第2章-完全重构滤波器组

14第二章完全重构滤波器组子波变换与多率滤波器组是有着密切的关系，Daubechies利用离散滤波器迭代的方法构造了紧支集正交子波基，从而使子波由滤波器的系数来决定，子波变换的内积运算转换为线性滤波(卷积)的运算。Mallat在多率滤波器组的基础上用多分辨率分析的概念定义子波，利用子带编码和滤波器组的概念提出Mallat算法，使得子波变换成功地应用在信号处理领域。为了叙述方便和引入子波变换的概念，首先来讨论子带编码中滤波器组的一些重要的结论。§21子带编码和滤波器组子带编码的概念可以用图2.1来解释。12编译码器编译码器编译码器分析滤波器综合滤波器¡┇┅┅┅HZ0HZ1HZnXZNNNNNGZnGZ1XZGZ0N图2.1子带编码系统信号x(n)通过一组分析滤波器组，由于要减小带宽，各滤波输出分量用一新的奈奎斯特频率重抽样，产生子带信号。各子带信号经过编码、传输，在到达目的地译码，为了重构原信号，必须恢复原带宽，对由重抽样产生的各子带信号按原输入信号的抽样频率插入零值，再经过一组综合滤波器组，将各输出的分量迭加形成重构信号。由于信号通过不同频带的滤波器，各子带信号具有不15同频率分量，在子带分析和综合中必须解决两个问题：没有混迭现象和完全重构。无混迭的完全重构意味着在没有编码损失情况下系统是位不变系统。在这种情况，也完全可能消除幅度和相位的失真，而达到完全重构。子带编码系统中要解决的问题可以归纳为各不同频带的滤波器之间在频率域上没有重叠，即各子带信号不会产生混迭现象；也即寻求各分析滤波器或综合滤波器之间的关系；产生的子带信号经过插入零值和综合滤波器滤波迭加后能否恢复原信号；也即各个子带信号能否完全重构原信号，本章将环绕这两个问题来讨论。§22双通道滤波器组的完全重构条件我们从最常用的双通道滤波器组系统讨论。图2.2所示两通道完全重构滤波器组的系统，信号x(n)(它的Z变换为X(Z))经过两通道的分析滤波器滤波产生y0和y1再隔2抽样成为分析信号。现在的问题是能否从抽样后的分析信号恢复成原信号?图2.2的重构部分是将抽样后的分析信号隔2加零后再经两通道综合滤波器滤波迭加以恢复原信号x(n)。XZHZ0HZ1y0y1sdy0y1XZGZ0GZ12222图2.2双通道完全重构滤波器组图2.2中分析时的隔2抽样和恢复重构时的隔2加零可以看成用f(n)调制，f(n)由下式给出:fnjn12111e.(2.1)现讨论系统完全重构的条件。以0通道为例。对信号隔2抽样后的信号为snynynynn0002121,(2.2)其Z变换为SZYZYZ20012(2.3)若对sn隔2填零，则其Z变换为16YZynZsnZSZnnNnnN''./000120212(2.4)由式(2.3)可知信号隔2抽样将产生混迭信号Y0(-Z)，在两样本之间插入0值，在Z变换域中相当于将Z2代替Z，在Z变换域通道0具有下列关系式:YZHZXZ00(2.5)YZHZXZHZXZ00012'(2.6)和XZHZXZHZXZGZ000012'(2.7)显然H0(-Z)X(-Z)是由(2.1)式中的ej(n-1)产生的混迭，完全重构原信号必须消除混迭部分。通道1具有相同的关系式。因而X'(Z)可写成XZHZGZHZGZXZHZGZHZGZXZ'1200110011(2.8)从(2.8)式可见，重构信号X'(Z)是原信号X(Z)和调制混迭信号X(-Z)的函数,即XZFZXZFZXZ'.01(2.9)式中FZHZGZHZGZ0001112,(2.10)FZHZGZHZGZ1001112.(2.11)由于F0(Z),F1(Z)是线性时不变系统，因此，从(2.9)式可见双通道滤波器组的完全重构的充要条件是F0(Z)是纯延迟系统，而F1(Z)等于零。将(2.10)，(2.11)式用矩阵表示式可写成:FZFZHZHZHZHZGZGZZk01010101120(2.12)或fZHZgZZmkTT0,(2.13)式中f(Z),HZmT，g(Z)是式(2.12)中相应的矢量和矩阵，T表示矩阵的转置。如取gZHZZmkTT0,(2.14)17即可满足完全重构的条件XZfZXZXZZHZHZXZXZZXZkmmk'TTT01(2.15)式中Hm(Z)是由分析滤波器H0(Z),H1(Z)组成的矩阵,称为分析滤波器矩阵，又由于含有H0(-Z)和H1(-Z)，故又称为混迭成份矩阵aliasingcomponentmatrix或系统调制矩阵modulationmatrix。HZHZHZHZHZm0011,(2.16)其行列式为HZHZHZHZHZPZPZm0101,(2.17)式中P(Z)=H0(Z)H1(-Z)，从(2.14)式可见完全重构滤波器组满足下列形式:GGCZHH0110ZZZZ(2.18)(2.18)式的重构条件不是唯一的，例如GZGZHZHZ0101(2.19)若HZZHZHZHZHZHZk121010010012,(2.20)代入(2.8)式也可得到完全重构滤波器组。又如Hm(Z)的逆矩阵为HZHZHZHZHZHZHZHZHZm1010111001(2.21)如果上式的分母即Hm(Z)的行列式为纯延迟单元，且综合滤波器组选为GZGZHZHZHZHZ01110010(2.22)代入(2.8)式可得XZPZPZXZ(2.23)系统的传递函数为Hm(Z)的行列式，如将(2.20)式代入PZPZZk221(2.24)为纯延迟单元。18表2－1为双通道常用完全重构的正交镜象滤波器组的比较。表中ALD表示混迭失真，AMD表示幅度失真，PHD表示相位失真。表2－1双通道常用完全重构的正交镜象滤波器组的比较公式(2.22)公式(2.18)滤波器间关系式H1(Z)=H0(-Z)G0(Z)=H0(Z)G1(Z)=-H0(-Z)G0(Z)=Z-LH0(Z-1)G1(Z)=Z-LH1(Z-1)H(Z)=-Z-LH0(-Z-1)L是滤波器阶数H0(Z)的相位响应线性非线性H0(Z)的其他重要特性H0(Z-1)H0(Z)是零相位FIR半带滤波器正交镜象滤波器组失真ALD抵销AMD消除APD消除ALD抵销AMD消除APD消除滤波器的符号N1=H0(Z)的长度N2=H0(Z)的长度实现整个分析／综合系统所需的单位时间的乘法次数N1(直接形式，多相位)N2(栅格式，多相位)整个分析／综合系统的群延迟N1-1N2-1§23滤波器组的多相位表示式设滤波器的多相位表示式为HZHZZHZiii02112(2.25)式中Hi0(Z2)表示只含Hi(Z)的偶标号系数(偶标号项之间为0)，Hi1(Z2)表示只含Hi(Z)的奇标号系数(奇标号项之间为0)，则HZHZHZHZHZHZHZHZHZZp()2002012102112001112111112.26)即可得多相位矩阵Hp(Z2)和分析滤波器矩阵Hm(Z)之间的关系式HZHZZpm21211111(2.27)分析滤波器矩阵和多相位矩阵的行列式之间有下列关系:HZZHZmp12(2.28)和19HZHZHZHZHZZPZPZp001101101/21/21/2(2.29)下面进一步说明用有限冲激响应(FIR)分析滤波器后随FIR综合滤波器的完全重构的充要条件。设H0(Z)和H1(Z)是分别具有长度为M0和M1的FIR滤波器PZHZHZpZiiiMM010201(2.30)则PZPZpZiiiMs2212102(2.31)当M0+M1为偶时，Ms=(1/2)(M0+M1)，当M0+M1为奇时，Ms=(1/2)(M0+M1+1)。若p2i为任意，且pikiki2101(2.32)时可得PZPZZk221()(2.33)因此完全重构充要条件是Hm(Z)的行列式detHZZmk221()(2.34)满足(2.33)式的约束的P(Z)称为有效多项式viladpolynomial。从(2.29)式可见,多相位矩阵的行列式也为一纯延迟单元，再从(2.32)式可见有效多项式P(Z)只能含有单一个非零奇项系数。从上面讨论来看,满足完全重构条件的滤波器组的设计关键在于寻找满足约束条件的有效多项式和有效多项式的分解，从而设计出分析滤波器。再由分析滤波器导出综合滤波器。§24正交镜象滤波器组(QMF)在子波分析和子波变换中通常采用下列双通道滤波器组系统如图2.3。xn()hn0hn12222gn0gn1xn20图2.3子波变换中的双通道滤波器组系统若双通道均采用偶抽样，GZGZ01,分别为¸gngn01的Z变换，则XZHZGZHZGZXZHZGZHZGZXZ'121200110111(2.35)若满足下列条件HZGZHZGZHZGZHZGZ0011001120(2.36)则系统完全重构。在正交条件下ho(n)，h1(n)组成正交滤波器组，即满足GZHZGZHZHZZHZ0011111101,(2.37)将(2.37)式代入(2.36)式，可得HZHZHZHZiiiii11201,,(2.38)将(2.37)式变换成时域为hngnhngnhnhnn001111011,,(2.39)(2.38)式表示滤波器的冲激响应h0(n)，h1(n)在偶平移处相互正交，而滤波器h0(n)，g0(n)和h1(n)，g1(n)组成镜象滤波器，把满足上述(2.38)，(2.39)式的滤波器组称为正交镜象滤波器组(QMFB)。下面再讨论双正交条件下的滤波器组，分成两种情况来讨论，第一种情况是双通道滤波后均采用偶抽样，令GZHZGZHZ0110,(2.39)同样可以满足完全重构的条件(2.34)式，转换成时域为hngngnhnnn1011011,.(2.40)上式表示分析低通滤波器和综合高通滤波器正交，综合低通滤波器和分析高通滤波器正交。现再讨论第二种情况，即一组用偶抽样，另一组用奇抽样。由于奇抽样相当于插入一个延迟单元，参照图2.2的双通道滤波器组系统，已知偶抽样时21snynynynn2121,而奇抽样时