设乙船速度为v海里/时,在△ABC中,由余弦定理可知:BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB,222222()(9)102910333cos120v，∴v=21海里/时.又由正弦定理可知:BCAC=sin∠BACsinB,∴sinB=29333214213=sin120=，ACsin∠BACBC∴B≈21°47′.即乙船应按东偏北45°+21°47′=66°47′的角度以21海里/时的速度航行.