欧氏空间练习题与测试题

56第九章欧氏空间练习题与测试题一、填空题1．设V是一个欧氏空间，V，若对任意V都有(,)0，则＝_________．2．在欧氏空间3R中，向量(1,0,1)，(0,1,0)，那么(,)＝_________，＝_________．3．在n维欧氏空间V中，向量在标准正交基12,,,n下的坐标是12(,,,)nxxx，那么(,)i＝_________，＝_________．4．两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．5．已知A是一个正交矩阵，那么1A＝_________，2A＝_________．二、判断题1．在实线性空间2R中，对于向量1212(,),(,)xxyy，定义1122(,)(1)xyxy，那么2R构成欧氏空间。()2．在n维实线性空间nR中，对于向量1212(,,,),(,,,)nnaaabbb，定义11(,)ab，则nR构成欧氏空间。()3．12,,,n是n维欧氏空间V的一组基，1212(,,,),(,,,)nnxxxyyy与分别是V中的向量,在这组基下的坐标，则1122(,)nnxyxyxy。()4．对于欧氏空间V中任意向量，1是V中一个单位向量。()5．12,,,n是n维欧氏空间的一组基，矩阵ijnnAa，其中(,)ijija，则A是正定矩阵。()6．设V是一个欧氏空间，,V，并且，则与正交。()7．设V是一个欧氏空间，,V,并且(,)0，则,线性无关。()8．若,都是欧氏空间V的对称变换，则也是对称变换。()三、计算题1．把向量组1(2,1,0)，2(2,0,1)扩充成3R中的一组标准正交基.572．求正交矩阵T，使TAT成对解角形。220212020A四、证明题1．设A，B为同级正交矩阵，且AB，证明：0AB．2．设A为半正定矩阵，且0A，证明：0AE．3．证明：n维欧氏空间V与TV同构的充要条件是，存在双射:VV，并且,V有(,)((),())．自测题一、填表空题（每小题3分，共15分）1．欧氏空间4R中，)1,2,2,1(),2,3,1,2(，则||，||＝的夹角与2．为欧氏空间V的线性变换，则为正交变换当且仅当；为对称变换当且仅当．3．设2121),2,1,2(),1,1,0(k，若与2正交，则k．4．BA,为n阶正交矩阵，且,0||A0||B，则||AB．5．,,是三维欧氏空间3R的向量，则式子),(，||,||，),(）（中表示向量的是．二、判断说明题（先判断正确与错误，再说明理由．每小题5分，共20分）1．欧氏空间V中保持任两个非零向量的夹角不变的线性变换必为正交变换．2．正交向量组必线性无关．3．实数与对称变换之积必是对称变换．4．欧氏空间2R中，)2,2(),(yxyxyx为对称为变换．三、计算题（每小题15分，共45分）581．求齐次线性方程组0303532154321xxxxxxxxx的解空间的一组标准正交基．2．在2R中，对任意向量),(21aa，),(21bb，定义4111),(（1）证明：2R作成欧氏空间．（2）写出这个欧氏空间的柯西—施瓦兹不等式．3．设020212022A求正交矩阵U，使AUU'为对角形．四、证明题（每小题10分，共20分）1．A为n阶实对称矩阵，且IA2．证明：存在正交矩阵U，使rnrIIAUU001其中r为A的正特征值的个数．2．设n,,,21为n维欧氏空间V的一组基．证明：这组基是标准正交基的充分必要条件是，对V中任意向量都有nn,),(),(2211.59小测验九姓名学号一、填空题1、已知三维欧式空间V中有一组基123,,，其度量矩阵为110120003A，则向量12323的长度为。2、设10212112,),(2，，AAR则中的内积为在此内积之下的度量矩阵为。3、在n维欧几里德空间中，一组标准正交基的度量矩阵为。4、在欧氏空间4R中，已知(2,1,3,2),(1,2,2,1)，则||，与的夹角为（内积按通常的定义）。5、设nR为欧氏空间，则有柯西-施瓦茨不等式：。二、已知二次型222123123121323(,,)()222fxxxtxxxxxxxxx（1）t为何值时二次型f是正定的？（2）取1t，用正交线性替换化二次型f为标准形三、设123,,是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为112121216（1）令12，证明是一个单位向量；（2）若123k与正交，求k四、设为n维欧氏空间V中一个单位向量，定义V的线性变换A如下：2(,),.AV证明：（1）A为第二类的正交变换（称为镜面反射）。（2）V的正交变换B是镜面反射的充要条件为1是B的特征值，且对应的特征子空间的维数为n-1.五、已知是对称变换，证明：的不变子空间W的正交补W也是的不变子空间．