2019版数学浙江省学业水平考试专题复习必修4-§4

知识点一向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0知识点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0知识点三共线向量定理及平面向量基本定理1．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.2．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．知识点四平面向量的坐标运算1．向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.3．向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.题型一向量有关概念辨析例1下面关于向量的叙述，正确的是________．(填序号)①任一向量与它的相反向量不相等；②四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB→＝DC→；③一个向量方向不确定当且仅当模为0；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．答案②③解析①不正确．零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．②③正确．④不正确．如图AC→与BC→共线，虽然起点不同，但其终点却相同．感悟与点拨向量是既有大小又有方向的量，且平移不变，所以在判断有关向量的命题时，一定要紧扣三点：(1)大小，(2)方向，(3)可平移．跟踪训练1(1)如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1＋3e2与6e2＋2e1(2)给出下列命题：①若a≠b，则a一定不与b共线；②若AB→＝DC→，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；③若向量a与任一向量b平行，则a＝0；④若a＝b，b＝c，则a＝c；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确的命题是________．(填序号)答案(1)D(2)③④解析(1)选项A中，设e1＋e2＝λe1，则1＝λ，1＝0，无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则λ＝1，－2＝2λ，无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则λ＝1，1＝－λ，无解；选项D中，e1＋3e2＝12(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．(2)①两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；②AB→＝DC→，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；③零向量的方向是任意的，与任一向量平行，③正确；④a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，④正确；⑤若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立，故⑤不正确．题型二平面向量线性运算例2(1)在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若点D满足BD→＝2DC→，则AD→等于()A.23b＋13cB.53c－23bC.23b－13cD.13b＋23c(2)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝13BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设BA→＝a，BC→＝b，则EF→＝________，DF→＝________，CD→＝________.(用向量a，b表示)答案(1)A(2)13b－a16b－aa－23b解析(1)∵BD→＝2DC→，∴AD→－AB→＝BD→＝2DC→＝2(AC→－AD→)，∴3AD→＝2AC→＋AB→，∴AD→＝23AC→＋13AB→＝23b＋13c.(2)EF→＝EA→＋AB→＋BF→＝－16b－a＋12b＝13b－a，DF→＝DE→＋EF→＝－16b＋13b－a＝16b－a，CD→＝CF→＋FD→＝－12b－16b－a＝a－23b.感悟与点拨(1)解此类题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．跟踪训练2(1)如图所示，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF→等于()A.12AB→－13AD→B.14AB→＋12AD→C.13AB→＋12DA→D.12AB→－23AD→(2)设D为△ABC所在平面内一点，AD→＝－13AB→＋43AC→，若BC→＝λDC→(λ∈R)，则λ等于()A．2B．3C．－2D．－3答案(1)D(2)D解析(1)在△CEF中，有EF→＝EC→＋CF→.∵点E为DC的中点，∴EC→＝12DC→.∵点F为BC的一个三等分点，∴CF→＝23CB→.∴EF→＝12DC→＋23CB→＝12AB→＋23DA→＝12AB→－23AD→.(2)∵D为△ABC所在平面内一点，AD→＝－13AB→＋43AC→，∴AD→－AC→＝－13(AB→－AC→)，即CD→＝－13CB→，∴BC→＝－3DC→，则λ＝－3.题型三共线向量定理的应用例3设a，b是两个不共线的非零向量．(1)若AB→＝－a＋b，BC→＝2a＋tb，CD→＝2018a－2b，且A，B，D三点共线，则t＝________；(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，则实数k＝________.答案(1)－2018(2)±4解析(1)AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(－a＋b)＋(2a＋tb)＋(2018a－2b)＝2019a＋(t－1)b，因为A，B，D三点共线，所以AB→与AD→共线．所以AD→＝μAB→(μ为实数)，即2019a＋(t－1)b＝μ(－a＋b)，解得μ＝－2019，t＝－2018.(2)因为8a＋kb与ka＋2b共线，所以存在实数λ使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.因为a与b是两个不共线的非零向量，所以8－λk＝0，k－2λ＝0，解得λ＝±2，所以k＝2λ＝±4.感悟与点拨(1)三点共线问题，可用向量共线来解决，应注意向量共线与三点共线的区别和联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)当两向量共线时，要注意待定系数法和方程思想的运用．跟踪训练3(1)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(y,1)，若a∥b，则实数x，y一定满足()A．xy－1＝0B．xy＋1＝0C．x－y＝0D．x＋y＝0(2)已知向量OA→＝(1，－3)，OB→＝(2，－1)，OC→＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．答案(1)A(2)k≠1解析(1)平面向量a＝(1，x)，b＝(y,1)．若a∥b，则xy＝1，即xy－1＝0.(2)若点A，B，C能构成三角形，则向量AB→，AC→不共线．因为AB→＝OB→－OA→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC→＝OC→－OA→＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，所以1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.一、选择题1．给出下列说法：①若向量a与向量b不平行，则a与b的方向一定不相同；②若向量AB→，CD→满足|AB→||CD→|，且AB→与CD→同向，则AB→CD→；③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行，其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．4答案A解析②两向量不能比较大小，故不正确；③a与b长度相等，但方向不定，故不正确；④规定0与任意向量平行，故不正确．2．已知D是△ABC的边AB的中点，则向量CD→等于()A．－BC→＋12BA→B．－BC→＋12AB→C.BC→－12BA→D.BC→＋12BA→答案A解析因为CD→＝CB→＋BD→，CB→＝－BC→，BD→＝12BA→，所以CD→＝－BC→＋12BA→.3．已知向量a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，则下列结论正确的是()A．向量a的终点坐标为(－2,3)B．向量a的起点坐标为(－2,3)C．向量a与b互为相反向量D．向量a与b关于原点对称答案C4．(2018年6月学考)已知向量a＝(x,1)，b＝(2，－3)，若a∥b，则实数x的值是()A．－23B.23C．－32D.32答案A5.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则AF→＋BD→等于()A.FD→B.FC→C.FE→D.BE→答案D6．下列式子中，不能化简为AD→的是()A．(AB→＋CD→)＋BC→B．(AD→＋MB→)＋(BC→＋CM→)C.OC→－OA→＋CD→D.MB→＋AD→－BM→答案D解析A中，(AB→＋CD→)＋BC→＝AC→＋CD→＝AD→；B中，(AD→＋MB→)＋(BC→＋CM→)＝AD→＋(MB→＋BC→＋CM→)＝AD→＋(MC→＋CM→)＝AD→；C中，OC→－OA→＋CD→＝AC→＋CD→＝AD→；D中，MB→＋AD→－BM→＝AD→＋2MB→，故选D.7．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，AB→＝a，AD→＝b，则BE→等于()A．－12a－bB．－12a＋bC.12a－bD.12a＋b答案B解析由题意可得BE→＝BA→＋AD→＋DE→＝－a＋b＋12a＝b－12a.8．已知点A2，－12，B12，32，则与向量AB→同方向的单位向量是()A.35，－45B.－35，45C.45，－35D.－45，35答案B解析∵AB→＝－32，2，∴|AB→|＝－322＋22＝52.∴与向量AB→同方向的单位向量为AB→|AB→|＝25－32，2＝－35，45.9．若向量a＝(3,4)，且存在实数x，y，使得a＝xe1＋ye2，则e1，e2可以是()A．e1＝(0,0)，e2＝(－1,2)B．e1＝(－1,3)，e2＝(2，－6)C．e1＝(－1,2)，e2＝(3，－1)D．e1＝－12，1，e2＝(1，－2)答案C解析根据平面向量基本定理知e1，e2不共线．对于A，e1为零向量，e1，e2共线；对于B，e2＝－2e1，e1，e2共线；对于C，e1＝(－1,2)，e2＝(3，－1)，∴－1×(－1)－2×3＝－5≠0，∴e1与e2不共线，即该选项正确；对于D，e2＝－2e1，∴e1，e2共线．10．已知a＝(1,2＋sinx)，b＝(2，cosx)，c＝(－1,2)，(a－b)∥c，则锐角x等于()A．45°B．30°C．15°D．60°答案A解析由题意得a－b＝(－1,2＋sinx－cosx)，再由(a－b)∥c可得－