空间几何体的结构及其三视图和直观图复习课课件

空间几何体的结构及其三视图和直观图基础知识自主学习要点梳理1.多面体的结构特征(1)棱柱的上下底面_____，侧棱都____且_________，上底面和下底面是_____的多边形.(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个__________的三角形.平行公共顶点全等长度相等平行(3)棱台可由________________的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形_______.2.旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其_______________旋转得到.(2)圆锥可以由直角三角形绕其____________________旋转得到.(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由____________________的平面截圆锥得到.(4)球可以由半圆或圆绕其_____旋转得到.一边所在直线平行于圆锥底面一条直角边所在直线平行于棱锥底面相似直径3.空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用_______得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是_________的，三视图包括_______、_______、______.4.空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用________画法，基本步骤是：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝____________.正投影完全相同正视图侧视图俯视图斜二侧45°(或135°)(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于________________.(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度____________，平行于y轴的线段，长度变为___________.(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度______.x′轴、y′轴保持不变原来的一半不变5.中心投影与平行投影(1)平行投影的投影线____________，而中心投影的投影线__________________.(2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在______投影下画出来的图形.互相平行相交于一点平行［难点正本疑点清源］1.画空间几何体的三视图的两个步骤第一步，确定三个视图的形状；第二步，将这三个视图摆放在平面上.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.2.三视图与空间几何体中的几何量的关系空间几何体的数量关系也体现在三视图中，正视图和侧视图的“高平齐”，正视图和俯视图的“长对正”，侧视图和俯视图的“宽相等”.其中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度.要尽量按照这个规则画空间几何体的三视图.基础自测1.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是.解析设母线为l，底面半径为r，则πl＝2πr.∴rl＝12，∴母线与高的夹角为30°.∴圆锥的顶角为60°.60°2.一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的______________(填入所有可能的几何体前的编号).①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱解析①三棱锥的正视线与其中一侧面平行可以得正视图为三角形；②四棱锥，若底面是矩形，有一侧棱垂直于底面可以得正视图为三角形；③三棱柱，把侧面水平放置，正对着底，沿着一个侧面看，得正视图为三角形；④四棱柱，不论从哪个方向看都得不出三角形；⑤圆锥的底面水平放置，正视图是三角形；⑥圆柱从不同方向看是矩形或圆，不可能是三角形.答案①②③⑤3.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为．．．．：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①④解析根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，几何体的俯视图不可能是圆和正方形.B4.三视图如下图的几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台解析由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，底面为一直角梯形.B5.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()解析由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C.C题型分类深度剖析题型一空间几何体的结构特征例1设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点.其中真命题的序号是.思维启迪：利用有关几何体的概念判断所给命题的真假.解析命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的.底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的.因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的.命题④由棱台的定义知是正确的.答案①④探究提高解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可.变式训练1以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥.命题②错，因这条腰必须是垂直于两底的腰.命题③对.命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行.答案B题型二几何体的三视图例2如图，△ABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′＝32BB′＝CC′＝AB，则多面体ABC－A′B′C′的正视图是()思维启迪：选准观察的方向.解析由AA′∥BB′∥CC′及CC′⊥平面ABC，知BB′⊥平面ABC.又CC′＝32BB′，且△ABC为正三角形，故正视图应为D中的图形.D探究提高根据几何体的直观图，画三视图，要根据三视图的画法规则进行.要严格按以下几点执行：①三视图的安排位置.正视图、侧视图分别放在左、右两边，俯视图画在正视图的下边.②注意实虚线的区别.变式训练2将正三棱柱截去三个角(如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图为选项图中的()解析解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙)，可得答案A.A题型三几何体的直观图例3已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积.思维启迪：按照直观图的画法，建立适当的坐标系将三角形A′B′C′还原，并利用平面几何的知识求出相应的线段、角，求解时要注意线段和角的变化规律.解建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，在y轴上取点C使OC＝2OC′，A、B点即为A′、B′点，长度不变.已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得OC′sin∠OA′C′＝A′C′sin45°，所以OC′＝sin120°sin45°a＝62a，所以原三角形ABC的高OC＝6a，所以S△ABC＝12×a×6a＝62a2.探究提高对于直观图，除了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′＝24S，能进行相关问题的计算.变式训练3如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是.解析把直观图还原为平面图形得：直角梯形ABCD中，AB＝2，BC＝2＋1，AD＝1，∴面积为12(2＋2)×2＝2＋2.2＋2(理)题型四截面中的计算问题例4棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形(正四面体的截面)的面积.思维启迪：截面过正四面体的两顶点及球心，则必过对边的中点.解如图所示，△ABE为题中的三角形，由已知得AB＝2，BE＝2×32＝3，BF＝23BE＝233，AF＝AB2－BF2＝4－43＝83，∴△ABE的面积为S＝12×BE×AF＝12×3×83＝2.∴所求的三角形的面积为2.探究提高解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征，发挥自己的空间想象能力，把立体图和截面图对照分析，有机结合，找出几何体中的数量关系，为了增加图形的直观性，常常画一个截面圆作为衬托.变式训练4已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体ABCD—A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长.解如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和2x.∵△VA1C1∽△VMN，∴2x2r＝h－xh，∴x＝2rh2r＋2h.即圆锥内接正方体的棱长为2rh2r＋2h.易错警示13.三视图识图不准致误试题：(4分)一个空间几何体的三视图，如图所示，则这个空间几何体的表面积是.学生答案展示4π或3π＋4审题视角(1)由三视图还原成直观图，并注意数据的对应.(2)表面积包括哪些部分.解析这是一个由轴截面割开的半个圆柱与一个球的组合体，其表面积是圆柱的上下两个底面半圆、圆柱的侧面积的一半、圆柱的轴截面和球的表面积之和，故这个表面积是2×12×π×12＋12×2π×1×2＋2×2＋4π×122＝4(π＋1).正确答案4(π＋1)批阅笔记1.本题考查的是三视图和表面积计算问题.在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.2.解本题易出现的错误有：(1)还原空间几何体形状时出错，不能判断出俯视图中的半圆所对应的几何体；(2)计算表面积时漏掉部分表面，如漏掉了半圆柱的截面矩形或是漏掉了上下两个半圆等.思想方法感悟提高方法与技巧1.棱柱主要是理解、掌握基本概念和性质，并能灵活应用.2.正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形内切圆半径或外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决.3.圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截面.失误与防范1.台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行.2.掌握三视图的概念及画法在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线.在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚线.并做到“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”.3.掌握直观图的概念及斜二测画法在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”4.能够由空间几何体的三视图得到它的直观图；也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图，提升空间想象能力