复变函数期末复习课件第一章习题课

2一、重点与难点重点：难点：1.复数运算和各种表示法2.复变函数以及映射的概念1.复数方程表示曲线以及不等式表示区域2.映射的概念3二、内容提要复数复变函数极限连续性代数运算乘幂与方根复数表示法几何表示法向量表示法三角及指数表示法复球面复平面扩充曲线与区域判别定理极限的计算41.复数的概念.,,为复数或我们称对于任意两实数iyxzyixzyx,,的实部和虚部分别称为其中zyx).Im(),Re(zyzx记作;,0,0称为纯虚数时当iyzyx.,0,0xixzy我们把它看作实数时当.0,0,0zyx时当5,,222111iyxziyxz设两复数1)两复数的和).()(212121yyixxzz2)两复数的积).()(2112212121yxyxiyyxxzz3)两复数的商.222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz2.复数的代数运算64)共轭复数,zz共轭的复数记为与.,iyxziyxz则若实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.共轭复数的性质;)1(2121zzzz;2121zzzz;2121zzzz;)2(zz;)Im()Re()3(22zzzz).Im(2),Re(2)4(zizzzzz73.复数的其它表示法..,,,.),(面面叫复平这种用来表示复数的平轴叫虚轴或纵轴轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数yxyxiyxz.),(表示面上的点可以用复平复数yxiyxz),(yxxyxyoiyxz（1）几何表示法8（2）向量表示法.,,,来表示也可用向量复数因此平面向量成一一对应的指向点与从原点复数在复平面上OPziyxzz),(yxPxyxyoiyxzrz复数的模(或绝对值),的模或绝对值向量的长度称为z.22yxrz记为9模的性质,zx,zy,yxz.22zzzz;)1(2121zzzz.)2(2121zzzz三角不等式复数的辐角.,0,0而辐角不确定时当zz.0有无穷多个辐角任何一个复数z,1是其中一个辐角如果的全部辐角为那么z).(π2Arg1为任意整数kkz.Arg,,,0zzOPzz记作的辐角称为为终边的角的弧度数的向量以表示以正实轴为始边的情况下在10.arg,Argππ,)0(000zzz记作的主值称为的把满足的辐角中在.0,0,,0,0,arctan,0,0,2,0,arctanargyxyxxyyxxxyz辐角的主值0z)2arctan2(xy其中辐角的主值11（3）三角表示法利用欧拉公式,sincosiei复数可以表示成irez称为复数z的指数表示式.（4）指数表示法利用直角坐标与极坐标的关系,sin,cosryrx复数可以表示成)sin(cosirz124.复数的乘幂与方根1)乘积与商两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.,sin(cos1111）若irz,sin(cos2222）irz)]sin()[cos(21212121irrzz.ArgArg)(Arg2121zzzz则有13几何意义复数相乘就是把模相乘,辐角相加.,2倍再把它的模扩大到r从几何上看,两复数对应的向量分别为,,21zz,21旋转一个角按逆时针方向先把z.21zzz就表示积所得向量2oxyr2r1r2z11zz14两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.,1212zzzz.ArgArgArg1212zzzz的指数形式分别为和设复数21zz,111ierz.)(121212ierrzz则,222ierz,sin(cos1111）若irz,sin(cos2222）irz则有152)幂与根(a)n次幂:,,nznzzn记作次幂的的乘积称为个相同复数.个nnzzzz.)sin(cos,ninrznnn有对于任何正整数.1,nnzzn有为负整数时.ArgArg,znzzznnn因而有16.sincos)sin(cosninin.,(c)为已知复数其中的根计算方程zwzwnnkinkrzwnnπ2sinπ2cos1)1,,2,1,0(nk(b)棣莫佛公式.,,个顶点边形的的圆的内接正为半径个值就是以原点为中心的在几何上nnrnznn175.复球面与扩充复平面南极、北极的定义,0的球面点取一个与复平面切于原z,与原点重合球面上一点S,NS点直线与球面相交于另一作垂直于复平面的通过.,为南极为北极我们称SNxyPNOS(1)复球面18球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.我们规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作.因而球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面.复球面的定义19包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.对于复数来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.:的四则运算规定如下关于)(,:)(加法a)(,:)(减法b)0(,:)(乘法c)0(,0),(,,0:)(除法d(2)扩充复平面的定义206.曲线与区域（1）邻域.:)(,000的邻域内部的点的集合称为的圆为半径任意的正数为中心平面上以zzzz.000的去心邻域所确定的点的集合称为不等式zzz（2）内点.,,.,000的内点称为那末于该邻域内的所有点都属的一个邻域存在如果中任意一点为为一平面点集设GzGzGzG21如果G内每一点都是它的内点,那末G称为开集.(4)区域如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(a)D是一个开集；(b)D是连通的,即D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.(3)开集22(5)边界点、边界设D是复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总有D中的点,这样的P点我们称为D的边界点.(7)有界区域和无界区域.,,0,,界的否则称为无称为有界的那末点都满足使区域的每一个即存在为中心的圆里面点可以被包含在一个以原如果一个区域DMzMDD的所有边界点组成D的边界.(6)区域D与它的边界一起构成闭区域.闭区域23.)()(,)()(:的起点和终点分别称为与为一条连续曲线设CbzazbtatzzC.)(,)()(,,121212121的重点称为曲线点时而有当与的对于满足Ctztztzttttbtabta没有重点的曲线C称为简单曲线(或若尔当曲线)..,)()(,为简单闭曲线那末称即的起点和终点重合如果简单曲线CbzazC(8)简单曲线24(9)光滑曲线.0,])([])([,,)()(,22称这曲线为光滑的那末有的每一个值且对于都是连续的和上如果在tytxttytxbta由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.简单闭曲线的性质25(10)单连通域与多连通域复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕的域.267.复变函数的概念(1)复变函数的定义).(),(,,,,.zfwzwivuwzGiyxzG记作复变函数简称的函数是复变数那末称复变数之对应与就有一个或几个复数每一个复数中的对于集合按这个法则个确定的法则存在如果有一的集合是一个复数设:)(相当于两个关系式之间的关系自变量与复变函数zfwzw).,(),,(yxvvyxuu27).()(*)()(,,或变换的映射函数值集合平面上的一个点集变到定义集合一个点集平面上的把在几何上就可以看作是数那末函的值平面上的点表示函数另一个平面而用的值平面上的点表示自变量如果用GwGzzf.,,,,,的点集之间的对应关系上必须看成是两个复平面的几何图形表示出来因而无法用同一平面内之间的对应关系和由于它反映了两对变量对于复变函数yxvu(2)映射的定义28函数极限的定义.)()(0,)0()(,0,,0)(0000时的极限趋向于当为那末称时有使得当相应的必有一正数对于任意给定的存在如果有一确定的数内的去心邻域定义在设函数zzzfAAzfzzAzzzzfw))((.)(lim00AzfAzfzzzz或记作注意:.0的方式是任意的定义中zz8.复变函数的极限29.),(),(,),(),()(的极限问题和函数转化为求两个二元实变的极限问题该定理将求复变函数yxvyxuyxivyxuzf极限计算的定理.),(lim,),(lim)(lim,,),,(),()(000000000000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyxuzfyyxxyyxxzz的充要条件是那末设30).0()()(lim(3);)]()([lim(2);)]()([lim(1),)(lim,)(lim00000BBAzgzfABzgzfBAzgzfBzgAzfzzzzzzzzzz那么设与实变函数的极限运算法则类似.极限运算法则31（1）连续的定义.)(,)(.)(),()(lim000内连续在我们说内处处连续在区域如果处连续在那么我们就说如果DzfDzfzzfzfzfzz.,)()(lim)(000CzzfzfzCzfzz处连续的意义是上在曲线函数9.复变函数的连续性32.)()()((a)000处仍连续在不为零分母在积、商的和、差、和连续的两个函数在zzzgzfz.)]([,)()(,)((b)0000连续处在那末复合函数连续在函数连续在如果函数zzgfwzghhfwzzgh.),(),(),(:),(),()(00000处连续在和连续的充要条件是在函数yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf连续的充要条件连续的性质33,)(2210nnzazazaazPw有理整函数(多项式);都是连续的对复平面内的所有点z有理分式函数,)()(zQzPw,)()(都是多项式和其中zQzP特殊的:在复平面内使分母不为零的点也是连续的.34三、典型例题求证是两个复数设,,21zz例1.)2);Re(2)12121212221221zzzzzzzzzz)1证))((2121221zzzzzz))((2121zzzz21122211zzzzzzzz)(21212212zzzzzz).Re(2212212zzzz35),Re(2)1)2212221221zzzzzz知由2122212212zzzzzz又2122212zzzz,2212221zzzz),Re(2121zzzz因为36)Re(2212221zzzz所以.221221zzzz即.,2121zzzz得两边开方其几何意义是三角形任意一边的长不小于其它两边边长之差的绝对值.,2212221zzzz37.11,1:,1000zzzzzz则若