第1章集合与简易逻辑

1第一章集合与简易逻辑考点解读考点内容解读浙江省五年高职考统计常考题型20112012201320142015集合的概念○1了解集合的含义、元素与集合的属于关系○2能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题○3理解子集与真子集的的概念，理解集合相等的含义，并能正确运用符号表示集合与集合的关系○4在具体情境中，了解全集与空集的含义22选择题集合的运算○1理解两个集合的并集与交流的含义，会求两个简单集合的并集与交集○2理解在给定集合中一个子集的含义，会求给定子集的补集322选择题充要条件○1了解命题的概念，会判断命题的真假○2理解充分条件、必要条件、充要条件的意义、会判断所给的条件是充分条件、必要条件，还是充要条件2222选择题分析解读集合与简易逻辑在近几年高职考中以选择题和填空题为主，主要考查：1．集合元素特征：确定性、互异性、无序性.22．两类关系：元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系.3.集合的交、并、补运算.4.与不等式相联系，考查学生对集合的概念，运算知识的把握及数形结合的能力.5.以集合为载体考查方程、函数、几何等新概念知识，体现集合的工具性.6.以函数、不等式、三角、解析几何等知识为载体，考查充要条件，起到了对学生的数学思想、数学方法和数学能力进行综合考查的作用.思维导图考点1集合的概念知识要点1.集合的有关概念（1）集合是，组成集合的对象叫做这个集合的(2)集合中的元素的三个特征是、、和.(3)集合按元素的个数可分为集和集.(4)_____________________叫做空集，记住.（5）集合的表示方法有、和图示法（即维恩图法）三种.（6）常用的数集符号：数集名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.元素与集合的关系：（1）子集：元素与集合的关系是或，分别用符号或表示．3.集合与集合的关系：（1）子集：集合A是集合B的子集，记作：AB或BA，其定义是：集合A的元素都是集合B的元素。（2）相等集合：集合A等于集合B，记住：AB，其定义是：集合A的元素是都是集合B的元素，且集B的元素都是集合A的元素，即A⊆B，3且B⊆A⇔A=B.(3)真子集：集合A是集合B的真子集，记作：A_______B或B_______A，其定义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，且，即A⊆B，且A≠B⇔AB(或BA)4.常用结论（1）若集合A中有n（n∈N+）个元素，则A的子集有________个，真子集有_________个，非空真子集有____个（2）∅是任何集合的_____,是任何非空集合的_______.基础过关1．下列各对象不可以组成集合的是（）A．某学校计算机教室中的所有计算机B．某学校素质好的学生全体C．某菜地里的所有黄瓜D．某学校所有女教师2.已知集合M={x|-2x1}，则下列关系正确的是（）A．5MB.0MC.1MD.21M3．已知P={菱形}，T={正方形}，M={平行四边形}，则P,T,M三者关系正确的是()A.MPTB.PTMC.TPMD.MTP4．若集合A={0，1，2x-5x﹜，且-4∈A，则实数x的值为()A.1B.4C.1或4D.365.下列表述正确的是（）A.00,1B.00C.0,1D.06.用适当的符号填空（1）0﹛0﹜；(2)0∅；(3)﹛0﹜∅(4)a﹛a，b﹜；（5）﹛a﹜﹛a，b﹜；（6）﹛1，-1﹜﹛x|2x=1﹜典例剖析【例1】在下列命题中，其中真命题的个数是（）（1）∅=﹛0﹜；（2）∅⊆﹛0﹜；（3）若集合M=﹛a，b，c﹜，N=﹛a，c，b﹜，则M=N；（4）若集合A=﹛y|y=2x-1，x∈R﹜，B=﹛（x，y）|y=2x-1，x∈R﹜，则A=B；（5）若a=5，集合M=﹛x|o≤x2﹜，则aM4A．1个B.2个C.3个D.4个思路点拨：本题主要考查元素与集合，集合与集合之前的关系，特别是元素与空集、空集与一般集合的关系,由于空集中不含任何元素，而集合{0}中有一个元素0，所以（1）是假命题，（2）是真命题；根据集合中元素的无序性，所以（3）是真命题；（4）中A表示函数y=2x-1的值域，即y≥-1，该集合是个数集，而集合B表示由抛物线y=2x-1上的所有点组成的集合，是个点集，故A≠B，所有（4）是假命题；（5）元素与集合的关系应用符号“∈”或“∉”来表示，所有（5）是假命题.综上所述，（2）（3）是真命题．【变式训练1】⑴方程组0432534yxyx的解集为（）（A）（4，3）（B）3,4（C）)3,4(（D）)4,3(⑵用适当的方法表示下列集合：①方程260xx的解集；③不大于3的正实数构成的集合【例2】设全集U=R，则下列正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|2x+x=0}的关系图是（）A.B.C.D．【分析】本题主要考查用图示法表示集合与集合之间的关系.集合N={x|x²+x=0}={-1,0}，而M={-1,0,1}，故N不等于M.【变式训练2】设全集U=R,则下列正确表示集合M={-1,0}和N={x|2x+x=0}的关系图是A.B.C.D.【关键点拨】用图示法表示集合与集合之间的关系.【例3】集合}3|){(NyNxyxyx，，，有________个真子集．思路点拨：该集合是个点集，首先改用列举法表示该集合，有四个元素；然后按照元素个数分类写出真子集．【变式训练3】已知集合},,,,{dcbaM则含有元素a的所有真子集个数有A．5个B．6个C．7个D．8个5例4⑴已知2x0,1,x，求实数x的值．⑵已知集合A=﹛x｜–3x1﹜，B=﹛x｜x＞a﹜，满足A⊆B，求a的取值范围.【关键点拨】本题考查重点是元素与集合的关系及集合中元素的特征，从2x是集合0,1,x中的一个元素为切入点，注意集合中元素的三要素。变式训练4：⑴设-3∈{a-2,22a+5a,12}，求a．⑵已知集合A={x|x2}，B={x|xk}，若A⊆B，则k的范围是．【例5】已知集合A={x|a2x-3x+2=0，x∈R}，且集合A中元素至多有一个，求实数a的取值范围。【关键点拨】集合A中的元素即为方程的解，所以求集合中元素个数问题实际上是求方程解得个数问题，已知A中元素至多只有一个，即方程有唯一解或无解。【变式训练5】已知集合A{x|a2x-4x+2=0，x∈R}，若集合A至少有一个元素，求实数a的取值范围。【关键点拨】因为集合A中元素的个数是方程解得个数，所以求集合中元素的个数问题可转化为求方程解得个数问题。回顾反思1.集合的表示方法中，首先要弄清构成集合的元素是什么，有几个，然后再具体求解。2.要正确地区分元素与集合、集合与集合之间的关系，特别是元素与空集与一般集合的之间的关系。3.由于集合问题大多与函数、方程或不等式相关，因此要注意相关知识的融会贯通。目标检测一、选择题1.若M={x|x≤5}，且a=2，则下列关系式中正确的是（）A.a⊆MB.aMC.{a}∈MD．{a}⊆M2.已知集合{1,,}ab，则下列命题正确的是（）6A.abB.abC.1bD.1a3.已知A={1，2，3，4}，B={（x，y）|x∈A,y∈A,x-y∈A}；则B中元素的个数为（）A．10B．6C．3D．14.已知集合M=032xxx，下列结论正确的是（）A．集合M中共有2个元素B．集合M中共有2个相同的元素C．集合M中共有1个元素D．集合M为空集5.已知集合A={x|2x+px+q=0}且-2∈A，1∈A，则p，q的值分别为（）A．1,2B.1，-2C.∅D.{-1,4}6．已知集合},,,,{dcbaM则含有元素a和b的所有子集个数有()A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题7.用适当的符号填空：（1）0_______N;(2)21______Z;(3)N+_______R;(4){x|2x4,x∈Z}______{-1,0,1}8.若集合A={x|2x-6x-70，x∈Z}，则用列举法可以表示为________.9.写出集合2{320}xxx的所有真子集.10．集合sin,2kPxxkZ的列举法为．三.解答题11.已知集合A={x|a2x+3x+1=0}中有且只有一个元素，求由实数a组成的集合.12.若，求2016a+2017b的值.能力提升13．已知0,1,2A0,1,2,3,4,5，求满足条件的集合A的个数.14.已知集合A={x|-1≦x3}，B={x|xa}，若AB，求实数a的取值范围．15．已知集合M={x|2x+2x-3=0}，N={x|mx-1=0}，若NM，求实数m的取值．15.解：M={1，-3}，当N=Φ，即m=0时，NM；当N={1}时，m=1；当N={-3}7时，m=-31，m={0,1,-31}．13.解法一：∵0,1,2A，∴A中必有0,1,2.又∵A是0,1,2,3,4,5的真子集，∴满足条件的集合A有0,1,2,0,1,2,3，0,1,2,4，0,1,2,5，0,1,2,3,4，0,1,2,3,5，0,1,2,4,5，共7个.解法二：∵求A的集合个数即为求3,4,5的真子集个数∴A的非空子集个数为321=7.考点2集合的运算知识要点1.给定两个集合A与B，由___________的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记住AB.用性质描述法可表示为{x|______}.2.给定两个集合A与B，由___________的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作AUB.用性质描述法可表示为{x|__________}.3.如果集合A是全集U的一个子集，有__________的元素组成的集合叫做A在U中的补集，记作UCA.用性质描述法可表示为UCA={x|_________}.4.常用结论：（1）A∩A=_____,A∩=________=AUA=_______AU∅=______,AUCA=_______,AUUCA=________,CU(UCA)=________.(2)A⊆B⇔AB=______,A⊆B⇔AUB______.基础过关1.设全集U=R，若A={x|x3}，则UCA等于（）A.{x|x3}B.{x|x≥3}C.{x|x3}D.{x|x≤3}2．设全集U={1,2,3,4，5,6}，若A={2,3},B={1,4},则集合{5,6}等于（）8A．AUBB.ABC.UC(A并B)D.UC(AB)3.满足条件0,1P的集合P共有（）A.0个B.1个C.2个D.无数个4.若集合A={x|x≥0}，B{x|x1}，则AUB等于（）A.∅B.RC.{x|0≤x1}D.{x|x1或x0}5.已知3a，2xxA，则下列结论成立的是()A．aAB．aAC．aAD．aAA6.若A={x|x5}，B={x|x≥0}，则AB=_______,AU（UCB）=_______.典例剖析【例1】设全集U={x|0x11，x∈N}，已知A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7}．⑴求UCA∩B，UC（A∪B）；（2）若集合MUA=A，求满足条件的集合M的个数。【思路点拨】⑴要注意运算顺序，第1问应先求UCA，后求交集；第2问应先求并集，再求补集.⑵由MUA=A知，M⊆A,问题实质上是求集合A的子集的个数．【解】（1）UCA={5，6，7，8，9，10}，UCA∩B={5，6，7}；A∪B={1，2，3,4,5,6,7}，UC（A∪B）={8，9，10}．（2）（2）∵M∪A=A，∴M⊆A,∴实质上是求集合A的子集的个数，即共有24=16（个）.【变式训练1】设全集U={1,2,3,4,5,6}，已知集合S={1,4,5}，T={2,3,4}，则S∩（UCT）等于（）A.{1,4,5,6}B.{1,5,}C.{4