日常教学融入数学史的教学案例

日常教学融入数学史的教学案例一、数学实验安排学生按照书本给的提示，亲自体验一下一个轨迹的产生。同桌互助学习：“取一条定长的细绳，把它的两端固定，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉直，使笔尖在图板上慢慢移动，画出的轨迹是什么?”并请两组同学到黑板上作图。[设计意图]活用课本上的情景，学生亲自体验一下轨迹的产生。二、引入正题过渡语句：“虽然我们所做的图形大小不同，却有一定的相似，那么有哪些相似的地方呢？我们来思考两个问题。”（1）这些轨迹上的点有什么共同的特征？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？[设计意图]对表象抽丝剥茧，为研究其本质降低坡度。三、给出定义过渡语言：“这个图形就是我们称为椭圆，大家能否根据它的图象特征试着给出椭圆的定义”例如“到两定的距离之和是个常数的点的轨迹叫椭圆”尝试补充：引导给出“平面内”，“常数”，“常数两点距离”，等重要的细节。补充思考：“如果常数等于两点距离会是什么样的几何图形？（线段）常数小于两点距离会是什么样的几何图形？（没有几何图形）”最后给出正确的定义：平面内与两个定点F1F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆(ellipse)。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。[设计意图]：不直接给出定义，让学生体会定义的产生过程，了解椭圆的几何特征。追问：生活中有没有见到类似椭圆形状的物体?[通过现实图象加深椭圆的印象]四、追溯历史过渡语言：“那有没有同学知道椭圆是怎么发现的呢？历史上又是谁最先研究的它的呢？”早在公元前四世纪，以梅内克缪斯，阿波罗尼奥斯，阿基米德等为代表的古希腊数学家就已经发现并研究椭圆，他们用一个垂直于侧棱的平面去截圆锥（如图所示）发现了椭圆。阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》更是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的简单的一些几何性质网罗殆尽。但椭圆有什么用，它还有什么特殊的几何特征这些重要的问题当时的人们却没有答案。这样的情况持续了近两千年。直到1637年，笛卡儿发表了《几何学》，提出研究曲线的方程来研究曲线的性质！椭圆的研究才得以继续。今天我们将沿着前人的足迹，利用我们前面知识来求一下椭圆的方程。[设计意图]承上启下，与曲线与方程联系起来。钓起学生的胃口，也为为什么要研究椭圆的标准方程做了铺垫，顺带引出课后探索--“为什么圆锥的截口曲线是椭圆？”。五、方程研究根据求曲线的方程的步骤求椭圆的方程，适当予以说明。1.建系设点以两焦点所在直线为x轴，以两焦点的中垂线为y轴建立坐标系；如此建系有什么好处呢？设轨迹上任意一点M(x,y)2.找出条件设点F1(-c,0),F2(c,0),设点M到两焦点距离之和为常数2a(为什么是2a呢?等我们推导完后再回头处理这个问题)2222222222222222222...........(1)...........(2)(2)44...(3)(2)...(4)(3)()()xcyadxcyadcxadxcyadacxayaac22由(1)由(1)代入(4)得3.列出方程由|MF1|+|MF2|=2a代如得2222()()2xcyxcya4.化简方程[学生进行计算]方案一：方案二：22222222224222222222222222()()2444()()2()()()xcyxcyacxaaxcyacxaxcyacxacxaxcayacxayaac[设计意图]以非常规推导激发学生思维，给予学生正确引导，拓展学生的能力。5.找寻b找出线段长为22,,acac的线段吗？令22bac那么式子就变为：222210xyabab把这个式子称为椭圆的标准方程（为什么开始要设2a？！）注意：（1）此方程表示的椭圆的焦点在x轴上；（2）我们没有证明“以满足方程的解为坐标的点都在椭圆上”；（3）不同的建系方式，求出的椭圆方程是不同的；[设计意图]根据教学要求，突显b的出现，为下一节的几何性质奠定基础。6.其他建系情况思考题：如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别为（0，-c）,(0,c),a,b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？只需将x，y互换即可得22221(0)yxabab两种形式的标准方程的比较：222222221010xyyxabababab与椭圆的焦点在x轴上—→椭圆标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上—→椭圆标准方程中y2项的分母较大．[设计意图]根据教学要求，使学生充分认识到建系对方程的影响。六、知识巩固例：求适合下列条件的椭圆的标准方程．两个焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0）并且经过点53(,)22，求它的标准方程根据定义及标准方程易得221106xy。[设计意图]可用定义求a，c,再求标准方程，亦可直接设标准方程，代点求系数。yxF1OF2M七、课后探索1.课堂总结：(略)2.课后探索：你能否根据椭圆的定义去证明梅内克缪斯发现的截口曲线是椭圆？探究与发现“为什么截口曲线是椭圆”[设计意图]活用课后探索，使得课本中的内容发挥最大的效用，并与课上椭圆历史的讲解相呼应，引起学生探索未知的欲望。