报童的诀窍

1报童的诀窍问题一报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，应该自然的假设为abc，这就是说，报童售出一份报纸赚a―b，退回一份赔b―c，报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。为了掌握需求量的随机规律，可以用收集历史资料或向其他报童调查的办法做市场预测。练习：利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？一、模型假设（1）报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，且cba（2）报纸的需求量是随机的，设在报童的销售范围内每天报纸需求量为r份的概率是)(rf二、模型建立假设每天购进量为n份，因需求量r是随机的，可以等于、小于或大于n，致使报童每天的收入也是随机的，则此模型的目标函数不能是报童每天的收入，而应该是他的长期的收入。从概率论的观点看，这相当于报童每天收入的平均值，下面简称平均收入。记报童每天购进n份报纸的平均收入为)(nG，如果这天nr，则他售出r份，退回rn份；如果nr，则n份全部售出，又需求量r的概率为)(rf，于是得到nrnrrnfbarfrncbrbanG01)()()()])(()[()(通常需求量r和购进量n都相当大，所以可以将r视为连续变量，同时将)(rf改写成概率密度)(rp，则上式变成nndrrnpbadrrprncbrbanG0)()()()])(()[()(对)(nG求导得nndrrpbadrrpcbdndG0)()()()(令0dndG，得21n0)()()()(ppcbbadrrpdrrpn2因为01)(drrp，所以上式可表示为ncabadrrp0)(满足上式中的n，即为报童平均收入最大的报纸购进量三、模型求解由题设得6.0,75.0,1cba，()500,r50Er（），不妨设报纸的需求量服从正态分布。下面用matlab求解a=1;b=0.75;c=0.6;m=500;%平均值s=50;%标准差n=norminv((a-b)/(a-c),m,s)%分位点n=515.9320symsxpr=1/(sqrt(2*pi)*s)*exp(-(x-m)^2/(2*s^2));%定义概率函数Gn=int(((a-b)*x-(b-c)*(n-x))*pr,0,n)+int((a-b)*n*pr,n,inf);%计算最大收入double(Gn)%简化结果ans=117.4161即报童获得最大收入的进报量为516份，最大收入为117元问题二假设已经得到159天报纸需求量的情况如下表：表159天报纸需求量的分布情况需求量100-119120-139140-159160-179180-199200-219220-239240-259260-279280-299天数3913223235201582表中需求量在100-119的由3天，其余类推。根据这些数据。并假定a=1，b=0.8，c=0.75，为报童提供最佳决策。求解过程对上表中需求量取均值得到其分布如下需求量110130150170190210230250270290概率3/1599/15913/15922/15932/15935/15920/15915/1598/1592/1593用matlab求出此样本的均值及方差、标准差r=[110130150170190210230250270290];%需求量p=[3/1599/15913/15922/15932/15935/15920/15915/1598/1592/159];%需求量对应概率Er=sum(r.*p)%求样本均值Er=199.4340Dr=sum(r.^2.*p)-Er.^2%求样本方差Dr=1.4984e+003s=sqrt(Dr)%求样本标准差s=38.70955此时75.0,8.0,1cba，70955.38）r（,4340.199)(rE同问题一求解如下a=1;b=0.8;c=0.75;m=199.4340;s=38.70955;n=norminv((a-b)/(a-c),m,s)n=232.0128symsxpr=1/(sqrt(2*pi)*s)*exp(-(x-m)^2/(2*s^2));Gn=int(((a-b)*x-(b-c)*(n-x))*pr,0,n)+int((a-b)*n*pr,n,inf);double(Gn)ans=37.1775所以报童获得最大收入的进报量为232份，最大收入为37.2元