一元二次方程的解法归纳总结

第1页一元二次方程的解法归纳总结一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法.在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法.我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解.一、直接开平方法解形如px2（p≥0）和cbax2（c≥0）的一元二次方程,用直接开平方法.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤:（1）把一元二次方程化为px2（p≥0）或cbax2（c≥0）的形式;（2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程;（3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.注意:（1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解;（2）对于一元二次方程px2,当0p时,方程无解;（3）对于一元二次方程cbax2:①当0c时,一元二次方程有两个不相等的实数根;②当0c时,一元二次方程有两个相等的实数根;③当0c时,一元二次方程没有实数根.例1.解下列方程:（1）022x;（2）081162x.分析:观察到两个方程的特点,都可以化为px2（p≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.第2页解:（1）22x2x∴2,221xx;（2）1681,811622xx491681x∴49,4921xx.例2.解下列方程:（1）0932x;（2）092122x.分析:观察到两个方程的特点,都可以化为cbax2（c≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.解:（1）932x33x∴33x或33x∴0,621xx;（2）92122x4312922x∴23432x∴232x或232x∴232,23221xx.习题1.下列方程中,不能用直接开平方法求解的是【】（A）032x（B）0412x（C）022x（D）2221x习题2.若41222yx,则22yx_________.第3页习题3.若ba,为方程1142xx的两根,且ba,则ba【】（A）5（B）4（C）1（D）3习题4.解下列方程:（1）16822x;（2）642392x.习题5.解下列方程:（1）09142x;（2）4312xx.习题6.对于实数qp,,我们用符号qp,min表示qp,两数中较小的数,如12,1min.（1）3,2min_________;（2）若1,1min22xx,则x_________.习题7.已知直角三角形的两边长yx,满足091622yx,求这个直角三角形第三边的长.（注意分类讨论第三边的长）第4页二、因式分解法因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:（1）移项把方程的右边化为0;（2）化积将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;（3）转化令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;（4）求解解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.例1.用因式分解法解方程:xx32.解:032xx03xx∴0x或03x∴3,021xx.例2.用因式分解法解方程:01212xxx.解:0211xxx011011xxxx∴01x或01x∴1,121xx.例3.解方程:121232xx.解:0121232xx023044322xxx∴221xx.例4.解方程:332xxx.解:0332xxx0310131xxxxx∴01x或03x第5页∴3,121xx.因式分解法解高次方程例5.解方程:0131222xx.解:031122xx0221104122xxxxxx∴01x或01x或02x或02x∴2,2,1,14321xxxx.例6.解方程:0343222xx.解:043322xx0113013222xxxxx∵032x∴011xx∴01x或01x∴1,121xx.用十字相乘法分解因式解方程对于一元二次方程002acbxax,当acb42≥0且的值为完全平方数时,可以用十字相乘法分解因式解方程.例7.解方程:0652xx.分析:124256452,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式.解:032xx∴02x或03x∴3,221xx.第6页例8.解方程:03722xx.分析:25244932472,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式.解:0312xx∴012x或03x∴211x,32x.例9.设方程012012201420132xx的较大根为a,方程0201220112xx的较小根为b,求ba的值.解:012012201420132xx0120131011201301201320130112013120132013222222xxxxxxxxxx∴01x或0120132x∴22120131,1xx∵a是该方程的较大根∴1a0201220112xx020121xx∴01x或02012x∴2012,121xx∵b是该方程的较小根∴2012b∴201320121ba.第7页习题1.方程xx22的根是__________.习题2.方程022xxx的根是__________.习题3.方程0442xx的解是__________.习题4.方程232xxx的解是__________.习题5.如果0211xxx,那么x的值为【】（A）2或1（B）0或1（C）2（D）1习题6.方程xxx2的根是__________.习题7.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程0862xx的根,则该三角形的周长为__________.习题8.解下列方程:（1）xxx2223;（2）1232xx;（3）222344xxx;（4）2422xx.习题9.解下列方程:（1）0322xx;（2）0452xx.第8页习题10.解方程:01122122xx.三、配方法解用配方法解一元二次方程02cbxax0a共分六步:一移、二化、三配、四开、五转、六解.（1）一移把常数项移到方程的右边,注意变号;cbxax2（2）二化在方程的左右两边同时除以二次项系数a,化二次项系数为1;acxabx2（3）三配即配方,把方程的左边配成完全平方的形式,需要在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方;22222abacabxabx222442aacbabx（4）四开直接开平方;aacbabx2422（注意:当acb42≥0时方程有实数根）（5）五转把第（4）步得到的结果转化为两个一元一次方程;aacbabx2422或aacbabx2422（6）解解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.aacbbxaacbbx24,242221.说明:由上面配方的结果可以确定一元二次方程有实数根的条件和求根公式:第9页一元二次方程02cbxax0a有实数根的条件是acb42≥0,求根公式为:aacbbx242.例1.用配方法解方程:0142xx.解:142xx5252414422xxxx∴52x或52x∴52,5221xx.例2.解方程:03232xx.分析:按照用配方法解一元二次方程的一般步骤,在移项之后,要化二次项系数为“1”.解:3232xx910319119132132222xxxxx31031x∴31031x或31031x∴31031,3103121xx.例3.用配方法解关于x的方程:02qpxx（qp42≥0）.解:qpxx224244244222222qppxqppxpqppxx第10页∴242,24222qppxqppx∵qp42≥0∴24,242221qppxqppx.说明:qp42≥0既是二次根式qp42有意义的条件,也是一元二次方程02qpxx有实数根的前提.因此把qp42叫做一元二次方程02qpxx的根的判别式.习题1.用配方法解方程0142xx,配方后的方程是【】（A）322x（B）322x（C）522x（D）522x习题2.若方程082mxx可以通过配方写成62nx的形式,那么582mxx可以配成【】（A）152nx（B）12nx（C）1152nx（D）112nx习题3.用配方法解方程:（1）012xx;（2）01632xx;（3）0652xx;（4）011242xx.第11页四、公式法一元二次方程的求根公式一元二次方程02cbxax（0a）的求根公式为:aacbbx242（acb42≥0）当042acb时,一元二次方程无实数根.例1.证明一元二次方程的求根公式.分析:用配方法可以证明一元二次方程的求根公式.证明:02cbxaxaacbabxaacbabxabacabxabxacxabxcbxax2424424422222222222∴aacbabx2422或aacbabx2422∴aacbbxaacbbx24,242221即一元二次方程02cbxax（0a）的根为aacbbx242（acb42≥0）.注意:当acb42≥0时,一元二次方程02cbxax（0a）有实数根;当042acb时,二次根式acb42无意义,方程无实数根.公式法解一元二次方程的一般步骤:用公式法解一元二次方程的一般步骤是:（1）把一元二次方程化为一般形式;（2）确定cba,,的值,包括符号;（3）当acb42≥0时,把cba,,的值代入求根公式求解;当042acb时,方程无实数根.第12页例1.用公式法解方程:0622xx.分析:用公式法解一元二次方程时要先将方程化为一般形式,并正确确定cba,,的值,包括符号.解:6,1,2cba∴496241422acb∴4714491x∴2471,2347121xx.例2.解下列方程:（1）242xx;（2）xxx811