挑战江苏高考数学填空压轴题pdf

1“挑战”高考填空压轴题睢宁县古邳中学苗勇“压轴”原本是戏曲名词，我们不去考证其准确的含义.这里的所谓“高考填空压轴题”，特指在江苏08年以来高考模式下填空题的第13,14题，由于高考选拔的需要和题目所处的位置，第13,14题往往难度较大，常在知识的交汇处命题，涉及的知识点更多，对能力的要求更强，需要学生有更好的数学素养，学生更不容易得分.能否解答或顺利解答填空“压轴题”，对优生和“边缘生”有着特别重要的意义，一方面，做对能使高考总分绝对增加，另一方面如果能顺利完成这两题，对学生的应试心理会产生积极的影响，学生就会有更多的时间解答其他题目，就会更好的解决其他问题.一、学生“挑战”失败原因分析：1.知识层面的原因.相关知识的掌握，是学生解决数学问题的根本，不具备相关数学知识，数学解题就成了“无源之水”.例1(08年江苏高考13)若2,2ABACBC，则ABCS的最大值解答本题一般是联想三角形面积公式1sin2ABCSABACA，将三角形面积表示为边的函数，此方法思路自然，但解答繁琐.本题的另一种解法就是以AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则(1,0),(1,0)AB，设(,)Cxy，由2ACBC可得2222(1)2(1)xyxy，化简得22(3)8xy，即C在以（3，0）为圆心，22为半径的圆上运动.又1222ABCccSAByy，从而得三角形面积最大值为22.有人提出，此解法虽然简单，但不易想到，这就说明不能用此法解题正是知识储备不2足的原因导致.此题在教材中是有原型的(见苏教版必修2第100页：已知点(,)Mxy与两个定点O（0,0）和A（3,0）与的距离的比为12，那么M点坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M所形成的曲线).一般的，平面内到两定点,AB的距离之比为常数(0,1)的动点M的轨迹是一个圆.这个轨迹最先是由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的的，故一般称为阿波罗尼斯圆.高考和各类模拟考试也经常以此为背景进行命题.链接1(13年江苏高考17)在平面直角坐标系xOy中，点03A,，直线24lyx：.设圆的半径为1，圆心在l上.(1)略；(2)若圆C上存在点M，使2MAMO，求圆心C的横坐标a的取值范围.分析：显然若仅考虑条件2MAMO，点M的轨迹的一个圆(阿波罗尼斯圆)，则在圆C上存在点M使2MAMO，等价于此圆与圆C有公共点，从而转化为圆与圆的关系问题.链接2（15年高考湖北理14）如图，圆C与x轴相切于点(1,0)T，与y轴正半轴交于两点,AB（B在A的上方），且2AB．（Ⅰ）圆C的标准．．方程为；3（Ⅱ）过点A任作一条直线与圆22:1Oxy相交于,MN两点，下列三个结论：①NAMANBMB；②2NBMANAMB；③22NBMANAMB．其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）（Ⅱ）分析：易求出(0,21)A，(0,21)B，然后可求出圆22:1Oxy上任意一点P满足21PAPB，即21NAMANBMB，从而知①②③都正确.2.解题策略的层面的原因.有些数学问题，若从常规解法入手，虽能解答，但可能过程繁琐，解题长度过大，造成“隐性失分”，如果能掌握一定的解题策略，则可事半功倍.例2(08年江苏高考14题)3()31fxaxx对于1,1x总有()0fx成立，则a=.分析：()0fx恒成立min()0fx，1,1x，22()333(1)fxaxax，若要判断函数单调性，需分0,0,0aaa进行讨论，并且还可能进行二级分类，比较繁琐，另外一种解法是分离参数，但要对x进行分类讨论，也较繁琐.有一种解题策略就比较巧妙，先利用必要条件缩小参数取值范围，从而减少分类.解：由题意可得(1)04fa，(1)02fa，当24a时，()0fx，11xa，21xa，1210,01xx，所以()fx在1[1,]a和1[,1]a上单调递增，在11(,)aa上单调递减，所以min1()min{(1),(}fxffa(1)400411()120faafaa4在前面的解法中，我们先由(1)0,(1)0ff得()0fx在[1,1]上恒成立的必要条件24a，从而先缩小参数取值范围，使讨论情况在大为减少，不失为一种重要的解题策略.更有甚者，再由1()042fa，便可“夹逼”出的4a.有人说，这里的12似是“帽子里蹦出个兔子”，此解法实属巧合，其实不然，画一下函数3yax和31yx的图象就知道12怎么来的了.3.思想方法层面的原因.没有思想，就没有方向，思想是“内功心法”，方法是“一招一式”，没有思想方法，“挑战”就容易失败，缺乏必要的思想方法的引领，问题就难以解决.例3（13年江苏高考13）平面直角坐标系xOy中，设定点),(aaA，P是函数)0(1xxy图像上一动点，若点AP,之间最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为.解析：第一步，将几何问题转化为代数问题，设001(,)Pxx，0(0)x，则有222220002000112()()22aPAxaaxaxaxxx，第二步，换元转化为二次函数问题，令02012xtx，则22222000011()2()22222PAxaxatataxx此时已转化为我们熟悉的问题：求函数22()222gttata在[2,)上的最小值.数学思想中，最重要的转化与化归的数学思想，一个数学问题的解决过程，实际上就是对这个问题不断转化的过程，直到转化为熟悉的问题或已解决的问题为止.4.能力层面的原因.数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理能力.填空压轴题，由于难度相对较大，对学生的能力提出了更高的要求.例4(09年江苏高考13)．如图，在平面直角坐标系xoy中，1212,,,AABB为椭圆22221(0)xyabab的四个顶点，F为其右焦点，直线12AB与直线1BF相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.本题思路较为简单，用,,abc表示交点T，得出M坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率，但真正能做出正确的结果则需要学生有较强的运算能力.例5（09年江苏高考14）设na是公比为q的等比数列，||1q，令1(1,2,)nnban若数列nb有连续四项在集合53,23,19,37,82中，则6q.xyA1B2A2OTM5解析：问题转化为等比数列{}na有连续四项在集合54,24,18,36,81中，又知等比数列各项符号只有4种情况，全正，全负，正负相间或负正相间，所以等比数列{}na的四项在集合中选取时，必需把两个负数选上，而且数列中这两个数之间有一个正数，又由||1q，得2549244q，所以32q，所以69q.本题计算量不大，甚至口算即可，能否解决取决于考生是否具有较强的推理论证能力.5.心理层面的原因.平时教学中，有部分老师经常给学生灌输这样的思想：填空题的压轴题，不是给我们一般学生做的，那是给考清华、北大的学生做的，考试时看一下题目，若没有什么思路，还是放弃吧，以便争取更多时间解决其他问题”.这样长期下去，就会给学生造成一种心理暗示“题目难，我不行”，以致于学生可能解决的问题而得不到解决.其实不完全如此，填空“压轴题”不是如此之难，有些还相对简单.例6(14高考江苏14)若ABC的内角满足sin2sin2sinABC，则cosC的最小值是解析：第一步利用正弦定理，由sin2sin2sinABC得22abc，第二步利用余弦定理得222cos2abcCab，第三步消去c得22312422cos2ababCab，第四步应用不等式得62cos4C.本题虽涉及知识较多，但基本上熟悉问题，和平时所做题目相似度较高，解决起来还是相对容易一些的，中等以上学生基本上可以正确解答，轻易放弃，实是可惜.例7(15年江苏高考14)设向量(cos,sincos)666kkkka，0,1,2,,12k，则1110()kkkaa的值为本题在知识上考查了平面向量的数量积和两角和与差的正弦、余弦两个C级考点，看似难度很大，实际上我们只要返璞归真，用最原始的方法，便可一招致胜.解析：计算1kkaa后必然要降幂升角，所以1kkaa是关于k的周期为6的函数，所以1110112233445560()2()kkkaaaa+aa+aa+aa+aa+aa，6而0(1,1)a，1331(,)22a，2131(,)22a，3(0,1)a，4131(,)22a，5331(,)22a，6(1,1)a，所以0133122aa，2123(31)44aa，23312aa，34312aa，2453(31)44aa，5633122aa，011223344556932aa+aa+aa+aa+aa+aa，所以1110()93kkkaa高考，不仅是知识和能力的较量，也是毅力和耐心的比拼，非智力因素有时也起着重要的作用.本题的很多解法，可能要用到两角和与差的三角函数公式，积化和差公式等，但都仍计算繁琐，都不能迅速有效解决问题.上面解法“似拙实妙”，事实证明，倒不如这样老老实实计算.二、教学建议1.加强C级考点和学科主干知识的教学.通过对近几年“填空压轴题”的归类分析，我们会发现考查的知识是以主要还是C级考点或数学学科的主干知识.例如09年，11年，13年都考查了等差等比数列，08年，10年，14年，15年都考查了函数与导数，两角和与差的正弦余弦，一元二次不等式和基本不等式都是重点考查内容.例8（14年江苏高考13）已知)(xf是定义在R上且周期为3的函数,当)3,0[x时，|212|)(2xxxf,.若函数axfy)(在区间]4,3[上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.解析：作出函数的简图，由图象分析可得10,2a.例9(15年江苏高考13)已知函数()|ln|fxx，20,01,()|4|2,1,xgxxx则方程7|()()|1fxgx实根个数为解析：|()()|1fxgx()1()gxfx，作出函数()ygx和1()yfx的图象（如图）考察交点的个数为4，，方程|()()|1fxgx实根个数为4.以上两题突出考查了函数与方程的学科主干知识，数形结合，转化与化归的数学思想，推理与论证的思维能力.从考查知识和方法上如出一辙.2.落实数学思想方法的渗透．教学中，我们经常将四大数学思想挂在嘴角边（分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归），这些数学思想在解题中的应用能否落到实处，这还是一个问题.高考中突出数学思想方法的考查的考题，比比皆是.例10(12江苏高考14)已知正数abc，，满足：4ln53lnbcaacccacb≤≤≥，，则ba的取值范围是．解：由453bcaca≤≤得，435baaccc≤≤，由lnlnacccb≥得lnabcc≥即acbec，设,bayxcc，则有4530,0,xyxyxyexy这个不等式组表示的平面区域是图中的曲边三角形ABC及其内部，其中17(,)22A，byax表示区曲边三角形ABC及其内部的动点(,)Pxy与原点连线的斜率，经验证，当点P和点A重合时，yx最大，其值为7，当直线与曲边BC相切时，yx最小，此是yex，所以ba的取值范围是[,7]e例11（11年江苏高考14）设集合},,)2(2|),{(222RyxmyxmyxA,AxyOBC8},,122|),{(Ryx