大学高等数学-18对坐标曲面积分-高斯公式-斯托克斯公式-习题课

第五节一、有向曲面及曲面元素的投影二、对坐标的曲面积分的概念与性质三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲面积分第十章一、有向曲面及曲面元素的投影•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)机动目录上页下页返回结束其方向用法向量指向方向余弦coscoscos0为前侧0为后侧封闭曲面0为右侧0为左侧0为上侧0为下侧外侧内侧•设为有向曲面,,)(yxSSyxS)(侧的规定•指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影记为的面积为则规定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定zxyzSS)(,)(机动目录上页下页返回结束二、对坐标的曲面积分的概念与性质1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面的流量.S分析:若是面积为S的平面,则流量法向量:流速为常向量:nv机动目录上页下页返回结束对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”ni10lim0limni1iiiiPcos),,(iiiiRcos),,(0limni1iiiiQcos),,(iS对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin设,则机动目录上页下页返回结束设为光滑的有向曲面,在上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,ni1xziiiiSQ))(,,(分,yxRxzQzyPdddddd记作P,Q,R叫做被积函数;叫做积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场)),,,(),,,(),,,((zyxRzyxQzyxPA若对的任则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义.机动目录上页下页返回结束引例中,流过有向曲面的流体的流量为zyPdd称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;yxRdd称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;yxRxzQzyPdddddd若记正侧的单位法向量为令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS)),,(,),,(,),,((zyxRzyxQzyxPA则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式机动目录上页下页返回结束3.性质(1)若之间无公共内点,则(2)用ˉ表示的反向曲面,则SAdiSAdyxRxzQzyPddddddSnAdSAd机动目录上页下页返回结束三、对坐标的曲面积分的计算法定理:设光滑曲面取上侧,是上的连续函数,则yxzyxRdd),,(),,(yxDyxR),(yxzyxdd证:0limni1yxiS)(yxi)(∵取上侧,),(iiiz0limni1),,(iiRyxi)(yxx,yzyxRyxDdd))(,,(yxzyxRdd),,(机动目录上页下页返回结束•若则有zyzyxPdd),,(),(zy,PzyD),(zyxzydd•若则有xzzyxQdd),,()z,,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后负)(右正左负)说明:如果积分曲面取下侧,则yxzyxRdd),,(),,(yxDyxR),(yxzyxdd机动目录上页下页返回结束例1.计算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中是以原点为中心,边长为a的正立方体的整个表面的外侧.解:利用对称性.原式yxxzdd)(3的顶部),(:2221aaayxz取上侧的底部),(:2222aaayxz取下侧yxxz2dd)(yxxayxDdd)2(yxDyxadd3xzy机动目录上页下页返回结束解:把分为上下两部分2211:yxz根据对称性0ddyxxyz思考:下述解法是否正确:例2.计算曲面积分,ddyxxyz其中为球面2x外侧在第一和第八卦限部分.ozyx112yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zy机动目录上页下页返回结束yxDyxyxyxdd1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinozyx112yxDyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd)1(22yxyxDyxxydd221yxddrr机动目录上页下页返回结束例3.设S是球面的外侧,计算SxxzyI2cosdd2解:利用轮换对称性,有0cosddcosdd22SSzyxyxzSzzyxI2cosdd102221cos1drrrr102221cos1d4rr1tan4zzyx2cosdd,cosdd22Szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx20d22机动目录上页下页返回结束四、两类曲面积分的联系ni1zyiiiiSP))(,,(xziiiiSQ))(,,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR))(,,(0lim0limni1SRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻画机动目录上页下页返回结束令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量形式),,,(RQPA)cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnSSAdnAAnSnAd(A在n上的投影)机动目录上页下页返回结束例4.位于原点电量为q的点电荷产生的电场为解:Srqd2SRqd2。q求E通过球面:r=R外侧的电通量.SEdSnEdSrrdrrq3机动目录上页下页返回结束yxz111例5.设是其外法线与z轴正向夹成的锐角,计算解:SzIdcos2rrrd)1(d21020yxDyxyxdd)1(22n机动目录上页下页返回结束221cosyxx例6.计算曲面积分其中解:利用两类曲面积分的联系,有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosoyxz2∴原式=)(x)(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.)(2xz2211cosyx机动目录上页下页返回结束)(xxyxD222)(41yxoyxz2原式=)(2221yxyxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入将,)(2221yxz机动目录上页下页返回结束内容小结定义:Szyxfd),,(iiiniiSf),,(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),,(lim10yxiiiiSR),,(1.两类曲面积分及其联系xziiiiSQ),,(••机动目录上页下页返回结束性质:yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd联系:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾?两类曲线积分的定义一个与的方向无关,一个与机动目录上页下页返回结束2.常用计算公式及方法面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不同时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(4)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化机动目录上页下页返回结束当时，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1)),(,,(d),,(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd)),(,,(dd),,(（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在yoz面及zox面上的二重积分转化公式.机动目录上页下页返回结束思考与练习1.P167题2提示:设则取上侧时,yxDyxyxRdd),,(0取下侧时,yxDyxyxRdd),,(02.P184题13.P167题3(3)机动目录上页下页返回结束是平面在第四卦限部分的上侧,计算zyxzyxfIdd),,(yxzzyxfdd),,(提示:求出的法方向余弦,转化成第一类曲面积分P167题3(3).设作业P1673(1),(2),(4);4(1),(2)SzyxId)(31Sd31yxxd3d01103121第六节目录上页下页返回结束,ddddddzyxyxzxzyI备用题求1:222222czbyax取外侧.解:zyxdddxdycyxDbyax,2222111dxdycyxDbyax,2222111,sin,cosrbyraxddddrrbayxrrrabcd1d21022021ccba4注意±号1:2222,byaxDyx其中机动目录上页下页返回结束zyxdd21ccba4利用轮换对称性xzydd21acba4yxzdd21bcba4222111cbacbaI4机动目录上页下页返回结束第六节Green公式Gauss公式推广一、高斯公式*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件三、通量与散度机动目录上页下页返回结束高斯公式通量与散度第十章一、高斯(Gauss)公式定理1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲上有连续的一阶偏导数,yxRxzQzyPddddddzyxzRdddyxRdd下面先证:函数P,Q,R在面所围成,的方向取外侧,则有(Gauss公式)高斯目录上页下页返回结束231zyxyxD),,(yxRyxyxRdd),,(,),(:11yxzz证明:设,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRddyxD2zyxzRdddyxdd13yxRdd为XY型区域,),,(:22yxzz则yxyxRdd),,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd),,(),(1yxz定理1目录上页下页返回结束所以zyxzRdddyxRdd若不是XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证zyxyQdddyxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPdddxzQddzyxxPdddzyPdd三式相加,即得所证Gauss公式：定理1目录上页下页返回结束例1.用Gauss公式计算其中为柱面闭域的整个边界曲面的外侧.解:这里利用Gauss公式,得原式