经济数学-偏导数及其在经济中的应用

一、偏导数的定义及其计算方法二、偏导数的几何意义及函数偏导数存在与函数连续的关系三、高阶偏导数第二节偏导数及其在经济分析中的应用五、小结思考题四、偏导数在经济分析中的应用交叉弹性定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量一、偏导数的定义及其计算法xyxfyxxfx),(),(lim00000),(yxfz),(00yx如果存在，则称此极限为函数在点处对x的偏导数(partialderivative)，记为),(),(0000yxfyxxf同理可定义函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数，为yyxfyyxfy),(),(lim00000记为00yyxxyz，00yyxxyf，00yyxxyz或),(00yxfy.00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz或),(00yxfx.如果函数),(yxfz在区域D内任一点),(yx处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数),(yxfz对自变量x的偏导数，记作xz，xf，xz或),(yxfx.同理可以定义函数),(yxfz对自变量y的偏导数，记作yz，yf，yz或),(yxfy.偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处),,(zyxfu),,(zyx,),,(),,(lim),,(0xzyxfzyxxfzyxfxx,),,(),,(lim),,(0yzyxfzyyxfzyxfyy.),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzz注意：实际求的偏导数时，因为始终只有一个自变量在变动，另一个自变量可看作常量，所以仍旧用一元函数的微分方法求解.),(yxfz求解xf求导数暂时看作常量而对把xyyf求导数暂时看作常量而对把yx例1求223yxyxz在点)2,1(处的偏导数．解xz;32yxyz.23yx21yxxz,8231221yxyz.72213例2设yxz)1,0(xx，求证zyzxxzyx2ln1.证xz,1yyxyz,lnxxyyzxxzyxln1xxxyxyxyylnln11yyxx.2z原结论成立．例3设22arcsinyxxz，求xz，yz.解xzxyxxyxx2222211322222)(||yxyyyx.||22yxy|)|(2yyyzyyxxyxx222221132222)()(||yxxyyyxyyxx1sgn22)0(y00yxyz不存在．偏导数xu是一个整体记号，不能拆分;).0,0(),0,0(,),(,yxffxyyxfz求设例如有关偏导数的几点说明：１.２.求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解xxfxx0|0|lim)0,0(00).0,0(yf例4已知理想气体的状态方程RTpV（R为常数），求证：1pTTVVp.证VRTp;2VRTVppRTV;pRTVRpVT;RVpTpTTVVp2VRTpRRV.1pVRT二、偏导数的几何意义及函数偏导数存在与函数连续的关系偏导数),(00yxfx就是曲面被平面0yy所截得的曲线在点0M处的切线xTM0对x轴的斜率.偏导数),(00yxfy就是曲面被平面0xx所截得的曲线在点0M处的切线yTM0对y轴的斜率.1．几何意义图示,),()),(,,(00000上一点为曲面设yxfzyxfyxM2.偏导数存在与连续的关系例如,函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在)0,0(处，0)0,0()0,0(yxff.但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，),,(22yxfxzxzxxx),(22yxfyzyzyyy),,(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx函数),(yxfz的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.三、高阶偏导数例5　设13323xyxyyxz，求22xz、xyz2、yxz2、22yz及33xz.解xz,33322yyyxyz;9223xxyyx22xz,62xy22yz;1823xyx33xz,62yxyz2.19622yyxyxz2,19622yyx例6设byeuaxcos，求二阶偏导数.解,cosbyaexuax;sinbybeyuax,cos222byeaxuax,cos222byebyuax,sin2byabeyxuax.sin2byabexyuax定理如果函数),(yxfz的两个二阶混合偏导数xyz2及yxz2在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？例7验证函数22ln),(yxyxu满足拉普拉斯方程.02222yuxu解),ln(21ln2222yxyx,22yxxxu,22yxyyu,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu.)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu.0四、偏导数在经济分析中的应用——交叉弹性(crosselastic)在一元函数微分学中,我们引出了边际和弹性的概念,来分别表示经济函数在一点的变化率和相对变化率,这些概念也可以推广到多元函数微分学中去,并被赋予了丰富的经济含义.0000000(,)(,)(,)limyyfxyyfxyfxyy为(,)fxy在点00(,)xy对y的边际。一、边际分析设函数),(yxfz在点),(00yx可偏导，称0000000(,)(,)(,)limxxfxxyfxyfxyx为(,)fxy在点00(,)xy对x的边际。(,)xfxy和(,)yfxy为(,)fxy对x和对y的边际函数。例：某工厂生产甲、乙两种产品，当两种产品产量分别为,xy（单位：kg）时，总成本(单位：元)22(,)32510Cxyxxyy求当8,8xy时，两种产品的生产边际成本。解：(8,8)(8,8)(62)64Cxyx(8,8)(8,8)(210)96Cxyy即当产量8,8xy时，甲产品生产边际成本为64，当乙产品产量不变，而甲产品产量再增加1kg时，总成本增加64元。乙产品生产边际成本为96，当甲产品产量不变，而乙产品产量再增加1kg时，总成本增加96元。2、弹性分析设二元函数(,)zfxy在00(,)xy点处的相对改变量0000000(,)(,)(,)xzfxxyfxyzfxy与自变量的相对改变量0xx之比0000/xxzzxxzxxz称为函数在点00(,)xy处对x从0x到0xx两点间的弹性。当0x时，上式极限为函数在点00(,)xy处对x的弹性。00000000lim/(,)(,)xxxxzxxfxyzxfxyx表示在00(,)xy处，当y不变而x改变1%时，(,)zfxy近似地改变x%。类似地，(,)zfxy在点00(,)xy处对y的弹性00000000lim/(,)(,)yyyyzyyfxyzyfxy实例某种品牌的电视机营销人员在开拓市场时,除关心本品牌电视机的价格取向外,更关心其他品牌同类型电视机的价格情况,以决定自己的营销策略.即该品牌电视机的销量是它的价格和其他品牌电视机价格的函数.AQAPBPBAAPPfQ,APBP通过分析其边际及可知道,随着及变化的规律.AQAAPQBBPQAAAAPQPQ进一步分析其弹性,可知这种变化的灵敏度.BABAPQPQ及的弹性对AAPQ的弹性对BAPQ性弹叉交的对BAPQ亦称为解:15XYPQ2401015152120YQ625.02401015YXXYXYQPPQE则时商品的交叉弹性．，求当，某商品的需求函数为例15101521208YXXYYPPPPQ例9随着我国养鸡工厂化的迅速发展，肉鸡价格（BP）会不断下降。现估计明年肉鸡价格将下降5%，已知猪肉需求量（AQ）与肉鸡价格的交叉弹性为0.85。问明年猪肉的需求量将如何变化？解：BBPABPBAQPPQ0.855%4.25%BBPABPABQPQP即所有猪肉的需求量将下降4.25%猪肉的需求量对鸡肉价格的弹性交叉弹性的经济意义;为替代品与交叉弹性大于零，称YX为互补品；与交叉弹性小于零，称YX相互独立的商品．与交叉弹性等于零，称YX经济意义．的相关性，具有明确的映了两种商品之间不同交叉弹性的值，反一般定义的相对改变量函数对存在处偏导数在设函数xyxyxfz,,,yxfyxfyxxfzzx,,,之比的相对改变量与自变量xxxxxzzx.,两点间的弹性到从对称为函数xxxxyxf即.lim0zxxzxxzzEExxxzx,0时当xxxzzx记作的弹性处对在的极限称为,,,xyxyxf,xzxEE或.lim0zyyzyyzzEEyyyzy的弹性处对在类似地可定义yyxyxf,,.,表示需求对收入的弹性需求对价格的弹性，表示表示消费者收入，则表示价格，表示需求量，中特别地，如果yxyxzyxfz偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数（偏增量比的极限）纯偏导混合偏导（相等的条件）五、小结偏导数在经济分析中的应用若函数),(yxf在点),(000yxP处连续，能否断定),(yxf在点),(000yxP的偏导数必定存在？思考题思考题解答不能.,),(22yxyxf在)0,0(处连续,但)0,0()0,0(yxff不存在.例如,一、填空题:1.设yxztanln,则xz________;yz_________.2.设xzyxezxy则),(_______;yz________.3.设,zyxu则xu__________;yu__________;zu____________.4.设,arctanxyz则22xz________;22yz_______;yxz2____________.练习题5.设zyxu)(,则yzu2__________.二、求下列函数的偏导数:1.yxyz)1(；2．zyxu)arctan(.三、曲线4422yyxz在点(2,4,5)处的切线与x轴正向所成的倾角是多少?四、设xyz,求.,22222yxzyzxz和五、设)ln(xyxz,求yxz23和23yxz.六、验证:1．)11(yxez,满足zyzyxzx222；2．222zyxr满足rzzryrxr222222.七、设