传热学教案2

15第2章导热基本定律及稳态导热1、重点内容：①傅立叶定律及其应用；②导热系数及其影响因素；③导热问题的数学模型。2、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法3、了解内容：多维导热问题第一章介绍传热学中热量传递的三种基本方式：导热、对流、热辐射。根据这三个基本方式，以后各章节深入讨论其热量传递的规律，理解研究其物理过程机理，从而达到以下工程应用上目的：基本概念、基本定律:傅立叶定律,牛顿冷却定律,斯忒藩—玻耳兹曼定律。①能准确的计算研究传热问题中传递的热流量②能准确的预测研究系统中的温度分布导热是一种比较简单的热量传递方式,对传热学的深入学习必须从导热开始，着重讨论稳态导热。首先，引出导热的基本定律，导热问题的数学模型，导热微分方程；其次，介绍工程中常见的三种典型（所有导热物体温度变化均满足）几何形状物体的热流量及物体内温度分布的计算方法。最后，对多维导热及有内热源的导热进行讨论。§2-1导热基本定律一、温度场1、概念温度场是指在各个时刻物体内各点温度分布的总称。由傅立叶定律知：物体导热热流量与温度变化率有关，所以研究物体导热必涉及到物体的温度分布。一般地，物体的温度分布是坐标和时间的函数。即：()tfxyz，，，（2-1）式中：xyz、、为空间笛卡儿坐标；为时间坐标。2、温度场分类1）稳态温度场（定常温度场）：是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的改变而变化的温度场称稳态温度场，其表达式：()tfxyz，，（2-2）16在特殊情况下，物体的温度仅在一个坐标方向上有变化，如图1.1所示的两个各自保持均匀温度的平行平面间的导热就是一个例子。这种情况下的温度场称为一维稳态温度场。2）非稳态温度场（非定常温度场）：是指在变动工作条件下，物体中各点的温度分布随时间而变化的温度场称非稳态温度场，其表达式为式（2-1）。3、等温面及等温线1）等温面：对于三维温度场中同一瞬间同温度各点连成的面称为等温面。2）等温线（1）定义：在任何一个二维的截面上等温面表现为等温线。一般情况下，温度场用等温面图和等温线图表示。（2）等温线的特点：物体中的任何一条等温线要么形成一个封闭的曲线，要么终止在物体表面上，它不会与另一条等温线相交。（3）等温线图的物理意义：若每条等温线间的温度间隔相等时，等温线的疏密可反映出不同区域导热热流密度的大小。若t相等，且等温线越疏，则该区域热流密度越小；反之，越大。二、导热基本定律教材（1-1）、（1-2）式的适用条件：（1）一维导热（2）一块平板两侧表面温度分别维持各自均匀的温度。1、导热基本定律（傅立叶定律）1）定义：在导热现象中，单位时间内通过给定截面所传递的热量，正比例于垂直于该截面方向上的温度变化率，而热量传递的方向与温度升高的方向相反，即：tAx图2-1温度场的图示17此处，x是垂直于面积A的坐标轴。2）数学表达式：tAx（2-3）傅里叶定律用热流密度q表示为：tqx（2-4）式中：tx是物体温度沿x方向的变化率；q是沿x方向传递的热流密度（严格说热流密度是矢量，所以q是热流密度矢量在x方向的分量）。当物体的温度是三个坐标的函数时，三个坐标方向上的单位矢量与该方向上热流密度分量乘积合成一个热流密度矢量，记为q。傅里叶定律的一般数学表达式为：tqgradtnn（2-5）式中：gradt是空间某点的温度梯度；n是通过该点的等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向；q为该处的热流密度矢量。2、温度梯度与热流密度矢量的关系如图2-2（a）所示，表示了微元面积dA附近的温度分布及垂直于该微元面积的热流密度矢量的关系。1）热流线定义：热流线是一组与等温线处处垂直的曲线，通过平面上任一点的热流线与该点的热流密度矢量相切。图2-2等温线与热流线182）热流密度矢量与热流线的关系：在整个物体中，热流密度矢量的走向可用热流线表示。如图2-2（b）所示，其特点是相邻两个热流线之间所传递的热流密度矢量处处相等，构成一热流通道。三、导热系数（导热率、比例系数）1、导热系数的含义导热系数数值上等于qtnn（2-5）2、特点其大小取决于：（1）物质种类（气体液体金属）；（2）物质温度，与t间的关系，可写成：bt10其中：t——温度：b——常数；0——该直线延长与纵坐标的截距。3、保温材料（隔热、绝热材料）把导热系数小的材料称保温材料。我国规定：350pjt℃时，12.0W/(m.K)的材料称为保温材料。保温材料导热系数界定值的大小反映了一个国家保温材料的生产及节能的水平。越小，生产及节能的水平越高。我国50年代为0.23W/(m.K)，80年代GB4272-84规定为0.14W/(m.K)，GB427-92规定为0.12W/(m.K)。4、保温材料热量转移机理(高效保温材料)高温时：(1)蜂窝固体结构的导热；(2)穿过微小气孔的导热。更高温度时：（1）蜂窝固体结构的导热；（2）穿过微小气孔的导热和辐射。5、超级保温材料采取的方法：（1）夹层中抽真空（减少通过导热而造成热损失）（2）采用多层间隔结构（1cm达十几层）特点：间隔材料的反射率很高，减少辐射换热，垂直于隔热板上的导热系数可达：10－4W/(m.K)。6、各向异性材料指有些材料（木材，石墨）各向结构不同，各方向上的也有较大差别，这些材料称各向异性材料。此类材料必须注明方向。相反，称各向同性材料。192－2导热微分方程式及定解条件由前可知：（1）对于一维导热问题，根据傅立叶定律积分，可获得用两侧温差表示的导热量。（2）对于多维导热问题，首先获得温度场的分布函数()tfxyz，，，然后根据傅立叶定律求得空间各点的热流密度矢量。一、导热微分方程1、定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，称为导热微分方程。2、导热微分方程的数学表达式导热微分方程的推导方法，假定导热物体是各向同性的。1）针对笛卡儿坐标系中微元平行六面体由前可知，空间任一点的热流密度矢量可以分解为三个坐标方向的矢量。同理，通过空间任一点任一方向的热流量也可分解为x、y、z坐标方向的分热流量，如图2-3所示。①通过xx、yy、zz三个微元表面而导入微元体的热流量：x、y、z的计算式。根据傅立叶定律得：dydxztdxdzytdydzxtzyx（a）②通过dxxx、dyyy、dzzz三个微元表面而导出微元体的热流量的计算式。根据傅立叶定律得：图2-3微元平行六面体的导热分析20dzdydxztzdzzdydxdzytydyydxdydzxtxdxxzzdzzyydyyxxdxx＝＝＝＋＋＋（b）③对于任一微元体根据能量守恒定律，在任一时间间隔内有以下热平衡关系：导入微元体的总热流量+微元体内热源的生成热=导出微元体的总热流量+微元体热力学能（内能）的增量(c)其中:微元体内能的增量=dxdydztc(d)微元体内热源生成热=dxdydz(e)其中及、、c分别为微元体的密度、比热容、单位时间内单位体积内热源的生成热及时间。将式（a）、（b）、（d）、（e）代入式（c），并整理得：＋＋＋＝ztzytyxtxtc(2-7)这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式。物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。讨论：①const时：czya222222＋＝ttxtt(2-8)其中ca称扩散系数（热扩散率）。②物体内无内热源，即0＝，且const时：21222222zyattxtt＝(2-9)③若const，且属稳态，即：0＝t时：0zy222222＋ttxt(2-10)即数学上的泊松方程。该微分方程属常物性、稳态、三维、有内热源问题的温度场控制方程式。④常物性、稳态、无内热源：0zy222222ttxt(2-11)即数学上的拉普拉斯方程。2）圆柱坐标系中的导热微分方程,,rzcos,sin,xryrzzrtqr，1tqr，ztqz211ttttρcλrλλΦτrrrrzz(2-12)3）球坐标系中的导热微分方程,,rsincos,sinsin,cosxryrzrrtqr，1tqr，1sintqr2222111sinsinsinttttρcλrλλΦτrrrrr(2-13)综上说明：（1）导热问题仍然服从能量守恒定律；22（2）等号左边是单位时间内微元体热力学能的增量（非稳态项）；（3）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微分元体在单位时间内增加的能量(扩散项)；（4）等号右边最后项是源项；（5）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消失。通过导热微分方程可知，求解导热问题，实际上就是对导热微分方程式的求解。预知某一导热问题的温度分布，必须给出表征该问题的附加条件。二、定解条件1、定义：是指使导热微分方程获得适合某一特定导热问题的求解的附加条件。2、分类：1）初始条件：初始时间温度分布的初始条件；2）边界条件：导热物体边界上温度或换热情况的边界条件。说明：①非稳态导热定解条件有两个；②稳态导热定解条件只有边界条件，无初始条件。3、导热问题的常见边界条件可归纳为以下三类：1）第一类边界条件：规定了边界上的温度值,即wtconst。对于非稳态导热这类边界条件要求给出以下关系，0时,τftw1；2）第二类边界条件：规定了边界上的热流密度值；对于非稳态导热这类边界条件要求给出以下关系式：当0时，τfntλw2式中n——为表面A的法线方向。3）第三类边界条件：规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数h以及周围流体的温度ft。以物体被冷却为例：fwwtthntλ对于非稳态导热，式中h、ft均是的函数。三、有关说明1、热扩散率的物理意义23由热扩散率的定义：ca可知：1）是物体的导热系数，越大，在相同温度梯度下，可以传导更多的热量。2)ρc是单位体积的物体温度升高1℃所需的热量。ρc越小，温度升高1℃所吸收的热量越少，可以剩下更多的热量向物体内部传递，使物体内温度更快的随界面温度升高而升高。由此可见a的物理意义：①a越大，表示物体受热时，其内部各点温度扯平的能力越大。②a越大，表示物体中温度变化传播的越快。所以，a也是材料传播温度变化能力大小的指标，亦称导温系数。2、导热微分方程的适用范围1）适用于q不很高，而作用时间长。同时傅立叶定律也适用该条件。2）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适用。3）若属极低温度（接近于0K）时的导热不适用。学习了导热微分方程及边界条件后，对于导热的绝大多数问题都可以通过给出该问题的完整数学描写后进行求解，求出物体内的温度分布，进而结合傅里叶定律求出热流量或者热流密度等其它需要求解的问题。对于工程实际的一些问题，完全可以对实际问题进行适当的简化并求解，同学们要掌握解决实际问题的方法。下面通过几个例题来说明。例题1：一直径为d、长为l的圆杆，两端分别与温度为1t及2t的表面接触，杆的导热系数为常数。试对下列两种稳态情形列出杆中温度的微分方程式及边界条件，并求之：（1）杆的侧面