概率论与数理统计试卷及答案

模拟试题一一、填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A)=0.92,P(B)=0.93,P(B|A)=0.85,则P(A|B)=P(A∪B)=2、设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为19，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相等，则A发生的概率为：；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率：；没有任何人的生日在同一个月份的概率；4、已知随机变量X的密度函数为：,0()1/4,020,2xAexxxx,则常数A=,分布函数F(x)=,概率{0.51}PX；5、设随机变量X~B(2，p)、Y~B(1，p)，若{1}5/9PX，则p=，若X与Y独立，则Z=max(X,Y)的分布律：；6、设~(200,0.01),~(4),XBYP且X与Y相互独立，则D(2X-3Y)=,COV(2X-3Y,X)=；7、设125,,,XXX是总体~(0,1)XN的简单随机样本，则当k时，12222345()~(3)kXXYtXXX；8、设总体~(0,)0XU为未知参数，12,,,nXXX为其样本，11niiXXn为样本均值，则的矩估计量为：。9、设样本129,,,XXX来自正态总体(,1.44)Na，计算得样本观察值10x，求参数a的置信度为95%的置信区间：；二、计算题（35分）1、(12分)设连续型随机变量X的密度函数为：1,02()20,xxx其它求：1）{|21|2}PX；2）2YX的密度函数()Yy；3）(21)EX；2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,yxxxy其他1）求边缘密度函数(),()XYxy；2）问X与Y是否独立？是否相关？3）计算Z=X+Y的密度函数()Zz；3、（11分）设总体X的概率密度函数为：1,0(),000xexxxX1,X2,…,Xn是取自总体X的简单随机样本。1）求参数的极大似然估计量ˆ；2）验证估计量ˆ是否是参数的无偏估计量。三、应用题（20分）1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？2．（10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0.5‰，假定有害物质含量X服从正态分布。现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：0.530‰，0.542‰，0.510‰，0.495‰，0.515‰能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05)？附表：模拟试题二一、填空题(45分，每空3分)1．设()0.5,(|)0.6,()0.1,PAPBAPAB则()PB()PAB2．设,,ABC三事件相互独立，且()()()PAPBPC，若37()64PABC，则()PA。3．设一批产品有12件，其中2件次品，10件正品，现从这批产品中任取3件，若用X表示取出的3件产品中的次品件数，则X的分布律为。4．设连续型随机变量X的分布函数为()arctan(),FxABxxR则(,)AB，X的密度函数()x。5．设随机变量~[2,2]XU，则随机变量112YX的密度函数()Yy6．设,XY的分布律分别为X-101Y01P1/41/21/4P1/21/2且{0}0PXY，则(,)XY的联合分布律为。和{1}PXY7．设(,)~(0,25;0,36;0.4)XYN，则cov(,)XY，1(31)2DXY。8．设1234(,,,)XXXX是总体(0,4)N的样本，则当a，b时，统计量221234(2)(34)XaXXbXX服从自由度为2的2分布。9．设12(,,,)nXXX是总体2(,)Na的样本，则当常数k时，221ˆ()niikXX是参数2的无偏估计量。10．设由来自总体2~(,0.9)XNa容量为9的样本，得样本均值x=5，则参数a的置信度为0.95的置信区间为。二、计算题(27分)1．(15分)设二维随机变量(,)XY的联合密度函数为1(),02,02(,)80,xyxyxy其它（1）求XY与的边缘密度函数(),()XYxy；（2）判断XY与是否独立？为什么？（3）求ZXY的密度函数()Zz。2．(12分)设总体X的密度函数为(),()0,xexxx其中0是未知参数，12(,,,)nXXX为总体X的样本，求（1）参数的矩估计量1ˆ；（2）的极大似然估计量2ˆ。三、应用题与证明题(28分)1．(12分)已知甲，乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有3件正品和3件次品，乙箱中仅有3件正品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，（1）求从乙箱中任取一件产品为次品的概率；（2）已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的3件产品中恰有2件次品的概率。2．(8分)设某一次考试考生的成绩服从正态分布，从中随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩66.5x分，标准差15s分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分，并给出检验过程。3．(8分)设0()1PA，证明：AB与相互独立(|)(|)PBAPBA。附表：0.950.9750.950.951.65,1.96,(35)1.6896,(36)1.6883,uutt0.9750.975(35)2.0301,(36)2.0281,tt模拟试题三一、填空题（每题3分，共42分）1．设()0.3,()0.8,PAPAB若AB与互斥，则()PB；AB与独立，则()PB；若AB，则()PAB。2．在电路中电压超过额定值的概率为1p，在电压超过额定值的情况下，仪器烧坏的概率为2p，则由于电压超过额定值使仪器烧坏的概率为；3．设随机变量X的密度为34,01()0,xxx其它，则使{}{}PXaPXa成立的常数a；{0.51.5}PX；4．如果(,)XY的联合分布律为Y123X11/61/91/1821/3则,应满足的条件是01,01,1/3，若XY与独立，，，(31)EXY。5．设~(,)XBnp，且2.4,1.44,EXDX则n，p。6．设2~(,)XNa，则32XY服从的分布为。7．测量铝的比重16次，得2.705,0.029xs，设测量结果服从正态分布2(,)Na，参数2,a未知，则铝的比重a的置信度为95%的置信区间为。二、（12分）设连续型随机变量X的密度为：,0()0,0xcexxx（1）求常数c；（2）求分布函数()Fx；（3）求21YX的密度()Yy三、（15分）设二维连续型随机变量(,)XY的联合密度为,01,0(,)0,cxyxxy其它（1）求常数c；（2）求XY与的边缘密度(),()XYxy；（3）问XY与是否独立？为什么？（4）求ZXY的密度()Zz；（5）求(23)DXY。（2）参数的极大似然估计量2ˆ；五、（10分）某工厂的车床、钻床、磨床和刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1，当有一台机床需要修理时，求这台机床是车床的概率。六、（10分）测定某种溶液中的水份，设水份含量的总体服从正态分布2(,)Na，得到的10个测定值给出0.452,0.037xs，试问可否认为水份含量的方差20.04？（0.05）22220.9750.9750.950.95(10)20.483,(9)19.023,(10)18.307,(9)16.919,模拟试题四四、（11分）设总体X的密度为(1),01()0,xxx其它其中1是未知参数，1(,,)nXX是来自总体X的一个样本，求（1）参数的矩估计量1ˆ；附表：22220.050.0250.050.05(10)3.94,(10)3.247,(9)3.325,(9)2.7,一、填空题（每题3分，共42分）1、设A、B为随机事件，()0.8PB，()0.2PBA，则A与B中至少有一个不发生的概率为；当AB与独立时，则(())PBAB2、椐以往资料表明，一个三口之家患某种传染病的概率有以下规律：孩子得病P=0.6，孩子得病母亲得病P=0.5，孩子得病母亲及父亲得病P=0.4，那么一个三口之家患这种传染病的概率为。3、设离散型随机变量X的分布律为：,...)2,1,0(!3)(kkakXPk，则a=_______)1(XP。4、若连续型随机变量X的分布函数为3,133,3arcsin3,0)(xxxBAxxF则常数A，B，密度函数)(x5、已知连续型随机变量X的密度函数为22181(),8xxfxex，则)14(XE，2EX。21XP。6、设X～]3,1[U，Y～)2(P，且X与Y独立，则)3(YXD)=。7、设随机变量YX,相互独立，同服从参数为分布)0(的指数分布，令YXVYXU2,2的相关系数。则),(VUCOV,VU,。（注：6915.0)5.0(,8143.0)1(）二、计算题（34分）1、（18分）设连续型随机变量)(YX，的密度函数为,01,01(,)0,xyxyxy其他（1）求边缘密度函数)(),(yxYX；（2）判断X与Y的独立性；（3）计算cov(,)XY；（3）求),max(YXZ的密度函数)(zZ2、（16分）设随机变量X与Y相互独立，且同分布于)10)(,1(ppB。令1,0XYZXY若为偶数，若为奇数。（1）求Z的分布律；（2）求)(ZX，的联合分布律；（3）问p取何值时X与Z独立？为什么？三、应用题（24分）1、（12分）假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2。若一周5个工作日内无故障则可获10万元；若仅有1天故障则仍可获利5万元；若仅有两天发生故障可获利0万元；若有3天或3天以上出现故障将亏损2万元。求一周内的期望利润。2、（12分）将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为0.8，而输出为其它一字母的概率都为0.1。今将字母AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为0.5，0.4，0.1。已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的）。答案（模拟试题一）四、填空题（每空3分，共45分）1、0.8286，0.988；2、2/3；3、14212661112CC，61266!12C；4、1/2,F(x)=1,021,02241,2xexxxx，{0.51}PX0.53142e；5、p=1/3，Z=max(X,Y)的分布律：Z012P8/2716/273/27；6、D(2X-3Y)=43.92,COV(2X-3Y,X)=3.96；7、当k32时，12222345()~(3)kXXYtXXX；8、的矩估计量为：2X。9、[9.216，10.784]；五、计算题（35分）1、解1）9{|21|2}{0.51.5}16PXPX2）1(()()),02()0,01,0440,XXYyyyyyyy其它3）45(21)212133EXEX2、解：1）1,02