2020年高考数学模拟试卷(文科18)

第1页，共15页2020年高考数学模拟试卷（文科18）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数𝑧=52−𝑖，则|𝑧|=()A.1B.√5C.5D.5√5【答案】B【解析】解：∵复数𝑧=52−𝑖=5(2+𝑖)(2−𝑖)(2+𝑖)=2+𝑖；∴|𝑧|=√22+12=√5；故选：B．先根据复数的除法对其化简，再代入模长计算公式即可．本题主要考查复数的有关概念，比较基础．2.已知集合𝐴={𝑥|−2𝑥4}，集合𝐵={𝑥|(𝑥−6)(𝑥+1)0}，则𝐴∩𝐵=()A.{𝑥|1𝑥4}B.{𝑥|𝑥4或𝑥6}C.{𝑥|−2𝑥−1}D.{𝑥|−1𝑥4}【答案】D【解析】解：∵𝐴={𝑥|−2𝑥4}，𝐵={𝑥|−1𝑥6}，∴𝐴∩𝐵={𝑥|−1𝑥4}．故选：D．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．3.已知𝑎=log0.63，𝑏=0.63，𝑐=30.6，则()A.𝑎𝑏𝑐B.𝑎𝑐𝑏C.𝑐𝑎𝑏D.𝑏𝑐𝑎【答案】A【解析】解：𝑎=log0.630，0𝑏=0.631，𝑐=30.61，故𝑐𝑏𝑎，故选：A．分别判断a，b，c与0和1的关系，即可求出．本题考查指数函数对数的函数的性质，属于基础题．4.胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113≈𝜋.若胡夫金字塔的高为h，则该金字塔的侧棱长为()A.√2𝜋2+1ℎB.√2𝜋2+4ℎ8C.√𝜋2+16ℎ4D.√2𝜋2+16ℎ4【答案】D【解析】解：设该金字塔的底面边长为a，则4𝑎2ℎ=𝜋，可得：𝑎=𝜋ℎ2．∴该金字塔的侧棱长=√ℎ2+(√2𝑎2)2=√ℎ2+24×𝜋2ℎ24=第2页，共15页√16+2𝜋24ℎ.故选：D．设该金字塔的底面边长为a，可得4𝑎2ℎ=𝜋，𝑎=𝜋ℎ2.利用勾股定理即可得出该金字塔的侧棱长．本题考查了正四棱锥的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.函数𝑓(𝑥)=ln|1+𝑥1−𝑥|的图象大致为()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：函数的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)，𝑓(−𝑥)=ln|1−𝑥1+𝑥|=ln|(1+𝑥1−𝑥)−1|=−ln|1+𝑥1−𝑥|=−𝑓(𝑥)，故函数𝑓(𝑥)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B；又当𝑥→+∞时，𝑓(𝑥)→0，故排除AC；故选：D．利用函数的奇偶性及趋近性即可得解．本题考查函数图象的确定，属于基础题．6.某学校为进行一项调查，先将高三年级800名同学依次编号为1，2，3，…，800，然后采用系统抽样的方法等距抽取20名同学，已知抽取到了25号，则下列号码没被抽到的是()A.185B.315C.465D.625【答案】B第3页，共15页【解析】解：采用系统抽样的方法从800名学生中抽取20名学生进行检査．将他们随机编号为1，2，3，…，800，则抽样间隔为80020=40，∵随机抽到的号码数为25，∴应抽取的号码为：25+40(𝑛−1)=40𝑛−15.(𝑛为正整数)；经检验，只有选项B对应的n不是整数．故选：B．抽样间隔为80020=40，由此利用随机抽到的号码数为25，能求出应抽取的号码的规律即可判断答案．本题考查样本中号码的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用．7.已知P为一圆锥的顶点，AB为底面圆的直径，𝑃𝐴⊥𝑃𝐵，点M在底面圆周上，若M为𝐴𝐵⏜的中点，则异面直线AM与PB所成角的大小为()A.𝜋6B.𝜋4C.𝜋3D.𝜋2【答案】C【解析】解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设𝑂𝐵=1．∵𝑃𝐴⊥𝑃𝐵，∴𝑂𝑃=𝑂𝐵=𝑂𝐴，𝑂𝑃⊥底面AMB．则𝑂(0,0，0)，𝐵(0,1，0)，𝑀(1,0，0)，𝑃(0,0，1)，𝐴(0,−1,0)，∴𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1，0)，𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1，−1)，∴cos𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=1√2×√2=12，∴𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝜋3，∴异面直线AM与PB所成角的大小为𝜋3．故选：C．如图所示，建立直角坐标系．不妨设𝑂𝐵=1.由𝑃𝐴⊥𝑃𝐵，可得𝑂𝑃=𝑂𝐵=𝑂𝐴，𝑂𝑃⊥底面𝐴𝑀𝐵.利用向量夹角公式即可得出．本题考查了向量夹角公式、圆锥的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.已知𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=3，𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=()A.3B.−3C.3√52D.6【答案】D【解析】解：如图：；∵𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=3，𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，第4页，共15页则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=[𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)]⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2=0+23×32=6.∖故选：D．直接根据向量的三角形法则以及数量积的运算代入求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．9.已知𝜋4≈1−13+15−17+19−⋯，如图是求𝜋的近似值的一个程序框图，则空白框中应填入()A.𝑖=−12𝑛−1B.𝑖=−1𝑖+2C.𝑖=(−1)𝑛2𝑛+1D.𝑖=(−1)𝑛𝑖+2【答案】C【解析】解：初始𝑖=1，𝑛=1，𝑠=0，1.𝑠=0+1=1，𝑖=−13，𝑛=2；2.𝑠=1−13，𝑖=15，𝑛=3；…根据1，2判断这里只有C满足条件，故选：C．根据算法流程图，从第一次循环开始，第二次…，推导s的值，再结合选项判断出结论．考查算法程序框图的功能，基础题．10.已知F为双曲线E：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的一个焦点，设直线𝑦=1与双曲线E和两条渐近线的交点从左至右依次为A，B，C，D，若|𝐴𝐷|=3|𝐵𝐶|，则F到渐近线的距离为()A.2√2B.√3C.√15D.不能确定【答案】A第5页，共15页【解析】解：{𝑦=1𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1可得𝑥𝐴=−𝑎√1+𝑏2𝑏，𝑥𝐷=𝑎√1+𝑏2𝑏，{𝑦=1𝑦=−𝑏𝑎𝑥可得𝑥𝐵=−𝑎𝑏，{𝑦=1𝑦=𝑏𝑎𝑥可得𝑥𝐶=𝑎𝑏，所以|𝐴𝐷|=2𝑎√1+𝑏2𝑏，|𝐵𝐶|=2𝑎𝑏，若|𝐴𝐷|=3|𝐵𝐶|，所以√1+𝑏2=3，所以𝑏2=8，焦点𝐹(𝑐,0)，到渐近线𝑦=𝑏𝑎𝑥=2√2𝑎𝑥，即2√2𝑥−𝑎𝑦=0的距离𝑑=2√2𝑐𝑐=2√2，故选：A．由双曲线的方程可得渐近线的方程及右焦点F的坐标(由对称性可得任何一个焦点，任何一条渐近线都可以)，将𝑦=1与椭圆，与渐近线联立分别求出A，B，C，D的横坐标，进而求出AD，BC的值可得b的值，由点到直线的距离公式可得所求的结果．本题考查双曲线的性质(对称性)及点到直线的距离公式的应用，属于中档题．11.已知函数𝑓(𝑥)=|𝑐𝑜𝑠𝑥|+𝑠𝑖𝑛𝑥，则下列结论中正确的是()①函数𝑓(𝑥)的最小正周期为𝜋；②函数𝑓(𝑥)的图象是轴对称图形；③函数𝑓(𝑥)的极大值为√2；④函数𝑓(𝑥)的最小值为−1．A.①③B.②④C.②③D.②③④【答案】D【解析】解：由𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥的最小正周期为2𝜋，𝑦=|𝑐𝑜𝑠𝑥|的最小正周期为𝜋，可得函数𝑓(𝑥)=|𝑐𝑜𝑠𝑥|+𝑠𝑖𝑛𝑥的最小正周期为2𝜋，故①错误；由𝑓(𝜋−𝑥)=|cos(𝜋−𝑥)|+sin(𝜋−𝑥)=|−𝑐𝑜𝑠𝑥|+𝑠𝑖𝑛𝑥=𝑓(𝑥)，可得𝑓(𝑥)的图象关于𝑥=𝜋2对称，故②正确；当−𝜋2𝑥𝜋4时，𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=√2sin(𝑥+𝜋4)，由𝑥+𝜋4∈(−𝜋4,𝜋2)，𝑓(𝑥)递增，由𝜋4𝑥𝜋2时，𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=√2sin(𝑥+𝜋4)，由𝑥+𝜋4∈(𝜋2,3𝜋4)，𝑓(𝑥)递减，可得𝑓(𝑥)的极大值为𝑓(𝜋4)=√2；同理可得𝑓(𝑥)在𝑥=3𝜋4处取得极大值√2，故③正确；由𝑥∈[−𝜋2,𝜋2]时，𝑓(𝑥)=√2sin(𝑥+𝜋4)，𝑥+𝜋4∈[−𝜋4,3𝜋4]，可得𝑓(𝑥)∈[−1,√2]，且𝑓(𝑥)在第6页，共15页𝑥=−𝜋2处取得最小值−1，由𝑥∈[𝜋2,3𝜋2]时，𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥=√2sin(𝑥−𝜋4)，𝑥−𝜋4∈[𝜋4,5𝜋4]，可得𝑓(𝑥)∈[−1,√2]，且𝑓(𝑥)在𝑥=3𝜋2处取得最小值−1．故④正确．故选：D．由正弦函数和余弦函数的周期，即可判断①；由𝑓(𝜋−𝑥)与𝑓(𝑥)的关系，可判断②；求得𝑓(𝑥)在一个周期内的单调区间，可得极大值和最值，可判断③、④．本题考查三角函数的图象和性质，主要考查周期性、最值和极值、对称性，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．12.在棱长为2的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，P为𝐴1𝐷1的中点，若三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A.12𝜋B.21𝜋2C.41𝜋4D.10𝜋【答案】C【解析】解：取AC的中点E，做𝐸𝐹⊥𝐴𝐹与F，连接PF可得𝑃𝐹⊥𝐴𝐹，过E做垂直于面ABC的直线，由题意可得外接球的球心直线直线EO上，设球心为O，过O做𝑂𝑀⊥面PAF交于M，由正方体性质可得，M在PF上，四边形OEFM为矩形，𝑀𝐹=𝑂𝐸，𝑂𝑀=𝐸𝐹，𝑃𝐹=𝐴𝐵=2，连接PO，OC可得都是外接球的半径，由题意可得：𝐶𝐸=√22𝐴𝐵=√2，𝐸𝐹=𝐴𝐵2=1，在三角形OEC中，𝑂𝐶2=𝑂𝐸2+𝐸𝐶2=𝑂𝐸2+(√2)2=2+𝑂𝐸2，在三角形POM中，𝑂𝑃2=𝑂𝑀2+(𝑃𝐹−𝐹𝑀)2=12+(2−𝑂𝐸)2，两式联立可得：2+𝑂𝐸2=1+(2−𝑂𝐸)2，解得：𝑂𝐸=34，所以𝑂𝐶2=2+(34)2=4116，所以外接球的表面积𝑆=4𝜋𝑂𝐶2=41𝜋4，故选：C．由题意可得底面外接圆的圆心为对角线AC的中点E，过E做底面的垂线在垂线上取O使𝑂𝑃=𝑂𝐶，则O为外接球的球心，画图可得(详见解答)在两个三角形中求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱锥的外接球的半径与棱长的关系，及球的的表面积公式，属于中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y满足不等式组{𝑥≥0𝑥+𝑦−1≥0𝑥−3𝑦−1≤0，则𝑧=𝑥+2𝑦的最小值是______．【答案】1第7页，共15页【解析】解：作出不等式组对应的可行域(如图阴影)，变形目标函数可得𝑦=−12𝑥+12𝑧，平移直线𝑦=12𝑥可