概率与数理统计第5章大数定律及中心极限定理习题及答案

41第5章大数定律与中心极限定理一、填空题：1.设随机变量)(E，方差2)(D，则由切比雪夫不等式有}|{|3P91.2.设n,,,21是n个相互独立同分布的随机变量，),,,(,)(,)(niDEii218对于niin1，写出所满足的切彼雪夫不等式228nDP)(}|{|，并估计}|{|4Pn211.3.设随机变量129,,,XXX相互独立且同分布,而且有1iEX,1(1,2,,9)iDXi,令91iiXX,则对任意给定的0,由切比雪夫不等式直接可得9XP291.解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X满足：()EX与2()DX都存在,则对任意给定的0,有22{||}PX,或者22{||}1.PX由于随机变量129,,,XXX相互独立且同分布,而且有1,1(1,2,9),iiEXDXi所以999111()()19,iiiiiEXEXEX9992111()()19.iiiiiDXDXDX4.设随机变量X满足：2(),()EXDX,则由切比雪夫不等式,有{||4}PX116.解：切比雪夫不等式为：设随机变量X满足2(),()EXDX,则对任意的0,有22{||}.PX由此得221{||4}.(4)16PX425、设随机变量2)(,)(,DE，则}|{|2P43.6、设n,,,21为相互独立的随机变量序列，且),,(21ii服从参数为的泊松分布，则}{limxnnPniin1xtdte2221.7、设n表示n次独立重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的概率，则}{baPn)1()1(2221pnpnpbpnpnpatdte.8.设随机变量n,服从二项分布(,)Bnp,其中01,1,2,pn,那么,对于任一实数x,有lim{|||}nnPnpx0.9.设12,,,nXXX为随机变量序列,a为常数,则{}nX依概率收敛于a是指aXPnnlim,01,或aXPnnlim,00。10.设供电站电网有100盏电灯,夜晚每盏灯开灯的概率皆为0.8.假设每盏灯开关是相互独立的,若随机变量X为100盏灯中开着的灯数,则由切比雪夫不等式估计,X落在75至85之间的概率不小于259.解：()80,()16EXDX,于是169(7585)(|80|5)1.2525PXPX二．计算题：1、在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件A发生的次数在450至550次之间的概率.解：设X表示1000次独立试验中事件A发生的次数，则250)(,500)(XDXE}50|500{|}550450{XPXP9.02500250150)(1}50|)({|2XDXEXP432、一通信系统拥有50台相互独立起作用的交换机.在系统运行期间,每台交换机能清晰接受信号的概率为0.90.系统正常工作时,要求能清晰接受信号的交换机至少45台.求该通信系统能正常工作的概率.解：设X表示系统运行期间能清晰接受信号的交换机台数,则~(50,0.90).XB由此P(通信系统能正常工作)(4550)PX45500.9500.950500.9500.90.1500.90.1500.90.1XP(2.36)(0)0.99090.50.4909.3、某微机系统有120个终端,每个终端有5%的时间在使用,若各终端使用与否是相互独立的,试求有不少于10个终端在使用的概率.解：某时刻所使用的终端数~(120,0.05),6,5.bnpnpq7由棣莫弗－拉普拉斯定理知106{10}11(1.67)0.0475.5.7P4、某校共有4900个学生,已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为0.1,问阅览室要准备多少个座位,才能以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位.解：设去阅览室学习的人数为,要准备k个座位.~(,),4900,0.1,49000.1490,bnpnpnpnpq49000.10.944121.04900490{0}2121knpnpkPknpqnpq490490(23.23)0.99.2121kk查(0,1)N分布表可得4902.3263,212.3263490538.852321kk539.要准备539个座位,才能以99%的概率保证每个去阅览室学习的学生都有座位.445．随机地掷六颗骰子，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于9且不超过33点的概率。解：设表示六颗骰子出现的点数总和。i，表示第i颗骰子出现的点数，i=1，2，…，61，2，…，6相互独立，显然ii16235211235449621612765432161222DEDEii12339Epp131Ep9.03383511691D6.设随机变量n,,,21相互独立，且均服从指数分布0000xxexfx)(为使10095101111nkknP，问：n的最小值应如何？解:EDkk112,21211111,11nDnnDnEnkknkknkk由切比雪夫不等式得101111nkknP,1009510111101112211nnEnPnkknkk即110095100nn,从而n2000，故n的最小值是20007．抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品次品率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9?45解：设n为至少应取的产品数，X是其中的次品数，则)1.0,(~nbX，9.0}10{XP，而9.0}9.01.01.0109.01.01.0{nnnnXP所以1.0}09.01.0109.01.01.0{nnnnXP由中心极限定理知，当n充分大时，有1.0)3.01.010(}09.01.0109.01.01.0{nnnnnnXP，由1.0)3.01.010(nn查表得28.13.01.010nn147n8．(1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，又知为使系统正常运行，至少必需要有85个元件工作，求系统的可靠程度(即正常运行的概率)；(2)上述系统假设有n个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系统正常运行，问n至少为多大时才能保证系统的可靠程度为0.95?解：(1)设X表示正常工作的元件数，则)9.0,100(~bX，9901009.01.01009.010099085{}85100{}85{XPXPXP}31039035{XP由中心极限定理可知))35(1()310()35()310(}85{XP95.0)35(1)35()310((2)设X表示正常工作的元件数，则)9.0,(~nbXnnnnXnnPnXnPnXP3.02.01.09.09.03.01.0{)8.0()8.0(}3.09.03{}323.09.03{nnXnPnnnXnP95.0)3()3(1nn353n25n469．一部件包括10部分，每部分的长度是一随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学期望为2mm，均方差为0.05mm，规定总长度为200.1mm时产品合格，试求产品合格的概率。已知：(0.6)=0.7257；(0.63)=0.7357。解：设每个部分的长度为Xi(i=1,2,…,10)E(Xi)=2=,D(Xi)=2=(0.05)2,依题意，得合格品的概率为102010101..iiXP6302100501831630101.)(...iiXP63.00263.063.022221221dtedtett4714.017357.02121263.022dtet10．计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是相互独立的随机变量，并且都在区间[0.5，0.5]上服从均匀分布，求1200个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率。已知：(1)=0.8413；(2)=0.9772。解：设1，2，，n表示取整误差,因它们在[0.5，0.5]上服从均匀分布，故有EDinii011212,,,,,根据同分布的中心要极限定理，得1211200010121120001211200010101200112001iiiiPP112112000112001iiP=(1)(1)=2(1)1=20.84131=0.682611．将一枚硬币连掷100次，试用隶莫佛--拉普拉斯定理计算出现正面的次数大于60的概率。已知：(1)=0.8413；(2)=0.9772；当x4,(x)=1。解：设为掷100次中出现正面的次数，它服从二项分布B(100，12)47这里npnpq1001250501225,由隶莫佛--拉普拉斯定理，得2550100255025506010060PP210105502P查N(0，1)分布函数表，得P{60100}=10.977=0.023.12.有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯.如果从中挑4杯,能将甲种酒全部挑出来,算是成功一次.(1)某人随机地去猜,问他成功一次的概率是多少？(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒.他连续试验10次,成功3次.试推断他是猜对的,还是他确有区分的能力(各次试验是相互独立的).解：(1)设A={试验成功一次},则有4448C1().C70PA(2)设X：试验10次成功的次数,则1~10,.70XB由于373410169(3)C3.163310.7070PX因此随机事件3X是一个小概率事件,根据“小概率事件在一次试验中是不大可能发生的”的原理,随机事件3X是不大可能发生的,但它却发生了,因此我们要以断定此人确有区分酒的能力.13.保险公司新增一个保险品种：每被保险人年交纳保费为100元,每被保险人出事赔付金额为2万元.根据统计,这类被保险人年出事概率为0.0005.这个新保险品种预计需投入100万元的广告宣传费用.在忽略其他费用的情况下,一年内至少需要多少人参保,才能使保险公司在该年度获利超