时间序列复习

.Word文档资料考试题型：填空题2*5，计算题6*10，叙述题：1*10，案例分析题1*15，证明题1*5熟悉书上基本知识点！计算题和案例分析主要分布在书上第三章、第四章和第五章，尤其是第三章。以书上例子和课后习题为本！类似书上第9题1.（10分）已知MA(2)模型：120.70.4ttttX，（1）计算自相关系数(1)kk；（2）计算偏相关系数(1,2,3)kkk；解：（1）1212[0.70.4)(0.70.4)]ttkttttktktkEXXE（所以：2220120,(1)k，211121,(),k2122,k，3,0kk，所以：112122120.591,2222120.241,0,3kk.（2）1110即111，所以110.59.当2k时，产生偏相关系数的相关序列为2122{,}，相应Yule-Walker方程为：0121110222,所以220.166.当3k时，产生偏相关系数的相关序列为313233{,,}，相应Yule-Walker方程为：123111132221333111,所以330.047.类似书上第3题2.（10分）已知AR(2)模型为(10.5)(10.3)ttBBX，20.5tD.（1）计算偏相关系数(1,2,3)kkk;（2）()tVarX.解（1）11(10.5)(10.3)0.80.15tttttBBXXXX,.Word文档资料所以：120.8,0.15,对于(2)AR模型其系数满足11111212110.8110.15，所以:1120.695651和212220.406521,1110即111,1110.69565.当2k时,产生偏相关系数的相关序列为2122{,},相应Yule-Walker方程为:0121110222,所以12211112[(1)(1)][1(1)]0.14999,对于()ARp模型其偏相关系数具有以下特点:1,01jkjjpkppjk,所以，2220.15，330.(2)1122()()ttttttttEXXEXXXXX,011221122[()]ttttrrrEXX21122rr,101rr，202rr.因120.8,0.15，20.5a，10.69565，20.40652.所以：0()0.99116tVarX.3.检验下列模型的平稳性与可逆性，其中t为服从正态分布的白噪音。(1)t2-t1-ttx2xx(2)2t1tt2t1-tt5.06.14x.18x.0x解：AR（p）模型平稳性的特征根判别法要求所有特征根绝对值小于1,.Word文档资料AR（1）模型平稳性的平稳域判别法要求1||1,AR（2）模型平稳性的平稳域判别法要求：1,1||122.(1)特征方程为:2,1,0)2)(1(02212即,由特征根判别法：非平稳；或11,13,12||12122不小于,平稳域判别法：非平稳。又为AR模型，故可逆。(2)12.28.04.116.04.18.014.14.112122，所以模型非平稳；11.16.15.011.26.15.015.05.012122，所以模型不可逆，综上，该模型非平稳、不可逆。4、设一元时间序列}{tX服从如下的AR(2)模型ttttXXX215.0其中1090.3,0.2,XXt为服从正态分布的白噪音，1.0)(1Var，试求：(1)判断}{tX是否平稳的，说出理由。(2)计算未来二期的预测值和预测误差的方差及预测值95%的预测区间（96.1975.0）(3)计算一阶、二阶和三阶的自相关函数值解：(1)AR(2)模型的滞后多项式为25.01)(BBB由0)(B，可得方程的两个根为iB11，iB12，1||1B，1||2B.Word文档资料所以}{tX是平稳的序列。或者特征根方法。(2)基于AR(2)模型的预测公式知2.01.03.05.0)1(91010XXX05.015.02.05.0)1()2(101010XXX对应的预测误差为01G1101GG所以预测误差的方差为22100var((1))0.1eG2221001var((2))(GG)0.2e由)1.0,0(~)1(10Ne，)2.0,0(~)2(10Ne知预测值95%的预测区间分别为1.0*96.12.0，2.0*96.105.0即第11期和12期的预测值95%的预测区间分别为]82.0,42.0[，]93.0,83.0[(3)根据已知的AR(2)模型，可推出自相关函数满足215.0lll，2l由11，10知3/21，6/12，6/135、设一元时间序列}{tX服从如下的AR(2)模型ttXBB)3.01)(5.01(其中B为滞后算子，2.0,1.099100XX，t为服从正态分布的白噪音，1.0)(1Var，试求(1)如果AR(2)模型用ttttXXX2211形式表示时，则系数21,.Word文档资料为多少，并判断}{tX的平稳性，说出理由。(2)计算未来二期的预测值和预测误差的方差及预测值95%的预测区间（96.1975.0）(3)计算一阶、二阶和三阶的自相关函数值解：(1)根据滞后算子的定义1ttXBX，我们有ttttXXX2115.08.0AR(2)模型的滞后多项式为215.08.01)(BBB由0)(B，可得方程的两个根为10/31B，22B，1||1B，1||2B所以}{tX是平稳的序列。(1)基于AR(2)模型的预测公式知10010099ˆ(1)0.80.150.080.030.05XXX100100100ˆˆ(2)(1)0.150.040.0150.025XXX对应的预测误差为01G1101GG所以预测误差的方差为22100var((1))0.1eG2221001var((2))(GG)0.164e由)1.0,0(~)1(100Ne，100(2)~(0,0.164)eN知预测值95%的预测区间分别为0.051.96*0.1，0.0251.96*0.164(2)根据已知的AR(2)模型，可推出自相关函数满足2115.08.0lll，2l.Word文档资料由11，10知116/230.696，41.02，223.036、设一元时间序列}{tX服从如下的ARMA(1,1)模型ttttXX116.08.0其中01.0,3.0100100X，t为服从正态分布的白噪音，0025.0)(1Var，试求：(1)判断}{tX是否平稳的，说出理由。(2)把ARMA(1,1)模型表示为)(MA的形式。(3)给出下期的预测值，预测误差和误差的方差及预测值95%的预测区间（96.1975.0）。解：(1)ARMA(1,1)模型的自回归滞后多项式为BB8.01)(由0)(B，可得方程的1个根为14/51B所以}{tX是平稳的序列。(2)ttBXB)6.01()8.01(ttBBBX)8.08.01)(6.01(22tBBB)8.0*6.08.0*6.06.01(322jtjjt118.0*6.0(3)基于ARMA(1,1)模型的预测公式知234.0006.024.06.08.0)1(100100100XX由于011011,0.80.60.2GGG所以预测误差的方差为.Word文档资料221000[(1)]0.0025VareG由100(1)~(0,0.0025)eN知一步预测值95%的预测区间分别为0.2341.96*0.0025即第101期的预测值95%的预测区间为]332.0,136.0[。7、设一元时间序列}{tX满足如下方程tttXX1其中,00X为已知常数，t为服从正态分布的白噪音，21)(Var，试求(1)判断}{tX是否平稳的，说出理由。(2)定义1ttttXXXY，判断}{tY是否平稳的，说出理由。(3)计算tX的l阶自协方差函数。(4)计算tX与1tX的自相关函数。解：(1)根据关系式tttXX1知ttXtX210所以tXEt][知，期望为关于时间t的函数，所以}{tX是非平稳的序列。(2)由}{tY的定义知，)0(~MAYtt所以}{tY平稳。(3)根据ttXtX210知22121)(),(),(ltCovXXCovlttltt.Word文档资料(4)显然2)(tXVart，对0l，2122(1)1(X,X)(1)ttttCorttt。8、考虑一强平稳的ARCH(1)过程如下,tttX和21102ttX其中t为服从)1,0(N分布的白噪音，常数00，)3/3,0(1，记),,,,(11XXXttt，试计算：(1)2()tEX；(2)对1k，(|)tktVarX；(3)把2tX表示AR(1)模型的形式；(4)4()tEX。解：(1)根据强平稳性，对上述方程两边取期望，并利用t和t的独立性知：)()()(211022tttXEEXE，可推出：1021}(tXE。(2)当1k时，1tX的条件方差为：2101(|)tttVarXX，记)|(ˆ11tttXVarX，22011ˆ(|)tttVarXX，所以，一般地有2011ˆ(|)tkttkVarXX。其中)|(ˆ121tktktXVarX。(3)记)1(22ttt，则有：.Word文档资料222222]1)1[(tttttttX由21102ttX即知：21102tttXX这为AR(1)模型的表示形式。(4)由t为服从)1,0(N分布的白噪音知，44()3()ttEXE，而)()(2)(412110204tttXEXEE，所以)1)(31()1(3)(1201204tXE。9、考虑一强平稳的GARCH(1，1)过程如下：tttX和21121102tttX其中t为服从)1,0(N分布的白噪音，常数00，01，记),,,,(11XXXttt，试计算：(1)2()tEX；(2)对1k，(|)tktVarX；(3)把2tX表示ARMA模型的形式；(4)4()tEX。解：(1)根据强平稳性，对上述方程两